二元函数的泰勒公式docx.docx
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§10.4・二元函数的泰勒公式
一、高阶偏导数
二元函数z=f（x,y）的两个（一阶）偏导数生,毕仍是，与y的二元函数.dxdy
若它们存在关于x和y的偏导数，即
dz
Qz、
dz
fz、
dz
■
dz
[dz]
，ay
，dx
a
2）J
称它们是二元函数z=/（x,y）的二阶偏导（函）数.二阶偏导数至多有22个.通常
将它们表为:
一般地，二元函数z=f（x,y）的农-1阶偏导函数的偏导数称为二元函数的n阶偏导数.二元函数的n阶偏导数至多有2〃个.二元函数z=/（兀,刃的n阶偏导数
的符号与二阶偏导数类似•例如，符号
表示二元函数z=/（x,y）的n阶偏导数，首先对兀求n-k阶偏导数，其次接着对
歹求£阶偏导数.
二阶与二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
类似可定义三元函数、一般n元函数的高阶偏导数.
例］.求函数z=x3y3-3x2y+xy2+3的二阶偏导数.
解：
李•=3兀夕-6兀y+yl—=3x3y2-3x24-2xy.
oxdy
¥=6”—6y.
（d2zd2z>
OX
=9x2y2-6x+2y・=9x2y2一6x+2y.
oyux・dxdy
^-^=6x3y+2x.dy-
同样，可得
d2u
t+2（y_b）2,
rr
等丄VET.
3/2x—Q
r-（x-d）3r
r
~（T
[+2（j2・
dx2r6
dr_x-as
r>
定理1・
若函数/（九y）在点POo』o）的邻域G存在二阶混合偏导数y）
t+4=o-
并且它们在点P（兀（）,儿）连续，则
（兀0，儿）=尤（兀0，儿）
证明令F（Ar,Ay）=[/（x0+Ar,j（）+Ay）-/（x0+Ax,y0）]
一[/（兀0，儿+3）-/（兀0，儿）]，
①令0（兀）=/（x,yQ+Ay）-/（x,y0）•对0（兀）在[x0,x0+Ax]上应用拉格朗日中值定理，得F（Ax,Ay）=0©o+0}Ax）Ax
②令妙（y）=/（兀0+Ax,y）-/Oo，y）・同样方法可以得到
F（A.v,Ay）=/：
（兀（）+仇心,儿+$心）山•于是有
打（兀（）+&|心,?
0+2®）二fyx（兀0+&3心,>0+&4心）•令心T0,z\ytO,取极限得
（1）式.
例3.证明：
若z=f（x,y）,x=pcos（p,y=psin（p,则
d2fd2f_d2/'ia2./-idf
dx2dy2dp2p2d（p2pdp
"I—十"T
d2f
dp2
—cos^+—sin^?
dxdy
证明：
必二必也+玄西二艺cos°+2si
d2f
「p2sin0cos°+写”2曲0一甞psin輕dyoxdy~oy
于是，++丄伞二（cos2+sin2（/））+-|-4（sin2+cos2©
d/Tp-B（pjpdpdx^d）厂
dfcos。
dfsin^9dfcos。
dfsin^9
d2f_d2f
a?
+a/
3xpdypdxpdyp
吃+兰£二空+丄吃+丄必
dx2dy2dp2p2d（p2pdp
★说明：
定理1的结果可推广到n元函数的高阶混合偏导数上去•例如，三
元函数/（x,y,z）关于%,y,z的三阶偏导数按照不同的顺序共有六个：
护/PfPf盯a\fd\f
dxdydz'dydxdz'dydzdx'dxdzdy'dzdxdy'dzdydx
若它们在点（x,y,z）都连续，则它们相等.若二元函数/（x,,y）所有的混合高阶偏导数都连续，则偏导数（亦称一阶偏导数）有二个，二阶偏导数只有三个CA：
=/：
）,三阶偏导数只有四个•一般情况，n阶偏导数只有川+1个.
二、二元函数的泰勒公式
讨论二元函数泰勒公式的方法是：
作一个辅助函数，将二元函数化为一元函数•应用已知的一元函数的泰勒公式和复合函数的微分法得到二元函数的泰勒公式.
为了将二元函数f（x,y）在点Q（a+h,b+k）的函数值f（a+/?
b+k）在点
P（a,b）展成泰勒公式，作辅助函数
（p⑴=f（a+/?
/,h+kt）,0
即（p（t）=/（x,y）,x=a+ht,y=b+kt,0显然，/=0,0（0）=/（□,/?
