保险精算第二版习题及答案.docx
《保险精算第二版习题及答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《保险精算第二版习题及答案.docx（52页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
保险精算第二版习题及答案
保险精算（第二版）
第一章：
利息的基本概念
5积累到180元，试确定在时刻5投资300元,
已知atat2b,如果在0时投资100元，能在时刻
在时刻
8的积累值。
a（0）
a（5）
b1
25ab1.8
0.8A彳
300
亦,b1c300*100乍、Q-T80-a（5）
300*迴（64ab）508
180
300*^
180
2.
（1）假设A（t）=100+10t,试确定i1,i3,i5。
血竺）0.1,i3
A（0）
甘0.0714
⑵假设An
1001.1
n...
，试确定匚1」3」5。
i1甘0-3
0.1,i5
A（5）A（4）01
A⑷
120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资
800元在5
620
1120
h0.08
500a（3）500（13"
800a（5）800（15i1）
500a（3）500（1i2）
800a（5）800（1i3）5
620h0.0743363
1144.97
4•已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为i110%，第2年的利率为i28%,
第3年的利率为i36%，求该笔投资的原始金额。
A（3）1000A（0）（1i1）（1i2）（1is）
A（0）794.1
5.确定10000元在第3年年末的积累值：
（1）名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%
（2）名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%
i⑷
i12
10000a（3）10000（1——）
4
（4）
i4
10000a（3）100001—
11956.18
11750.08
6.设rm>1,
按从大到小的次序排列
7.如果t
0.01t，求10000元在第12年年末的积累值。
、
12
tdt
10000e0
10000e0.7220544.33
10000a（12）
&已知第1年的实际利率为10%第2年的实际贴现率为8%第3年的每季度计息的年名义利率为6%
第4年的每半年计息的年名义贴现率为5%求一常数实际利率，使它等价于这4年的投资利率。
i⑷.⑵
（1i）4（1i1）（1d2）1（1—）4（12）2
42
1.1*1.086956522*1.061363551*1.0506251.333265858
i0.74556336
9.基金A以每月计息一次的年名义利率12%积累，基金B以利息强度t-积累，在时刻t（t=0），两笔
6
基金存入的款项相同，试确定两基金金额相等的下一时刻。
a1（t）1.01
12t
t
0tdt
a2（t）e0
12t
1.01
t2
e^
e丐t1.432847643
10.基金X中的投资以利息强度
t0.01t0.1（0基金丫中的投资以年实际利率i积累；现分
别投资1元，则基金X和基金Y在第
t
1i
20年年末的积累值相等，求第
3年年末基金Y的积累值。
a1（t）
a2（t）
ttdt00生0.1t
e0te2
0.01*202
.20-^―
ie
0.1*20
e4
4
3
1.8221
11.
某人1999年初借款
3万元,
按每年计息3次的年名义利率
6%投资，到2004年末的积累值为（）万
兀。
A.
B.C.D.
3（1
3*53*1.0215
4.0376
12.甲向银行借款1万元，每年计息两次的名义利率为6%甲第2年末还款4000元，则此次还款后所余本
）元。
金部分为（
225213136987
i⑵
2*2
i2*24
（1一）1.0341.1255
2
第二章：
年金
练习题
1.证明
iami
an。
iaman
i（i
2.某人购买一处住宅，价值16
10年。
年计息12次的年名义利率为%。
计算购房首期付款额
万元，首期付款额为A,余下的部分自下月起每月月初付1000元，共付
A。
1000a^
160000
.120
1v
1000
i
79962.96
79962.96（i8.7%/12）
80037.04
3.已知
5.153,
a诃7.036,帝
9.180,计算i。
17*
i0.08299
ai8a71
4.某人从50岁时起，每年年初在银行存入款作为生活费用，拟提取10年。
年利率为10%
5000元，共存10年，自60岁起，每年年初从银行提出一笔计算其每年生活费用。
5000&0x占輪
x12968.7123
5.年金A的给付情况是：
1〜10年，每年年末给付1000元；11〜20年，每年年末给付2000元；21〜30年，每年年末给付
1000元。
年金B在1〜10年,
年末给付
K元，若
A与B的现值相等，已知V
10
10
1000窃
1
2000——
1i
20
每年给付额为K元；11〜20年给付额为0;21〜30年，每年
1
-，计算K。
2
20
1
1「阴
1800
v10
v20
，并解释该式意义。
ai01
v10v20
7.
款每次为
1叫2000X5a517000
110
3.355%
8.
