浙教版数学七年级上册专项训练一巧用一元一次方程的相关概念求字母参数的值.docx

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浙教版数学七年级上册专项训练一巧用一元一次方程的相关概念求字母参数的值

专项训练一：

巧用一元一次方程的相关概念求字母参数的值

名师点金：

有关一元一次方程的定义及其相关概念的问题，一般从其定义或相关概念需要满足的条件入手，通过方程建模，从而求出待定系数或相关字母的值．

利用一元一次方程的定义求字母参数的值

1．已知方程（m－2）x|m|－1＋16＝0是关于x的一元一次方程，求m的值及方程的解．

2．方程（3a＋2b）x2＋ax＋b＝0是关于x的一元一次方程，求方程的解．

3．已知（m2－1）x2－（m＋1）x＋8＝0是关于x的一元一次方程，求代数式199（m＋x）（x－2m）＋9m＋15的值．

利用方程的解求字母参数的值

类型1：

利用方程的解的定义求字母参数的值

4．关于x的方程a（x－a）＋b（x＋b）＝0有无穷多个解，则（　　）

A．a＋b＝0B．a－b＝0

C．ab＝0D.＝0

5．关于x的方程（2a＋b）x－1＝0无解，则ab是（　　）

A．正数B．非正数C．负数D．非负数

6．已知关于x的方程9x－3＝kx＋14有整数解，那么满足条件的整数k＝__________________．

7．已知x＝是方程6（2x＋m）＝3m＋2的解，求关于y的方程my＋2＝m（1－2y）的解．

8．若关于x的方程＝k－3x和2x－3＝1有相同的解，求k的值．

类型2：

利用两个方程同解确定字母参数的值

9．如果方程－8＝－的解与关于x的方程2ax－（3a＋5）＝5x＋12a＋20的解相同，确定字母a的值．

类型3：

利用方程的错解确定字母参数的值

10．小马虎解方程＝－1，去分母时，方程右边的－1忘记乘6，因此求得的解为x＝2，试求a的值，并正确解方程．

专项训练二：

特殊一元一次方程的解法技巧

名师点金：

解一元一次方程存在着许多解题技巧，只要在解题过程中注重研究其结构特点和特殊规律，巧妙地运用某些基本性质、法则就可以达到事半功倍的效果．

分子、分母含小数的一元一次方程

技巧1：

巧化分母为1

1．解方程：

－＝.

2．解方程：

－＝－10.

技巧2：

巧化同分母

3．解方程：

－＝1.

技巧3：

巧约分去分母

4．解方程：

－6.5＝－7.5.

分子、分母为整数的一元一次方程

技巧1：

巧用拆分法

5．解方程：

－＝.

6．解方程：

＋＋＋＝1.

技巧2：

巧用对消法

7．解方程：

＋＝3－.

技巧3：

巧通分

8．解方程：

－＝－.

含括号的一元一次方程

技巧1：

利用倒数关系去括号

9．解方程：

－x＝2.

技巧2：

整体合并去括号

10．解方程：

x－＝（x－9）．

技巧3：

整体合并去分母

11．解方程：

（x－5）＝3－（x－5）．

技巧4：

不去括号反而添括号

12．解方程：

＝（x－1）．

专项训练三：

巧用一元一次方程选择方案

名师点金：

解方案选择题要仔细审题，弄清题目中各量之间的关系，在选择合适的方案之前，应分析都有哪几种可行的方案，结合求出的每种方案的结果作出判断，体现了把实际问题抽象为数学问题的能力和分析判断能力．

旅行社收费方案决策

1．张校长暑假将带领学生去北京旅游，甲旅行社说：

“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠”；乙旅行社说：

“包括校长在内全部按全票价的6折优惠”，全票价为240元．

（1）若学生有3人和5人，甲旅行社收费多少元？

乙旅行社呢？

（2）学生有多少人时，两个旅行社的收费相同？

购买方案决策

2．某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：

甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元．若商场同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请你帮助设计一下商场的进货方案．

上网计费方案决策

3．某地上网有两种收费方式，用户可任选其一：

（A）计时制：

2.8元/时；（B）包月制：

60元/月．此外，每种收费方式都加收通信费1.2元/时．

（1）某用户每月上网20小时，选用哪种收费方式比较合算？

（2）某用户有120元钱用于上网（一个月），选用哪种收费方式比较合算？

（3）请你为用户设计一个方案，使用户能合理地选择收费方式．

运输方式方案决策

4．某市水果批发部门欲将A市的一批水果运往本市销售，有火车和汽车两种运输方式，运输过程中的损耗均为200元/时．其他主要参考数据如下：

运输工具

途中平均速

度（千米/时）

运费（元/千米）

装卸费用（元）

火车

100

15

2000

汽车

80

20

900

（1）如果汽车的总支出费用比火车费用多1100元，你知道本市与A市之间的路程是多少千米吗？

请你列方程解答；

（2）如果A市与B市之间的路程为s千米，且知道火车与汽车在路上需临时停车耽误的时间分别为2小时和3.1小时．你若是A市水果批发部门的经理，要想将这批水果运往B市销售．你将选择哪种运输方式比较合算呢？

