初中数学解题方法与技巧教学的研究.docx
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初中数学解题方法与技巧教学的研究
初中数学解题方法与技巧教学的研究
一、解数学题的意义
美国著名的心理学家威廉.詹姆斯这样说：
解题是最突出的一类特殊的自由思维。
解数学题是数学学习中最重要的一种活动，是数学训练中最主要的学习方式。
其本质目的是锻炼人们解决实际生活中的问题的能力。
一般可归为三类：
一类是解答数学学习过程中的数学题；一类是将实际生活中问题运用数学知识去问题解决。
（一）解答数学学习过程中的数学题的意义
解答数学学习过程中的数学题一般有明确的目的。
主要是巩固已有的知识，掌握这些知识运用的基本技能。
因此重要性是不可忽视的。
1.明确做练习的基本价值。
练习题具有典型性，为某个目标确定的。
因此通过做练习可以了解学生对概念的理解程度，可以使学生将问题与所学数学知识联系在一起，培养学生的基本技能和基本的思维，因此是不可或缺的。
2.明确做练习的重复价值。
数学学习过程中的数学练习题，是多次重复出现，或者它的类型是螺旋形上升的。
因此才能达成技能的要求，进而形成良好的解决数学问题的演绎证明、推理运算等各种数学能力。
同时重复是记忆之母，可以加深对概念的理解、记忆。
3.明确做练习的心理价值：
培养学生的坚韧的性格好、良好的意志力，和在困难面前去多角度寻求问题解决的能力。
4.明确做练习的成功价值，学生能独立的解决问题，在练习中感悟发现的喜悦和创造性地寻求出答案的巧妙解法。
不同的同学想出了不同的解法，那种快乐的成就感，再发现和再创造的过程会给学生带来学习的兴趣和潜能的开发。
（二）运用数学知识去进行问题解决的意义
前面所说的数学习过程的练习题一般是由标准答案，已知和求解都是十分清楚的。
而实际生活中许多问题预先是不知答案或者不一定有统一的答案，甚至可能没有答案，这样一类可以用数学方法去研究和解决的问题称为数学问题解答。
它的常见类型和价值是这样的。
1.可以构建数学模型的非常规的实际问题。
这类问题往往不是纯数学化的问题模式，而是一种情景，一种实际需求，只是为了解决遇到的困难，需要讲实际问题转化为数学模型并进行解释与解决。
这是在生活和实践中运用数学最常用的方式，培养的是学生面对实际进行的问题解决能力。
2.探究性问题：
要求的是通过一定的探索，研究来认识数学对象的性质，去发现其数学规律，这种问题要求一种研究式的思维能力，在问题解决过程中感受发现的乐趣，它培养的是一种主动探索精神和科学态度。
3.开放性问题：
是问题的条件、结论、解题策略或应用等方面具有一定的开放程度的问题，学生在研究这类问题时通常采用的是合作研究，这种方式可互相启发学生的合作与交流，在交流和合作中完善和优化自己的思维。
这类问题的解决可培养学生的思维的灵活性和发散性。
培养学生的创新意识。
二、解题的方法与技巧
数学思想方法在解题中有不可忽视的作用
解题的学习过程通常的程序是：
阅读数学知识，理解概念；在对例题和老师的讲解进行反思，思考例题的方法、技巧和解题的规范过程；然后做数学练习题。
基本题要练程序和速度；典型题尝试一题多解开发数学思维；最后要及时总结反思改错，交流学习好的解法和技巧。
著名的数学教育家波利亚说过“如果没有反思，就错过了解题的的一次重要而有意义的方面。
”
教师在教学设计中要让学生解好数学问题，就要对数学思想方法有清楚的认识，才能更好的挖掘题目的功能，引导学生发现总结题目的解法和技巧，提高解题能力。
（一）中国古代解题中的的数学思想：
1.早在甲骨文中出现的十进位制记数方法，就是早期的数学计算思想；商
代的骨尺和牙尺上也有寸和分的刻度，主要的意义在便于计算。
《九章算术》中开放紧纳性的表述系统，是按个别到一般的方法建立起来的，是由一个或几个问题归纳出基本规律和一般解法，再把各种算法进行综合，得到解决某领域中各种问题的方法，再把各领域的方法形成一章，汇成《九章算术》，形成抽象化的数学计算思想
2.《周易》中的六十四别卦，其核心是八经卦，它的符号表示实际上是一
种特殊的数表，是由一堆数字组合而成，有限的符号在不同的位置上相互配置，组合生成无穷多的意义，形成早期的组合的数学思想，是离散数学的基础。
3.《礼记》中指出初等教育要有数的教育，《周礼》中提到数的教育要有日