某期初付年金每次付款额为
1
1元，共付20次，第k年的实际利率为—，计算
8k
V⑵。
V
（2）
1i1
2L
11
L
（1i1）（1i2）
9
28
（1iJL（1i19）
某人寿保险的死亡给付受益人为三个子女，给付形式为永续年金，前两个孩子第分所领取的年金，
1
1n
3
9.
A.
11.
n年后所有的年金只支付给第三个孩子，若三个孩子所领取的年金现值相等
1到n年每年末平
那么v=（）
1
B.3n
1
2an
1vn
i
n1
v-
3
2vn1
i
C.
1D.3n
3
延期5年连续变化的年金共付款
2
6年，在时刻t时的年付款率为t1,t时刻的利息强度为1/（1+t）,
该年金的现值为（
5|a6
v（t）
11
5V（t）（t
1
1）2dt
5|a6
t
a（t）e0tdt11X
第三章：
生命表基础
练习题
1）2dt
54
x2
e2500，求：
人在50岁〜60岁之间死亡的概率。
岁的人在60岁以前死亡的概率。
人能活到70岁的概率。
岁的人能活到70岁的概率。
1.给出生存函数sx
（1）
（2）50⑶
（4）50
P（50
X60）s50s（60）
10q50
P（X
s50s（60）
s（50）
70）s（70）
s70
20p50
s（50）
2.
已知Pr:
5vT（60）w6:
=,Pr:
T（60）>5:
=，求q60。
5060
—S（66）0.1895,5P60S-6^0.92094一's（60）
q65
s（60）
s65s（66）0.2058
s（65）
3.
已知q800-07,d80
3129，求l81。
q80
d80
〔80
0.07
〔80
4.
分别为
设某群体的初始人数为
15人和18人。
求生存函数
3000人，20年内的预期死亡人数为240人，第21年和第22年的死亡人数
s（x）在20岁、21岁和22岁的值。
s（20）
d1Ld20
0.92,s（21）
d1Ld21
l0
0.915,s（22）■d^~L—
l0
0.909
5.
如果
—2—,0wxw100,
100x
求l0=10000时，在该生命表中
1岁到4岁之间的死亡人数
为（
s（x）e
x
0xdx
x22
dxe0x1100x
2
100X
x1
6.
已知20岁的生存人
l0（s
（1）
s（4））
2081.61
数为1000
人,
21
岁的生存人数为998人,
22岁的生存人数为
992人，则1|q20为（
A.
C.
B.
D.
1|q20
l21
l20
0.006
第四章：
人寿保险的精算现值
1.
设生存函数为sx1（0
100
wxw100），年利率
i=，计算（保险金额为
（1）
趸缴纯保费1荷的值。
这一保险给付额在签单时的现值随机变量Z的方差Var（Z）。
s（x）1
tpxgxt
s（x）
100
10t10
0VtPxgxtdt0
t
A30:
101
11c
1.170
Var（Z）
2—1—12
A30:
T0（A30:
T0）
102t
0vtPxg
x
设年龄为
2
100x
0.092
t
112
——一dt0.09220.055
1.2170
35岁的人，购买一张保险金额为1000元的5年定期寿险保单，保险金于被保险人死亡的
tdt0.0922
10
保单年度末给付，年利率i=，试计算：
该保单的趸缴纯保费。
该保单自35岁〜39岁各年龄的自然保费之总额。
与
（2）的结果为何不同？
为什么？
（1）
⑵
⑶
（1）
（1）法一:
1000A35:
5
k
4
k1
VkPxqx
0
1（d35d36d37d38d39）
k135（1.061.0621.0631.0641.065）
查生命表l35
979738,d35
1170,d36
1248,d371336,d38
1437,d391549代入计算:
1000心5
4
k
v
k0
kpxqxk
丄（电
l351.06
d36d37
1.061.06
d38
4
1.06
鲁）5.747
—1
法二：
1000A35：
5
1000归
D35
M40
查换算表1000忑：
弓1000M35M40
10009^0^
1000p35
1000P36
1000P37
1000P38
1000心1
1000p39
1000（P35
l>35I厶/幵ocluu
C35
143.58
1000
1000g
1.126
D35
127469.03
C36
144.47
1000
1000g
1.203
D36
120110.22
C37
145.94
1000
1000
1.29
D37
113167.06
C38
148.05
1000
1000g
1.389
D38
106615.43
C39
150.55
1000
1000g
1.499
D39
100432.54
p38
P39）
6.457
1000心
1000心
1000A37:
1
1000冗9：
1
g2P35A37：
1Vg3P35A38:
1
P36P37
2v
3.