加工方案决策

5．某地种植一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元．当地一家公司收购这种蔬菜140吨．该公司加工厂的生产能力是：

如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行．受季节等条件限制，公司必须用15天的时间将这批蔬菜全部销售或加工完毕．为此，公司研制了三种可行方案：

方案一：

将蔬菜全部进行粗加工；

方案二：

尽可能多地对蔬菜进行精加工，没来得及进行精加工的蔬菜，在市场上直接出售；

方案三：

将一部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，恰好用15天完成．

你认为选择哪种方案获利最多？

为什么？

专项训练四：

思想方法荟萃

名师点金：

本章主要的思想（解题）方法有整体思想、分类讨论思想、数形结合思想、逆向思维法、建模思想等．

整体思想

1．解方程：

（2x－1）＋（2x－1）＝－（2x－1）＋9.

分类讨论思想

2．解关于x的方程2ax＋2＝12x＋3b.

数形结合思想

3．如图，数轴上两个动点A、B开始时所对应的数分别为－8、4，A、B两点各自以一定的速度在数轴上运动，且A点的运动速度为2个单位/秒．

（第3题）

（1）A、B两点同时出发相向而行，在原点处相遇，求B点的运动速度；

（2）A、B两点按上面的速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒时两点相距6个单位长度？

（3）A、B两点按上面的速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，C点从原点出发作同方向的匀速运动，且在运动过程中，始终有CB∶CA＝1∶2，若干秒后，C点在－10处，求此时B点在数轴上所对应的数．

逆向思维法

4．李飒的妈妈买了几瓶饮料，第一天，他们全家喝了全部饮料的一半零半瓶；第二天，李飒招待来家中做客的同学，又喝了第一天剩下的饮料的一半零半瓶；第三天，李飒索性将第二天所剩的饮料的一半零半瓶喝了．这三天，正好把妈妈买的全部饮料喝光，则李飒的妈妈买的饮料一共有多少瓶？

建模思想

5．为赴澳大利亚观看网球比赛，8名球迷分别乘坐两辆汽车一起赶往飞机场．其中一辆汽车在距机场15km的地方出了故障，此时，距规定到达机场的时间仅剩42min，但唯一可以使用的交通工具只有一辆汽车，连司机在内限乘坐5人．这辆汽车分两批送这8人去机场，平均速度为60km/h.现拟两种方案，问是否都能使8名球迷在规定的时间内赶到机场？

请通过计算说明理由．

方案一：

汽车送走第一批人后，第二批人在原地等待汽车返回接送；

方案二：

汽车送走第一批人的同时，第二批人以5km/h的平均速度往机场方向步行，等途中遇返回的汽车时上车前行．（此题必须用一元一次方程来解）

答案

专项训练一

1．解：

由题意得：

|m|－1＝1，且m－2≠0，所以m＝－2.

将m＝－2代入原方程，得－4x＋16＝0，解得x＝4.

2.解：

由题意得：

3a＋2b＝0，且a≠0，

所以3a＝－2b，a＝－b.

当3a＋2b＝0时，原方程可化为ax＋b＝0，则x＝－，

将a＝－b代入方程的解中，得x＝－＝.

3．解：

由题意得m2－1＝0，且m≠－1，所以m＝1.

当m＝1时，原方程可化为－2x＋8＝0，解得x＝4.

当m＝1，x＝4时，199（m＋x）（x－2m）＋9m＋15＝199×5×2＋9×1＋15＝2014.

4．A　

5．B　

6．8，－8，10或26

7．解：

将x＝代入方程6（2x＋m）＝3m＋2.

得6×＝3m＋2，

解得m＝－.

将m＝－代入方程my＋2＝m（1－2y）．

得－y＋2＝－（1－2y），

解得y＝.

点拨：

已知一元一次方程的解，确定关于某一个未知数的方程中另一个字母的值，只需把未知数的值（方程的解）代入原方程，即可得出关于另一个字母的方程，通过求解确定另一个字母的值，从而进行关于另一个字母的计算．

8．解：

解方程2x－3＝1，得x＝2.

把x＝2代入方程＝k－3x，

得＝k－6，

解得k＝.

9．解：

－8＝－，去分母，得2（x－4）－48＝－3（x＋2）．

去括号，移项，合并同类项，得5x＝50.解得x＝10.