常生活中的计算。
成为早期的培养人才的“经世致用”的数学实用思想。
《周髀算经》中系统的把数学应用在天文地理中，突出了数学的实用思想。
4.三国时代的魏人刘徽为《九章算术》作注解10卷时提出的“出入相补
原理”成为我国最早的数形结合思想，尤其重要的是他所创造的“割圆术”使极限思想在世界上开了先例。
5.庄子天下篇中有一句话是“一日之锤，日取其半，万世不竭”首次提
出了“无限的思想”进而出现了无限向有限转化的辩证思想。
概括中国古代数学思想有如下的特点：
经世致用的实用思想；算法化、模
型化、数值化、离散化的计算思想；朴素的辩证思想；极限思想；数形结合思想等。
成为数学问题解决的常用的思想方法。
（二）中学数学解题中的的基本思想：
中学数学中常见的数学思想有：
函数与方程、数形结合、分类讨论、转化与化归的思想。
这典型的四类数学思想对初中数学问题的解决有着重要的思维指导作用。
1.函数与方程的思想：
函数与方程的思想是中学数学最基本的思想。
所谓函数的思想是指用运动变化的观点去分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，再运用函数的图像与性质去分析、解决相关的问题。
而所谓方程的思想是分析数学中的等量关系，去构建方程或方程组，通过求解或利用方程的性质去分析解决问题。
2.数形结合的思想：
数与形在一定的条件下可以转化。
如某些代数问题、三角问题往往有几何背景，可以借助几何特征去解决相关的代数三角问题；而某些几何问题也往往可以通过数量的结构特征用代数的方法去解决。
因此数形结合的思想对问题的解决有举足轻重的作用。
3.分类讨论的思想
分类讨论的思想之所以重要，原因一是因为它的逻辑性较强，原因二是因为它的知识点的涵盖比较广，原因三是因为它可培养学生的分析和解决问题的能力。
原因四是实际问题中常常需要分类讨论各种可能性。
解决分类讨论问题的关键是化整为零，在局部讨论降低难度。
常见的类型：
类型1：
由数学概念引起的的讨论，如实数、有理数、绝对值、点（直线、圆）与圆的位置关系等概念的分类讨论；类型2：
由数学运算引起的讨论，如不等式两边同乘一个正数还是负数的问题；类型3：
由性质、定理、公式的限制条件引起的讨论，如一元二次方程求根公式的应用引起的讨论；类型4：
由图形位置的不确定性引起的讨论，如直角、锐角、钝角三角形中的相关问题引起的讨论。
类型5：
由某些字母系数对方程的影响造成的分类讨论，如二次函数中字母系数对图象的影响，二次项系数对图象开口方向的影响，一次项系数对顶点坐标的影响，常数项对截距的影响等。
如分类讨论的案例：
在一张长为9厘米，宽为8厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为5厘米的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余两个顶点在矩形的边上），请计算剪下的等腰三角形的面积？
分类讨论思想是对数学对象进行分类寻求解答的一种思想方法，其作用在于克服思维的片面性，全面考虑问题。
分类的原则：
分类不重不漏。
分类的步骤：
①确定讨论的对象及其范围；②确定分类讨论的分类标准；③按所分类别进行讨论；④归纳小结、综合得出结论。
注意动态问题一定要先画动态图。
4．转化与化归的思想
转化与化归市中学数学最基本的数学思想之一，数形结合的思想体现了数与形的转化；函数与方程的思想体现了函数、方程、不等式之间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，所以以上三种思想也是转化与化归思想的具体呈现。
但是转化包括等价转化和非等价转化，等价转化要求在转化的过程中前因和后果是充分的也是必要的；不等价转化就只有一种情况，因此结论要注意检验、调整和补充。
转化的原则是将不熟悉和难解的问题转为熟知的、易解的和已经解决的问题，将抽象的问题转为具体的和直观的问题；将复杂的转为简单的问题；将一般的转为特殊的问题；将实际的问题转为数学的问题等等使问题易于解决。
常见的转化方法有：
（1）直接转化法：
把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题.