A35:
5A3511VP35A36:
i1
A35:
5P35
P36p37
P38p39
设AxO.25,Ax20
（1）AX:
20。
V4g4P35冗91
O.40,Ax:
20O.55，试计算:
（2）A爲。
改为求A爲
AXAx:
20Ax20gAx20
Ax：
20Ax：
201
Ax：
20Ax：
20g0.4
AX:
20A^]
Ax:
201
0.25
0.55
心。
0.05
0.5
udD假设条件下:
dx：
n
Ax：
1^—A爲。
.（X）购买了一份
2年定期寿险保险单，据保单规定，若（X）在保险期限内发生保险责任范围内的死亡,
则在死亡年末可得保险金
1元，qx0.5,i0,Varz0.1771,试求q*1。
已知，A76
0.8,D76400,D77360,i
0.03,求A77。
7.现年30岁的人，付趸缴纯保费5000元,
所处保单年度末支付，试求该保单的保险金额。
购买一张20年定期寿险保单，保险金于被保险人死亡时
解:
5000
RA30：
201
5000
A30：
201
其中
19
k1
VkP30q30
k0
11
—（d30
l301.06
M30M50
D30
l30kd30k
l30k
1
1
l30
1
l30k
vk
1d
d30k
2d31
（1.06）231
3d32L
（1.06）332
（T^d49）
查（2000-2003）男性或者女性非养老金业务生命表中数据
I30,d30,d31,d32Ld49带入计算即可，或者i=以及
（2000-2003）男性或者女性非养老金业务生命表换算表
M30,M50,D30带入计算即可。
例查（2000-2003）男性非养老金业务生命表中数据
11
A30：
20984635（1.06867
12917—977
（1.06）2（1.06）3
1
2144）
0.017785596
R281126.3727
1
8.考虑在被保险人死亡时的那个丄年时段末给付
m
1
j是死亡那年存活的完整—年的时段数。
m
个单位的终身寿险，设k是自保单生效起存活的完
整年数,
求该保险的趸缴纯保费AXm）。
设每一年龄内的死亡服从均匀分布，证明
AXm）
.现年35岁的人购买了一份终身寿险保单，保单规定:
元；10年后死亡，给付金额为20000元。
试求趸缴纯保费。
7（myAx。
被保险人在
10年内死亡，给付金额为15000
趸交纯保费为15000^5诃
2000010|A35
其中
9
k1
Vkp35q35k
k0
9
k
v
k0
1^5kd35k
l35l35k
I35k
d35k
10|A35
丄（丄d35
I351.06
M35M45
D35
70
k1
vkP35q35
k10
2d36
（1.O6）236（1.06严37
13590.2212077.31
127469.03
10d44）
（1.O6）1044
0.01187
11
「（一—11d45
I35（1.06）
M45
yk1心kd35kk10l35l35k
1d
12d46（1.O6）1246
170k1d—vd35k
I35k10
1d
（T^d47
D35
12077.31ccc,”
0.09475127469.03
所以趸交纯保费为
15000儿诃2OOOO10I冗5178.05
18952073.05
40岁的人，以现金10000元购买一份寿险保单。
保单规定：
被保险人在其死亡的年末给付金额3000元；如在5年后死亡，则在其死亡的年末给付数额
11.设年龄为50岁的人购买一份寿险保单，保单规定：
被保险人在
元；如至70岁时仍生存，给付金额为
10.年龄为
5年内死亡，则在
1500元。
R元。
试求R值。
70岁以前死亡，给付数额为3000
试求该寿险保单的趸缴纯保费。
该趸交纯保费为：
3OOOa50帀
1500A50:
201
其中
A50：
201
19k
v
k0
1
kp50q50
19
—d50
I501.06
M50M70
D5O
119
I50kd50k
I50k
1
I50
I50k0
vk
d50k
2051
（1.O6）251
3052L
（1.O6）352
（T^d69）
珞:
羽V7070P50V70^
I50
D70
d50
查生命表或者相应的换算表带入计算即可。
12.设某30岁的人购买一份寿险保单，该保单规定:
的保单年度末给付
5000元，此后保额每年增加
1000元。
若（30）在第一个保单年计划内死亡，则在其死亡求此递增终身寿险的趸缴纯保费。
该趸交纯保费为:
4OOOA3O
1OOO（IA）304000M30
D3O
1000甩
D3O
其中
A30
k
（IA）30
75
k1
Vkp30q30k
0
丄（丄d30
I301.06
M30
D3O
75
（k1）vk1
k0
11
—（dsO
I301.06
R30
D30
75
k
v
k0
1
1l30kd30k
l30k
1
（1.06）2
kp30q30k
I30
d31
75
2d31
（1.06）2
175
l30k
d30k
（W%2
（k
0
严。
5）
k1l30kd30k1
1）v
l30l30kl30k0
3032L76dr
（1.06）3（1.06）76
75
（k1）vk1d30k
13.
