奇函数专题训练试题精选三附答案.docx
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奇函数专题训练试题精选三附答案
奇函数专题训练试题精选（三）
一．填空题（共30小题）
1．（2011?
资中县模拟）已知定义在
R上的函数y=f（x）满足条件f（x+）=﹣f（x），且函数y=f（x﹣）是奇函
数，给出以下四个命题：
①函数f（x）是周期函数；
②函数f（x）的图象关于点（﹣
，0）对称；
③函数f（x）是偶函数；
④函数f（x）在R上是单调函数．
在上述四个命题中，正确命题的序号是
_________
（写出所有正确命题的序号）
2．（2011?
东城区二模）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且f（﹣1）=2，那么f（0）+f
（1）=
_________．
3．（2011?
聊城一模）现有下面四个命题：
①曲线y=﹣x2
+2x+4在点（1，5）处的切线的倾斜角为
45°；
②已知直线l，m，平面α，β，若l⊥α，m?
β，l⊥m，则α∥β；
③设函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0），若f
（1）=0，
则f（x+1）一定是奇函数；
④如果点P到点
及直线
的距离相等，那么满足条件的点
P有且只有
1个．
其中正确命题的序号是
_________
．（写出所有正确命题的序号）
4．（2010?
江苏模拟）设
是奇函数，
则a+b的取值范围是
_________
．
5．（2010?
雅安三模）已知
f（x）=
+a为奇函数．
（1）求a的值；
（2）求函数的单调区间．
6．（2010?
平顶山二模）已知
0＜φ＜π，f（x）=xsin（x+φ）是奇函数，则φ=
_________
．
7．（2007?
湖南模拟）设
f（x）（x∈R）是以3为周期的周期函数，且为奇函数，又
f
（1）＞1，f
（2）=a，那么a
的取值范围是
_________
．
8．（2005?
金山区一模）定义在
R上的函数f（x）是奇函数，则f（0）的值为
_________
．
9．已知函数
x
﹣2
﹣x
lga是奇函数，则a的值等于_________．
f（x）=2
10．函数f（x）为奇函数，且
，则当x＜0，f（x）=_________
．
11．函数为奇函数，则实数a=_________．
12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3，且，f（x）=log2（﹣3x+1），
则f（2011）=_________．
13．已知定义在R上的奇函数y=f（x）满足（f2+x）=f（2﹣x），当﹣2≤x＜0时，（fx）=2x，若，
则a2012=_________．
14．设f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=，则当x＜0时，f（x）=_________．
15．（文科做）对于函数的这个性质：
①奇函数；②偶函数；③增函数；④减函数，函数
具有的性质的序号是_________．（把具有的性质的序号都填上）
16．已知定义在R上的奇函数f（x），满足，且f
（1）=1，则f（2006）=_________．
17．已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x﹣4）=﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数，则f（﹣25），f（80），f（11）的大小顺序是
_________．
18．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣2+log35）=_________．
19．若f（x）在[﹣3，3]上为奇函数，且f（3）=﹣2，则f（﹣3）+f（0）=_________．
x+1
20．设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2
21．已知函数f（x）是定义在[﹣e，0）∪（0，e]上的奇函数，当e]时，f（x）=_________．
+2x+b（b为常数），则f（﹣1）=_________．
x∈[﹣e，0）时，f（x）=ax+ln（﹣x），则当x∈（0，
22．已知函数f（x）是定义在R上周期为6的奇函数，且f（﹣1）=﹣1，则f（5）=_________．
23．函数f（x）是定义在R上的奇函数，且，则f
（1）+f
（2）+⋯+f（2009）=_________．
24．下列结论中：
（1）定义在R上的函数f（x）在区间（﹣∞，0]上是增函数，在区间[0，+∞）也是增函数，则函数f（x）在R上是增函数；
（2）若f
（2）=f（﹣2），则函数f（x）不是奇函数；
（3）函数y=x﹣0.5（4）是（0，1）上的减函数；
（4）对应法则和值域相同的函数的定义域也相同；
（5）若x0是函数y=f（x）的零点，且m＜x0＜n，则f（m）f（n）＜0一定成立；
写出上述所有正确结论的序号：
_________．
25．若函数f（x）=是奇函数，则函数g（x）的解析式是_________．
2
26．设f（x）是以5为周期的奇函数，
f（﹣3）
2
．
=1，又tanα=3，则f（secα﹣2）=_________
27．设f（x）是R上以2为周期的奇函数，已知当
x∈（0，1）时，f（x）=log2x，那么f（x）在（1，2）上的解析
式是
_________
28．若是奇函数，则a的值为_________．
29．函数f（x）=ax+bsinx+1，若f（5）=7，则f（﹣5）=_________．
30．y=f（x）为奇函数，当x＞0时f（x）=x（1﹣x），则当x＜0时，f（x）=_________．
3
奇函数专题训练试题精选（三）
参考答案与试题解析
一．填空题（共30小题）
1．（2011?