（2）换元法：
运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题.
（3）数形结合法：
研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换获得转化途径.
（4）等价转化法：
把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的.
（5）特殊化方法：
把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题，使结论适合原问题.
（6）构造法：
“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题.
（7）坐标法：
以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题也是转化方法的一个重要途径
转化与化归的指导思想
（1）把什么问题进行转化，即化归对象.
（2）化归到何处去，即化归目标.0
（3）如何进行化归，即化归方法.
化归与转化思想是一切数学思想方法的核心.
（三）中学数学解题中的的基本方法：
1.观察与实验
（1）观察法：
有目的有计划的通过视觉直观的发现数学对象的规律、性质和解决问题的途径。
例如化简
经整体观察可知：
无法通分，只能单个处理，因此可进行分母有理化，得到结论。
例如北京版数学八年级上15册p81页的图表
请同学们做的是观察图形、发现规律，填写表格。
就是一种观察归纳的方法。
（2）实验法：
实验法是有目的的、模拟的创设一些有利于观察的数学对象，通过观察研究将复杂的问题直观化、简单化。
它具有直观性强，特征清晰，同时可以试探解法、检验结论的重要优势。
例如求三角形内角和时用量的方法进行试验发现规律。
通过撕纸的方法进行实验，使三角形内角和转为平角得出1800的结论。
发现规律在进行证明问题等同于知道了目的地在寻求证明的途径就容易得多了，同时在实验的过程中发现平行线的的性质，内错角同位角分别相等的转化方法，即发现证明的途径。
当三角形动的时候可看出三个角的值在变化，但和不变为1800的重要结论
2.比较与分类
（1）比较法
是确定事物共同点和不同点的思维方法。
在数学上两类数学对象必须有一定的关系才好比较。
我们常比较两类数学对象的相同点、相异点或者是同异综合比较。
例如比较一次函数的图像性质时，常采用比较法
（2）分类的方法
分类是在比较的基础上，依据数学对象的性质的异同，把相同性质的对象归入一类，不同性质的对象归为不同类的思维方法。
如上图中一次函数的k在不等于零的情况下的分类是大于零和小于零体现了不重不漏的原则。
如实数的分类是有理数和无理数等
3．特殊与一般
（1）特殊化的方法
特殊化的方法是从给定的区域内缩小范围，甚至缩小到一个特殊的值、特殊的点、特殊的图形等情况，再去考虑问题的解答和合理性。
例如无论k取何值，直线y=kx-（k-2）过定点_________
分析：
令k=0,得y=2代入求得x=1得定点为（1，2）
例如：
2-（2k+1）-2-（2k-1）+2-2k的值为（）
（a）2-2k（b）2-（2k-1）（c）-2-（2k+1）（d）0
分析令k=0,得原式=2-1-2+1=-2-1发现了（a）（b）（d），所以排除了后选（c）
（2）一般化的方法
波利亚在《怎样解题》一书中这样说“普遍化（一般化）就从考虑一个对象过渡到包含该对象的一个集合；后者从考虑一个较小的集合过渡到一个包含该较小集合的更大的集合”“更普遍的问题可能更易于求解”
从具体问题中有时需要跳出来看问题就更易于解决，也就是我们平常常说的公式法求解
例如：
求方程5x2-4x-12=0的解，求根公式就易于求解
对不能因式分解的一元二次方程优势会更突出。
如解方程x2+4x-2=0
4.联想与猜想
（1）类比联想
类比就是根据两个对象或两类事物间存在着的相同或不同属性，联想到另一事物也可能具有某种属性的思维方法。
通过类比联想可以发现新的知识；通过类比联想可以寻求到数学解题的方法和途径：
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（2）归纳猜想
牛顿说过：
没有大胆的猜想就没有伟大的发明。
猜想可以发现真理，发现论断；猜想可以预见证明的方法和思路。
初中数学主要是对命题的条件观察得出对结论的猜想，或对条件和结论的观察提出解决问题的方案与方法的猜想。
归纳是对同类事物中的所蕴含的同类性或相似性而得出的一般性结论的思维过程。
归纳有完全归纳和不完全归纳。
完全归纳得出的猜想是正确的，不完全归纳得出的猜想有可能正确也有可能错误，因此作为结论是需要证明的。
关键是猜之有理、猜之有据。
例：
已知⊙e和⊙f相交于a、d两点，其半径分别为r和r,过d点
的任一条割线分别交圆于b、c两点，连结ab、ac求证：
ab:
ac为定值
分析：
猜想比值为定值应该和半径有关系，目标定为两半径之比；猜想之二比值是相似三角形中的常见问题，因此构造相似三角形，通过三角形agh和abc相似得到ab:
ac=r:
r
5.换元与配方
（1）换元法
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在初中数学中有广泛的应用。
（2）配方法
配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。
何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。
有时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。
它主要适用于：
已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解。
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式
6.构造法与待定系数法
（1）构造法所谓构造性的方法就是数学中的概念和方法按固定的方式经有限个步骤能够定义的概念和能够实现的方法。
常见的有构造函数，构造图形，构造恒等式。
平面几何里面的添辅助线法就是常见的构造法。
构造法解题有：
直接构造、变更条件构造和变更结论构造等途径。
p143
例：
在证明正三角形内有一点p，连接pa、pb、pc则pa+pc>pb.