（1）1000
（2）1000趸缴纯保费为
查生命表或者相应的换算表带入计算即可。
某一年龄支付下列保费将获得一个n年期储蓄寿险保单：
元储蓄寿险且死亡时返还趸缴纯保费，这个保险的趸缴纯保费为750元。
元储蓄寿险，被保险人生存n年时给付保险金额的2倍，死亡时返还趸缴纯保费，这个保险的
800元。
若现有
1700元储蓄寿险，无保费返还且死亡时无双倍保障，死亡给付均发生在死亡年末，求这个保险
的趸缴纯保费。
解：
保单1）精算式为1000Axn750Al：
n1750Al：
n1000Ax1,750
保单2）精算式为
1000码800心1000Axn1800A：
n2000Ax：
n800
求解得嘉7/17,Ax:
n1/34，即
1700Ax诃1700隔1700鵝750
14.设年龄为30岁者购买一死亡年末给付的终身寿险保单，依保单规定：
被保险人在第一个保单年度
内死亡，则给付10000元；在第二个保单年度内死亡，则给付9700元；在第三个保单年度内死亡，则给付9400
元；每年递减300元，直至减到4000元为止，以后即维持此定额。
试求其趸缴纯保费。
1元保险金。
其中，给定lx110x,0110。
利息力5
=。
Z表示保险人给付额的现值，则密度
fx0.8
等于（）
A.
B.
C.D.
InZ
lnv
fT（t）
Pxx
S（xt）tS（x）
fz（Z）
fT（g（z））g（z）
lxtnr
1/z
%。
70Inv
1
70z
2
7z
15.某人在40岁投保的终身死亡险，在死亡后立即给付
fZ（0.8）0.36
16.已知在每一年龄年
udD假设成立,
表示式
A.
B.
C.
D.
解:
（IA）x
（IA）x
E（T
1vT）E（Tvt）
Ax
E（vT）
E（（1S）vKS）（T
E（vKS）（
KS）
E（（1S）vS）
E（vS）
0（1s）vsds11
d
vsds
0
X）死亡的保单年度末给付b元，生存保险金为e元。
保险人给
乙则Var（Z）=（
17.在x岁投保的一年期两全保险，在个体付额现值记为
解:
A.
C.
Pxqxv2be2
PxqxV2b2e2
B.
D.
2.PxqxVb
v2b2qx
e2Px
bv）qx,P（Zev）b2v2）qx,P（Z2bvqxevpx
P（Z
P（Z2
E（Z）
E（Z2）b2v2qxe2v2p
Var（Z）E（Z2）E（Z）
Px
22、
ev）
Px
2.2222.
bvqxeVPxbvqxevpx
v2qxPx（be）2
第五章：
年金的精算现值
设随机变量T=T（x）的概率密度函数为f（t）0.015
e0.015t
（t>0），利息强度为5=。
试计算精
算现值
ax
dfT（t）dt
0.05t
1ecc,L0.015tu,Lcc
0.015edt15.38
0.05
•设ax10
2-
ax
7.375,
Var
aT
50。
试求：
（1）
；
（2）Qx。
axAx
2-
2ax
10
Ax
Varan
Ax
2Ax
2Ax
0.035
0.65
0.48375
某人现年
14.75
2Ax
（Ax）2）50
12（2Ax
（Ax）2）
50岁，以10000元购买于51
岁开始给付的终身生存年金，试求其每年所得年金额。
4
所缴付款额也不退还。
人每次所获得的年金额。
某人现年
23岁，约定于36年内每年年初缴付2000元给某人寿保险公司，如中途死亡，即行停止,而当此人活到
60岁时，人寿保险公司便开始给付第一次年金，直至死亡为止。
试求此
解:
2000&3:
36R37|&3
2000龟36
37|a&3
a&3:
361
35
vkkP23
:
0
35
v
k0
kl23k
l23
37|a&3
1
l—（I23
l23
N23N59
D23
l23k
1
35k
V
0
l23k
（1.06）"5
（T^126
1
（W"158〉
&3a&3:
371
82
k
VkP23
k37
37
V37P23060
82|
k<23k
V
37
|1（l60
l23
No
D23
c」60
1.06
l23
1
37E23龜
82
k1
Vl23k
37
I23k
（1.O6）T62
爲l63
（T^l105）
查生命表或者相应的换算表带入计算即可。
习题5将参考课本P87例现年35岁的人购买如下生存年金，且均于每月初给付，每次给付
1000元，设年利率
i=6%，求下列年金的精算现值。
（1）终身生存年
升级会员 