）;（=1,°
（1）=/（d+/7,b+£）.于是，函数/（。
+力,/?
+£）在点P（a,b）展成的泰勒公式就是一元函数0⑴在点0的泰勒公式（即麦克劳林公式）在f=1的值.
定理2.若函数/（兀丿）在点Pg"的邻域G存在n+1阶连续的偏导数，则
2
/（Q,b）+
PQ（a+h^b+k）wG,有
1!
f（ci+h,b+k）=f（a,b）+—h学+k=/（cz,/?
）+—hk
11r2!
^Ox
（4）
（4）式称为二元函数f（x,y）在P（a,b）的泰勒公式.
在泰勒公式（4）中，令。
=0"=0,就得到二元函数/（兀刃的麦克劳林公
于（"）5,0*埒+y一（0,0）+护討疳畑0）+・..
、卄1
叭dx
1
+—
n\
n
5詁心°
（aa—x—+—
g，0）,0V0Vl
式（将力与£分别用兀与y表示）:
（5）
在泰勒公式（4）中，当；1=0时，有
f（a+h,b+k）=f（a,b）+f'（a++0k）h++Oh,b-\-Ok）k,
Ov&vl•
或f（a+h,b+k）-f（a,b）=f；（a+0h、b+0k）h+/；（a+%,b+%）R,
（6）
（6）式二元函数中值定理的另一种形式，这里只有一个0.在泰勒公式（4）中，当斤=1时，有
/（Q+/?
/?
+£）-/（□,/?
）=f；（a+di,b+0k）h+f；.（a+飢b+Gk）k
+-{fLW+飢b+3k）h2+2/；（a+价M+0k）hk
例4.将函数/（兀*）=0心展成麦克劳林公式.
dm+lr
L=严
dxmdyl
dm+l
dxmdy{
/（0,0）=1
解：
函数/（X,y）=ex+y在F存在任意阶连续偏导数，且
加与/是任意非负整数.由公式（5）,有
严十（宀）+g（心八…+扣+疔
+—-—（x+y）/,+,,0v&v1.
（〃+1）!
三、二元函数的极值
1.极值点的定义
定义设函数/（x,y）在点P（a,b）的邻域G有定义若P（a+h,b+k）wG,有
f（a+h,b+k）f（a,b））,
则称P（a,b）是函数/（x,y）的极大点（极小点）•极大点（极小点）的函数值f（a,b）称为函数/（%,y）的极大值（极小值）.
极大点与极小点统称为极值点.极大值与极小值统称为极值.
例如，点（1,2）是函数f（x,y）=（x-l）2+（y-2）2-l的极小点，极小值是/（1,2）=-1.
事实上，V（x,y）,有
（x-l）2+（y-2）2>0,
于是/（x，刃》/（1，2）・
2.极值点的必要条件
定理3.若函数/（x,y）在点P（a,b）存在两个偏导数，且P（a,b）是函数/（兀,,y）的极值点，则
片（恥）二0与/>力）=0.
证明：
己知P（a,b）是函数f（x,y）的极值点，即x-a是一元函数f（x,b）的极值.根据一元函数极值的必要条件，a是一元函数/（兀,b）的稳定点，即
方程组
扎（x,y）=0,f；a,y）=o,
的解（坐标平面上某些点）称为函数/（x,y）的稳定
点.
★定理3指出，可微函数/（x,y）的极值点一定是稳定点•反之，稳定点不一定是极值点•例如，函数（双面抛物面）
/（兀,y）=x2-y2.
=fy=~2y.
显然，点（0,0）是函数/（x,y）=x~—y"的稳定点.但点（0,0）并不是函数/（%,y）=x2-y2的极值点.
3・极值点的充分条件
定理4.设函数/（x,y）有稳定点P@,b）,且在点P（a,b）的邻域G存在二阶连续偏导数.
令A=B=c=
a=b2-ac.
1）若AvO,则P（a,b）是函数/（%,y）的极值点:
（i）A>0（或C>0）,P（a,b）是函数/（x,y）的极小点.
（ii）Av0（mo）,P（a,b）是函数/（x,y）的极大点.
2）若△>（）,则P（a,b）不是函数f（x9y）的极值点.
注：
当判别式△=（）时，稳定点P（a,b）可能是函数/（X,y）的极值点，也可能不是函数/（x,y）的极值点•例如，函数
fi（兀,y）=（x2+/）2,f2（x,y）=-（x2+尸尸,f3（x,y）=x2y.