把x＝10代入方程2ax－（3a＋5）＝5x＋12a＋20，

得2a×10－（3a＋5）＝5×10＋12a＋20，

去括号，移项，得20a－3a－12a＝5＋50＋20.

合并同类项，得5a＝75，解得a＝15.

10．解：

由题意得4x－2＝3x＋3a－1，

x＝3a＋1，

因为x＝2，所以2＝3a＋1，

则a＝，

当a＝时，原方程为＝－1，

解得x＝－3.

专项训练二

1．解：

－＝

8x－3.2－（15x－27）＝18－10x

3x＝－5.8

x＝－

点拨：

本题将各分母化为整数1，巧妙地去掉了分母，给解题带来了方便.

2．解：

－＝－10

8x＋4－2x＋4＝－10

6x＝－18

x＝－3

点拨：

由0.25×4＝1，0.5×2＝1，可巧妙地将分母化为整数1.

3．解：

－＝1

－＝

0.1x－0.16＋0.5x＝0.06

x＝

4．解：

－6.5＝－7.5

＋1＝

4－6x＋0.01＝0.01－x

x＝

点拨：

本题将通过约分处理后，使与的分母相同，便于去分母．

5．解：

－＝

－－＋＝2－

＝2

x＝4

点拨：

方程通过拆项处理后，便于合并同类项，使复杂方程简单化．

6．解：

＋＋＋＝1，

原方程可化为＋＋＋＝1.

整理得x－＝1.

解得x＝.

点拨：

因为＝x－，＝－，＝－，＝－，所以把方程的左边每一项拆项分解后再合并就很简便.

7．解：

原方程可化为＋＝＋，

即：

＝.所以x＝.

点拨：

此题不要急于去分母，通过观察发现－＝，两边消去这一项可避免去分母运算．

8．解：

－＝－，

方程两边分别通分，得＝.

化简得＝.

解得x＝－.

点拨：

本题若直接去分母，则两边同乘最小公倍数420，运算量大容易出错，但是把方程左右两边分别通分后再去分母，则给解方程带来方便．

9．解：

－x＝2

－1－3－x＝2

－x＝6

x＝－8

点拨：

观察方程特点，由于与互为倒数，因此用乘以中括号内的每一项，则可去中括号，同时又去小括号，非常简便．

10．解：

　x－＝（x－9）

x－x＋（x－9）－（x－9）＝0

x＝0

x＝0

11．解：

（x－5）＝3－（x－5），

移项得（x－5）＋（x－5）＝3.

合并同类项得x－5＝3.

解得x＝8.

点拨：

本题将（x－5）看作一个整体，通过移项，合并同类项进行解答，这样避免了去分母，给解题带来简便．

12．解：

　＝（x－1）

＝（x－1）

（x－1）＋－（x－1）＝（x－1）

－（x－1）＝－

x＝

专项训练三

1．解：

（1）当学生有3人时，甲：

240＋240×0.5×3＝600（元）；乙：

（3＋1）×240×0.6＝576（元）；

当学生有5人时，甲：

240＋240×0.5×5＝840（元）；

乙：

（5＋1）×240×0.6＝864（元）；

（2）设学生有x人时，两个旅行社的收费相同．由题意得：

240＋240×0.5x＝（x＋1）×240×0.6，解得x＝4.

答：

学生有4人时，两个旅行社的收费相同．

2．解：

当购进甲、乙两种电视机时：

设购进甲种电视机x台，则购进乙种电视机（50－x）台，列方程为1500x＋2100（50－x）＝90000，解得x＝25，所以50－x＝25，即购进甲种电视机25台，乙种电视机25台．

当购进甲、丙两种电视机时：

设购进甲种电视机y台，则购进丙种电视机（50－y）台，列方程为1500y＋2500（50－y）＝90000，解得y＝35，所以50－y＝15，即购进甲种电视机35台，丙种电视机15台．

当购进乙、丙两种电视机时：

设购进乙种电视机z台，则购进丙种电视机（50－z）台，列方程为2100z＋2500（50－z）＝90000，解得z＝87.5（不合题意，舍去）．

综上所述，共有两种方案：

一是购进甲种电视机25台，乙种电视机25台；二是购进甲种电视机35台，丙种电视机15台．

3．解：

（1）设用户上网的时间为t小时，则（A）种收费方式的费用为2.8t＋1.2t＝4t（元）；

（B）种收费方式的费用为（60＋1.2t）元，

当t＝20时，4t＝80，60＋1.2t＝84，因为80＜84，所以选用（A）种收费方式比较合算．

（2）若用户有120元钱用于上网，设（A）种收费方式下可上网t1小时，（B）种收费方式下可上网t2小时，则4t1＝120，60＋1.2t2＝120，

解得t1＝30，t2＝50，因为30＜50，所以用户选用（B）种收费方式比较合算．

（3）当两种收费方式费用相同时，即4t＝60＋1.2t，解得t＝.

