工程光学习题解答光的衍射讲解.docx
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工程光学习题解答光的衍射讲解
工程光学习题解答
第十一章光的衍射
1.波长为500nm的平行光垂直照射在宽度为0.025mm的单缝上，以焦距为50cm的会
聚透镜将衍射光聚焦于焦面上进行观察，求
（1）衍射图样中央亮纹的半宽度；
（2）
第一亮纹和第二亮纹到中央亮纹的距离；（3）第一亮纹和第二亮纹的强度。
解：
（1）零强度点有asin日=n"n=土1,攵,土3）
.♦.中央亮纹的角半宽度为
a
・•・亮纹半宽度r0=f
__2___9
■_501050010
-=____3
a0.02510
=0.01m
（2）第一亮纹，有:
■二—asinq=4.493
______9
4.493'_4.49350010
=T-
二a3.140.02510
=0.0286rad
「f「5010/0.0286-0.0143m-14.3mm
同理r2=24.6mm
（3）衍射光强I=10
i'sinajn.口
I,其中a=—asinH
Ia}九
当asin6=nK时为暗纹，tga=ot为亮纹
对应
级娄
攵a
0
0
1
1
4.493
0.04718
2
7.725
0.01694
2.平行光斜入射到单缝上，证明：
（1）单缝夫琅和费衍射强度公式为
222
aa小
sin［、（sin6-sini）］
I=I0{>式中，I0是中央亮纹中心强度；a是缝宽；日是
aa八
、（sin日-sini）
衍射角，i是入射角（见图12-50）
（2）中央亮纹的角半宽度为=一—
acosi
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3.在不透明细丝的夫琅和费衍射图样中，测得暗条纹的间距为1.5mm,所用透镜的焦距
为30mm,光波波长为632.8nm。
问细丝直径是多少？
解：
设直径为a,则有—f=d
a
4.利用第三节的结果导出外径和内径分别为a和b的圆环（见图12-51）的夫琅和费衍射强
a
度公式，并求出当b=一时，
（1）圆环衍射与半径为a的圆孔衍射图样的中心强度之比；
（2）
2
圆环衍射图样第一个暗环的角半径。
因此圆环在P点产生的振幅为
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a
当b=一时,
2
10
Ia0一化
（2）第一暗纹有
a2J1kaub2J1kb?
ka?
kbi
1a.
aJ1kai=—aJ1Ik—：
1
查表可有kai-3.144
3.144
33=3.144=0.51—
ka2二aa
4.
（1）一束直径为2mm的氨速激光（九二632.8nm）自地面射向月球，已知地面和月
3
球相距3.76^10km,问在月球上得到的光斑有多大？
（2）如果用望远镜用作为扩
束器将该扩展成直径为4m的光束，该用多大倍数的望远镜？
将扩束后的光束再射向月球，在月球上的光斑为多大？
解：
（1）圆孔衍射角半宽度为a=四二
a
•♦・传到月球上时光斑直径为
______9
0.61'0.61632.8108
D=21l=2l=223.7610290.3km
a110
（2）若用望远镜扩束，则放大倍数为2000倍。
直径
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5.若望远镜能分辨角距离为3M102rad的两颗星，它的物镜的最小直径是多少？
同时为
了充分利用望远镜的分辨率，望远镜应有多大的放大率?
解：
D二
0.61■0.615501042
310J
=2.24m
人眼分辨率为1'2.910&rad
2910口.
.・放大率M_2.9l07L900310
6.若要使照相机感光胶片能分辨2Nm的线距，
（1）感光胶片的分辨率至少是每毫米当
时线；
（2）照相机镜头的相对孔径D/f至少有多大？
（光波波长为550nm）
“1八、一
解：
（1）胶片分辨率为N=3=500线/毫米
210
（2）D=1.22九NL-^=0.34d1490
7.一台显微镜的数值孔径为0.85,问
（1）它用于波长九=400nm时的最小分辨距离是多少？
（2）若利用油浸物镜使数值孔径增大到1.45,分辨率提高了多少倍？
（3）显
微镜的放大率应设计成多大？
（设人眼的最小分辨率为1′）。
0.61■
解：
（1）6=
nsinu
145
⑵提高名’=£=1.7
0.85
（3）人眼在明视距离处能够分辨的长度为
「250mm”2502.910-7.2510，mm
，放大率至少为
2
二425
」_7.2510mm
；'0.2910“mm1.7
8.在双缝夫琅和费衍射实验中，所用光波波长九=632.8nm,透镜焦距f=50cm,观
察到两相邻亮条纹之间的距离e=1.5mm,并且第四级亮纹缺级。
试求
（1）双缝的缝
距和缝宽；
（2）第1,2,3级亮纹的相对强度。
解：
（1）双缝衍射亮纹条件为dsin^=m九,m=0,土1,±2
取微分有dcos,二△•二--二m
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令Am=1,且cos6&1,则48「上
d
又；，e-f=——fd
632.810*0.5
1.5102
=0.21104m
（2）衍射极小位置为asin?