证法是通过旋转三角形bpc到bp'在连接pp'就直接构造出以pa,pb,pc为边的三角形pp'a。
下面看一个常见的构造函数解决问题的例子例：
在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似的看作抛物线，如图，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4米，距地面均为1米，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1米和2.5米处，绳子甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是1.5米，根据以上信息你能知道学生丁的身高吗？
（2）待定系数法：
将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。
然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。
用待定系数法解题的一般步骤是：
确定所求问题含待定系数的解析式；根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。
上例也是一个典型的待定系数法的例子。
7.公式法与反证法
（1）公式法
利用公式解决问题的方法。
初中最常用的有一元二次方程求根时使用求根公式的方法；完全平方公式的方法等。
如下面一组题就是完全平方公式的应用：
（2）反证法是“间接证明法”一类，即：
肯定题设而否定结论，从而得出矛盾，就可以肯定命题的结论的正确性，从而使命题获得了证明。
在应用反证法证题时，一定要用到“反设”，否则就不是反证法。
用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。
（四）中学数学新题型解题方法和技巧
1.数学探索题
所谓探索题就是从问题给定的题设条件中探究其相应的结论并加以证
明，或从给定的题目要求中探究相应的必需具备的条件、解决问题的途径。
条件探索题：
解答策略之一是将题设和结论视为已知，同时推理，在演
绎的过程中寻找出相应所需的条件。
结论探索题：
通常指结论不确定不唯一，或结论需通过类比、引申、推广，或给出特例需通过归纳得出一般结论。
可以先猜测再去证明；也可以寻求具体情况下的结论再证明；或直接演绎推证。
规律探索题：
实际就是探索多种解决问题的途径，制定多种解题的策略。
活动型探索题：
让学生参与一定的社会实践，在课内和课外的活动中，
通过探究完成问题解决。
推广型探索题，将一个简单的问题，加以推广，可产生新的结论，在初
中教学中常见。
如平行四边形的判定，就可以产生许多新的推广，一方面是自身的推广，
一方面可以延伸到菱形和正方形中。
探索是数学的生命线，解探索题是一种富有创造性的思维活动，一种数
学形式的探索绝不是单一的思维方式的结果，而是多种思维方式的联系和渗透，这样可使学生在学习数学的过程中敢于质疑、提问、反思、推广。
通过探索去经历数学发现、数学探究、数学创造的过程，体会创造带来的快乐。
2.数学情境题
情境题是以一段生活实际、故事、历史、游戏与数学问题、数学思想和方法于情境中。
这类问题往往生动有趣，激发学生强烈的研究动机，但同时数学情景题又有信息量大，开放性强的特点，因此需要学生能从场景中提炼出数学问题，同时经历了借助数学知识研究实际问题的数学化过程。
如老师在讲有理数的混合运算时，
如列方程解应用题
3.数学开放题
数学开放题是相对于传统的封闭题而言的一种新题型，其特征是题目的条件不充分，或没有确定的结论，也正因为这样，所以开放题的解题策略往往也是多种多样的。
（1）数学开放题一般具有下列特征：
①不确定性：
所提的问题常常是不确定的和一般性的，其背景情况也是用一般词语来描述的，因此需收集其他必要的信息，才能着手解的题目。
②探究性：
没有现成的解题模式，有些答案可能易于直觉地被发现，但是求解过程中往往需要从多个角度进行思考和探索。
③非完备性：