所以上网时间恰好为小时时，两种收费方式一样合算；当上网时间少于小时时，选择（A）种收费方式比较合算；当上网时间多于小时时，选择（B）种收费方式比较合算．

4．解：

（1）设本市与A市之间的路程为x千米，则选择火车用的钱数为元，选择汽车用的钱数为元．根据题意，得＋15x＋2000＝＋20x＋900－1100，解得x＝400.

答：

本市与A市之间的路程为400千米．

（2）选择火车用的钱数为×200＋15s＋2000＝（17s＋2400）（元），选择汽车用的钱数为×200＋20s＋900＝（22.5s＋1520）（元）．

当两种运输方式所用钱数相同时，即17s＋2400＝22.5s＋1520，解得s＝160.

所以当s等于160时，两种运输方式一样合算，当s小于160时，选择汽车运输比较合算，当s大于160时，选择火车运输比较合算．

5．解：

方案一：

140÷16（天）＜15天，可以完成任务，利润为140×4500＝630000（元）；

方案二：

利润为15×6×7500＋（140－15×6）×1000＝725000（元）；

方案三：

设精加工x天，则6x＋16（15－x）＝140，解得x＝10，利润为10×6×7500＋5×16×4500＝810000（元）．

因为630000元＜725000元＜810000元，所以选择方案三获利最多．

专项训练四

1．解：

原方程可变形为（2x－1）＋（2x－1）＋（2x－1）＝9，

即×（2x－1）＝9，即2x－1＝9，解得x＝5.

点拨：

本题将2x－1作为一个整体来求解可简化运算过程，体现了整体思想的运用．

2．解：

把方程2ax＋2＝12x＋3b变形，

得（2a－12）x＝3b－2.

分三种情况：

（1）当2a－12≠0，即a≠6时，方程只有一个解，其解为x＝.

（2）当2a－12＝0且3b－2＝0时，方程有无数个解．

由2a－12＝0，得a＝6；

由3b－2＝0，得b＝.

所以当a＝6且b＝时方程有无数个解．

（3）当2a－12＝0且3b－2≠0时，方程无解，

由2a－12＝0，得a＝6；

由3b－2≠0，得b≠.

所以当a＝6且b≠时方程无解．

点拨：

本题求方程的解时，对mx＝n化简时应根据m，n的取值讨论解的情况，体现了分类讨论思想的运用．

3．解：

（1）设B点的运动速度为x个单位/秒，列方程为x＝4.解得x＝1.

答：

B点的运动速度为1个单位/秒．

（2）设运动t秒时两点相距6个单位长度，列方程为：

①当A点在B点左侧时，

2t－t＝（4＋8）－6，

解得t＝6.

②当A点在B点右侧时，

2t－t＝（4＋8）＋6，

解得t＝18.

答：

当A、B两点运动6秒或18秒时两点相距6个单位长度．

（3）设C点运动的速度为y个单位/秒，由CB∶CA＝1∶2，可列方程得：

2－y＝2（y－1），解得y＝.当C点在－10处时，所用的时间为＝（秒），

此时B点在数轴上所对应的数为4－×1＝－.

点拨：

本题利用数形结合思想，运用数轴辅助分析题意，找到相等关系，列方程得以求解．

4．解：

设第三天李飒喝饮料之前，还有x瓶饮料，则＋＝x.解得x＝1.

这也是第二天喝饮料之后所剩的饮料瓶数．

设第二天喝饮料之前还有y瓶饮料，则y－＝1.解得y＝3.这也是第一天喝饮料之后所剩的饮料瓶数．

再设第一天喝饮料之前，还有z瓶饮料，则z－＝3.

解得z＝7.这就是李飒的妈妈买的饮料的瓶数．

答：

李飒的妈妈买的饮料一共有7瓶．

点拨：

此题若按常规思维方法考虑非常困难，我们可利用逆向思维法反向推理，则可迎刃而解．

5．解：

方案一：

设汽车送这两批人到达机场所用的时间为xh，

由题意，得60x＝15×3.

解得x＝.×60＝45（min）．

又45min＞42min，

故8名球迷不能都在规定的时间内赶到机场．

方案二：

设汽车送第一批人返回与第二批人相遇的时间为yh，则这段时间内第二批人走的路程为5ykm，汽车送第二批人用的时间为h.

依题意，得60y＋5y＝2×15.

解得y＝.

所以＝.

所以汽车送这两批人的时间为＋＝（h）≈40（min）．而40min＜42min.

故8名球迷都能在规定的时间内赶到机场．

点拨：

本题的解题关键是根据实际问题建立方程模型，由此可求出每种方案所需时间，然后通过比较得出结论．

初中数学试卷

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