-n■
a-d,n—1,_2m-0,_1,,2
nm
取n=1,m=4.a=d=0.05mm
4
（3）对于第一级亮纹有dsinf=：
二/
又：
d=4a
.asin「一
4
同理»=0.4,=0.09
10I0
9.在双缝的一个缝前贴一块厚0.001mm,折射率为1.5的玻璃片。
设双缝间距为1.5Nm,
缝宽为0.5Nm,用波长500nm的平行光垂直入射。
试分析该双缝的夫琅和费衍射图
样。
解：
衍射图样不变，干涉位置变为dsin8+（n-n0）d=m%
10.一块光栅的宽度为10cm,每毫米内有500条缝，光栅后面放置的透镜焦距为
500nm。
问
（1）它产生的波长九=632.8nm的单色光的1级和2级谱线的半宽度是多少？
（2）若入射光是波长为632.8nm和波长之相差0.5nm的两种单色光，它们
的1级和2级谱线之间的距离是多少？
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对于一级主极大有dsin'=^1=18.43
■fcc“工
〃==3.3410mm
Ndcos二
同理r2=4.0810，mm
（2）7dsin日=m九
，线色散—=旦上
、二dcos1
••.1,2级衍射线色散为
=0.26mm/nm
、l_500mm
r1-0.002mmcos18.43
l…，
——=0.64mm/nm
.er2
而=0.5nm
••・谱线间距
「-0.26mm/nm0.5=0.13mm
二12=0.32mm
11.设计一块光栅，要求
（1）使波长九=600nm的第2级谱线的衍射角0<30°,
（2）
色散尽可能大，（3）第3级谱线缺级，（4）在波长九=600nm的2级谱线处能分辨
0.02nm的波长差。
在选定光栅的参数后，问在透镜的焦面上只可能看到波长600nm
的几条谱线？
解：
为使九=600nm的二级谱线的衍射角10M30。
，则光栅常数d应满足
dim
-色放_.=1.d越小色放越大
d■dcos-
，d=2.410"m
3
右第二级缺级，应有a=—=0.810md
由条件（4）N==600=15000
1m0.022
，光栅总长度L-Nd-36mm
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解：
632.8nm对应的频率为4.741m1014Hz
4501064
14632.8=610-nm
4.74110
.•・光栅总条纹数为N=—="6丝与=1.005106
■:
■m610
1
.・长度为L=Nd=1.005106=879mm
1200
，人,,,,,,、、，「sina）sinNb
13.
证明光束斜入射时，
（1）光栅衍射强度分布公式为I=i0sn—।sin*
laSv.sinP
中a=±a（sin8—sini）,P=-（sin9-sini）日为衍射角；i为入射角，见图九九
12-53,N为光栅缝数。
（2）若光栅常数d冷九，光栅形成主级大的条件可以写为
dcosi…=m'm=0,二1,二2,...
图12-53习题18图2n2n
证明：
（1）与垂直入射相匕若d=—A=――d（sin-sini）
:
=-sin二-sini
一二a...
同理：
-=sin?
-sini
（2）光栅形成主极大有d（sin日-sini）=m九
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2dcos]
[icos
2
.；—iJ
:
cosi,sin
22
..有dcosin-i）=m
14.有一多缝衍射屏如图12-54所示，缝数为2N,缝宽为a,缝间不透明部分的宽度
依次为a和3a。
试求正入射情况下，这一衍射屏的夫琅和费衍射强度分布公式。
Efi^yMM
3小出+/有也）+/箕）++$俗3二灯」
-A产学expi（N-1斗+此
IaJ512J
22）
设复数M=1ei1
expiN-1-
一2
2't
则MM=4cos—
2
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••・透射光强|=4I0sn
.N
sin-、
2
5
万
4二1
cos—
2
二bsin二
22
1=410
）fsin6NP）
15.
块闪耀光栅宽260mm,每毫米有300个刻槽，闪耀角为77°12'。
（1）求光束垂直于槽面入射时，对于波长九=500nm的光的分辨本领；
（2）光栅的自由光谱范围有多大？
（3）试问空气间隔为1cm,精细度为25的法布里-珀罗标准具的分辨本领和自由光谱范围作一比较。
（1）光栅刻痕数为N=—=7.8104d
，分辨本领为——=mN:
106
AZ
（2）自由光谱范围为AZ=-=500=38.5nmm13
2h
（3）F-P标傕具的分辨为A=0.97ms=0.97父、-s|_10
25002
比光栅小得多
自由光谱氾围为Aa=—=7=0.0125nm
2h210
16.