有些问题的答案是不确定的，存在着多样的解答，但重要的还不是答案本身的多样性，而在于寻求解答的过程中学生的认知结构的重建。
④发散性：
在求解过程中往往可以引出新的问题，或将问题加以推广，找出更一般、更概括性的结论。
⑤层次性：
常常通过实际问题提出，学生必须用数学语言将其数学化，也就是建立数学模型。
⑥发展性：
能激起多数学生的好奇性，全体学生都可以参与解答过程。
⑦创新性：
教师难以用注入式进行教学，学生能自然地主动参与，教师在解题过程中的地位是示范者、启发者、鼓励者、合作者。
（2）对数学开放题的分类，从构成数学题系统的四要素（条件、依据、方法、结论）出发，定性地可分成四类；如果寻求的答案是数学题的条件，则称为条件开放题；如果寻求的答案是依据或方法，则称为策略开放题；如果寻求的答案是结论，则称为结论开放题；如果数学题的条件、解题策略或结论都要求解题者在给定的情境中自行设定与寻找，则称为综合开放题。
从学生的学习生活和熟悉的事物中收集材料，设计成各种形式的数学开放性问题，意在开放学生的思路，开放学生潜在的学习能力，开放性数学问题给不同层次的学生学好数学创设了机会，多种解题策略的应用，有力地发展了学生的创新思维，培养了学生的创新技能，提高了学生的创新能力。
（3）以数学开放题为载体的教学特征
①师生关系开放：
教师与学生成为问题解决的共同合作者和研究者
②教学内容开放：
开放题往往条件不完全、或结论不完全，需要收集信息加以分析和研究，给数学留下了创新的空间。
③教学过程的开放性：
由于研究的内容的开放性可以激起学生的好奇心、同时由于问题的开放性，就没有现成的解题模式，因此就会留下想象的空间，使所有的学生都可参与想象和解答。
（4）开放题的教育价值
有利于培养学生良好的思维品质；
有助于学生主体意识的形成；
有利于全体学生的参与，实现教学的民主性和合作性；
有利于学生体验成功、树立信心，增强学习的兴趣；
有助于提高学生解决问题的能力。
3.数学建模题（初中数学建模题也可以看作是数学应用题）
数学新课程标准指出:
要学生会应用所学知识解决实际问题,能适应社会日常生活和生产劳动的基本需要。
初中数学的学习目的之一,就是培养学生解决实际问题的能力,要求学生会分析和解决生产、生活中的数学问题,形成善于应用数学的意识和能力。
从各省市的中考数学命题来看,也更关注学生灵活运用数学知识解决实际问题能力的考查,可以说培养学生解答应用题的能力是使学生能够运用所学数学知识解决实际问题的基本途径之一
初中数学应用问题的三种类型。
（1）、探求结论型数学应用问题
根据命题中所给出的条件，要求找出一个或一个以上的正确结论。
例1、一块正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路将这块土地分成形状相同且面积相等的四部分。
若道路的宽度可忽略不记，请设计三种不同的修筑方案（在给出三张正方形图纸上分别画图，并简述画图步骤）。
（2）、与现实生活有关的数学应用问题
题目贴近生活、联系实际，注视社会生活、经济生活中的各方面。
例2、某市20位下岗职工在近郊承包50亩土地办农场，这些地可种蔬菜、烟叶或小麦，种植这几种农作物每亩地所需职工数和产值预测如下表：
请你设计一个种植方案，使每亩地都种上农作物，20位职工都有工作且使农作物预计总产值最高。
例3、某饮料厂生产一种饮料，经测算用1吨水生产的饮料所获利润y（元）是1吨水的价格（元）的一次函数。
根据下表提供的数据，求y与x的函数关系式；当水价为每吨10元时，1吨水生产出的饮料所获的利润是多少?
例4、某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人。
甲、乙两种工种的工人工资每月为600元和1000元。
现要求乙种工种人数不少于甲种工种人数的2倍。
问：
甲、乙两种工种各招聘多少人时，可以使得工程队每月付出的工资最少?
［评析］：
以上题目均与生活实际紧密联系，主要考查学生应用数学知识分析、解决问题的能力。
解决此类问题的关键在于要充分理解
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