不难验证，mo）是每个函数唯一的稳定点，且在稳定点p（o,o）每个函数的
判别式△=32-AC=0・显然，稳定点P（0,0）是函数£（x,y）=（F+b）2的极小点;
是函数£（x,y）=-（/+）“）2的极大点；却不是函数f3（x.y）=x2y的极值点.
1）
求偏导数，解方程组
扎（x,y）=0,扎（X,=0,
求稳定点.设其中一个稳定点是P@,b）.
求可微函数f（x,y）的极值点的步骤:
2）求二阶偏导数，写岀
[总兀,y）]2-冗（兀刃厶;（%，y）・
3）将稳定点P（a,b）的坐标代入上式，得判别式
△=[fxy（。
，-C（以）厶;（。
b）・
再由△的符号，根据下表判定P（a,b）是否是极值点:
\=b2-ac
—
+
0
A（或C）
+
—
不是极值点
不定
P^b）
是极小点
是极大点
例6・求函数z=x3-hy3-3xy的极值.
解：
解方程组
[f^x,y）=3x2-2y=0.
[fy（x,y）=3y2-3x=0.
解得两个稳定点（0,0）与（1,1）.求二阶偏导数
f：
（兀,y）=6x,f；（兀,y）=-3,fyy（兀,y）=6y.
O’y）]2一f；（%，y）fyy（兀,y）=9-36®
在点（0,0）,A=9>0,（0,0）不是函数的极值点.
在点（l,l）,A=-27<0,且A=6>0,（1,1）是函数的极小点，极小值是
4.二元函数f（x,y）在实际问题中的最大、最小值
一般来说，求函数/（兀,y）在D的边界上的最大（小）值是很困难的.但是,
在很多实际问题，根据问题的实际意义，函数/（x,j）的最大（小）值必在区域D
（D可以是无界区域）内某点P取得，又两数/（兀，刃在D内只有一个稳定点P,
那么函数/（兀,刃必在这个稳定点P取得最大（小）值.
例7・用钢板制造容积为V的无盖长方形水箱，问怎样选择水箱的长、宽、高才最省钢板.
解：
设水箱长、宽、高分别是x,y,z.已知xyz-V,从而高z=—.水箱表面的面积
S二厂+工（2x+2y）=Ay+2V（丄+丄、
Uy）
35一dxd5¥X—<
y+2U
x+2V
9
2V=o.
S的定义域D={（x,y）|0'<+00}.这个问题就是求函数S在区域D内的最小值.解方程组
d2S4V
在区域D内解得唯一稳定点（河,何）.求二阶偏导数
92S_4Vd2S_
dx2x3，dxdydy2y3
d2S丫d2Sd2S
{dxdy）
在稳定点（V2V,V2V），A=-3<0,且A=2>0,从而，稳定点（购，购）
是S的极小点.因此，函数S在点（阿，购）取最小值.当x=V2V,y二炒时,
即无盖长方形水箱“尸痢宀弓，所需钢板最省.
例8・在已知周长为2〃的一切三角形屮，求出面积为最大的三角形.
解：
设三角形的三个边长分别是x,y,z.面积是0•由海伦公式，有
已知兀+y+z=2〃或z=2〃-无-y,将它代入（8）式之中，有
（p=yjp（p-x）（p-y）（x+y-/?
）.
因为三角形的每边是正数而且小于半周长卩，所以0的定义域
D={（兀,y）|0p}.
已知0的稳定点与疋的稳定点相同.为计算方便，求
P
7
（（）-
0=——=（/?
-x）（p-y）U+y-p）
P
的稳定点•解方程组
叭（兀）'）=-（p-）'）（兀+）'一O）+（O一x）（“一y）
=（p-y）（2p-2x-y）=0.
叭（兀，y）=-（p-兀）0+y一p_+（o—x）（p一y）
=（p-x）（2p-2y-x）=0.
在区域D内有唯一稳定点（丸,丸］.求二阶偏导数
I33）
（X，＞9=-2（p-刃，歹：
（兀,y）=2（X+y）-3p,0；（兀,y）=-2（p—x）.
[0；O,A）F-0：
（兀,A）0；（兀,刃
在稳定点（會亠
2Q
牛VOA-尹V0.从而，稳定点
，2p2p'm
是函
=4x2+4xy+4y2-8px-8py+5p2.
数妙，即。
的极大点.由题意，°在稳定点（空，丸］必取到最大值.当x=如,
33丿3
y=丸时，z=2p-x-y=-,即三角形三边长的和为定数时，等边三角形的
33
面积最大.
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