一透射式阶梯光栅由20块折射率相同、厚度相等的玻璃平板平行呈阶梯状叠成，
厚板t=1cm,玻璃折射率n=1.5,阶梯高度d=0.1cm。
以波长儿=500nm的单色
光垂直照射，试计算
（1）入射光方向上干涉主极大的级次；
（2）光栅的角色散和分
辨本领（假定玻璃折射率不随波长变化）。
解：
（1）由于阶梯高度d与九相比极大，所以衍射角极小，此时相邻两阶梯的光程
差为：
=nl-cosRdsin二-n-1ld-
对应日=0处，m0="1]=104
九
⑵；n-1ld1-m
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、r1
=一m—1——
、.-d
设n与K相比变化很小，即出=0
2
二10rad/nm
分辨本领A=—=mN=10420=2105
AZ
17.
18.
设光栅的振幅透射系数为t（x）=t0+t1cos2兀f0x+t1cos（2nf0x十三），这块光栅
2
的夫琅和费衍射场中将出现几个衍射斑？
各斑的中心强度与零级的比值是多少？
在宽度为b的狭缝上放一折射率为n、折射角为a的小光楔，由平面单色波垂直照
射（见图12-55）,求夫琅和费衍射图样的光强分布以及中央零级极大和极小的方向。
19.
图12-56为一透射型闪耀光栅，周期为d,闪耀角为a,由平面波垂直入射
（1）
求夫琅和费衍射图样的光强分布。
（2）求光栅对m=1级光谱闪耀时0（应满足的条件。
（3）试分析对m=1级闪耀时，光谱强度分布的特点。
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20.如图12-58所示，单色点光源（波长九=500nm）安放在离光阑1m远的地方，光阑上有一个内外半径分别为0.5mm和1mm的通光圆环。
考察点P离光阑1m（SP连线通过圆环中心并垂直于圆环平面），问在P点的光强和没有光阑时的光强之比是多
少？
图12-58习题28图
解：
半径为1mm的圆孔包含波带数为
P2（R+r0）（1mm2（1000mm+1000mm）
J==—=4
r0R'1000mm1000mm50010mm
半径为0.5mm的圆屏挡住的J'=1
••・圆环通过波带数为3,由于相邻波带相消，所以只有一个波带的光在P点产生振
1~
幅，无光阑时P点振幅为第一波带产生振幅的一，所以放置光阑前后光强变化4
2
倍。
21.波长九=563.3nm的平行光正入射直径D=2.6mm的圆孔，与孔相距r0=1m处
放一屏幕。
问
（1）屏幕上正对圆孔中心的P点是亮点还是暗点？
（2）要使P点变成
与
（1）相反的情况，至少要把屏幕向前（同时求出向后）移动多少距离？
解：
在P点包含的波带数为
•••中心为亮点
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c-32
令J=2
:
21,310，
S=—=9=1.5m
J2563.310
32
;?
21.310
J=4S=—=9=0.75m
J■4563.310，
22.试写出图中双狭缝衍射屏的复振幅透射系数的表达式（设缝宽为a,缝距为b,且
b=4a）。
（2）.用单位振幅单色平面光波正入射照明时，试求在透镜L后焦面内沿x轴的复振幅
分布。
（3）.求在透镜L后焦面内沿x轴的光强度分布。
（4）.指明光强度分布的特征（单缝衍射中央亮区的半角宽度；干涉主亮纹间距）。
［解］
（1）双狭缝衍射屏的复振幅透射系数为:
ba.bababa
t（-）=1,（万一]）---（2+]）及（_；）<（_万+鼻）
.b
t（）二rect（
（2）复振幅分布为：
a
bt+
）rect
（2）
a
〜
E（x）=
2
一x
exp[ik（f——2f
）]~（）e"d
（3）光强度分布为:
I（x）=4I0
2eHklx1dx1
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ikl
[e
ikl
此时
答：
1）增大透镜L2的焦距，将使接收屏上衍射图样的间隔增大。
因有公式
衍射角9不变，条纹间隔e增大;
2）增大透镜L2的口径，不会改变衍射图样的分布，但进入系统的光束宽度增加,
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可使光强增加；
3）衍射屏垂直于系统光轴方向移动时，衍射图样不会改变，因为衍射屏移动前后
光的入射角不变，缝宽不变，由衍射公式知其接收屏上的光强分布不变；
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