资中县模拟）已知定义在
R上的函数y=f（x）满足条件f（x+
）=﹣f（x），且函数y=f（x﹣）是奇函
数，给出以下四个命题：
①函数f（x）是周期函数；
②函数f（x）的图象关于点（﹣
，0）对称；
③函数f（x）是偶函数；
④函数f（x）在R上是单调函数．
在上述四个命题中，正确命题的序号是
①②③（写出所有正确命题的序号）
考点：
奇函数；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性．
专题：
压轴题；存在型．
分析：
题目中条件：
f（x+
）=﹣f（x）可得f（x+3）=f（x）知其周期，利用奇函数图象的对称性，及函数图象
的平移变换，可得函数的对称中心，结合这些条件可探讨函数的奇偶性，及单调性．
解答：
解：
对于①：
∵f（x+3）=﹣f（x+
）=f（x）∴函数f（x）是周期函数且其周期为
3．①对
对于②：
∵y=f（x﹣）是奇函数∴其图象关于原点对称
又∵函数f（x）的图象是由
y=f（x﹣）向左平移个单位长度得到．
∴函数f（x）的图象关于点（﹣
，0）对称，故②对．
对于③：
由②知，对于任意的
x∈R，都有f（﹣﹣x）=﹣f（
x），用
换x，可得：
f（﹣﹣x）+f
（x）=0
∴f（﹣﹣x）=﹣f（x）=f（x+）对于任意的x∈R都成立．
令t=+x，则f（﹣t）=f（t），∴函数f（x）是偶函数，③对．
对于④：
∵偶函数的图象关于y轴对称，∴f（x）在R上不是单调函数，④不对．
故答案为：
①②③．
点评：
本题考查函数的奇偶性、周期性等，抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的，它虽然没有具体的
表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的性质，这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键．是中档题．
2．（2011?
东城区二模）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且f（﹣1）=2，那么f（0）+f
（1）=﹣2．
考点：
奇函数．
专题：
计算题．
分析：
根据奇函数的性质，f（﹣x）=﹣f（x）直接求得f（0）与f
（1）的值，即可求出所求．
解答：
解：
因为函数f（x）是R上的奇函数．
4
所以f（﹣x）=﹣f（x）
f
（1）=﹣f（﹣1）=﹣2，f（﹣0）=﹣f（0）即f（0）=0
∴f（0）+f
（1）=﹣2
故答案为：
﹣2．
点评：
本题主要考查了奇函数的基本性质，以及奇函数的定义，属于基础题．
3．（2011?
聊城一模）现有下面四个命题：
①曲线y=﹣x2
+2x+4在点（1，5）处的切线的倾斜角为
45°；
②已知直线l，m，平面α，β，若l⊥α，m?
β，l⊥m，则α∥β；
③设函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0），若f
（1）=0，
则f（x+1）一定是奇函数；
④如果点P到点
及直线
的距离相等，那么满足条件的点
P有且只有1个．
其中正确命题的序号是
③④．（写出所有正确命题的序号）
考点：
奇函数；两条直线的交点坐标．
专题：
阅读型．
分析：
①曲线y=﹣x2
+2x+4在点（1，5）处的切线的倾斜角为45°，求出切点处的导数值，进行验证；
②已知直线l，m，平面α，β，若l⊥α，m?
β，l⊥m，则α∥β，由面面位置关系进行判断；
③设函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0），若f
（1）=0，则f（x+1）一定是奇函数，求出两参数
ω，
φ的关系，整理解析式，观察既得；
④如果点P到点
及直线
的距离相等，那么满足条件的点
P有且只有
1个，
由两直线的交点个数研究即可．
2
45°．是错误命题，因为
y′=﹣2x+2，在点（1，
解答：
解：
①曲线y=﹣x+2x+4在点（1，5）处的切线的倾斜角为
5）处的导数值为
0，故倾斜角不是
45°；
②已知直线l，m，平面α，β，若l⊥α，m?
β，l⊥m，则α∥β是错误命题，在题设中的条件下，两平面可以是
相交的；
③设函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0），若f
（1）=0，则f（x+1）一定是奇函数，是正确命题，由
f
（1）=0，得出ω+φ=0，函数解析式可变为
f（x）=Asinω（x﹣1），左移一个单位可得到
f（x）=Asinωx
是一个奇函数；
④如果点P到点
及直线
的距离相等，那么满足条件的点
P有且只有
1个，
是正确命题，作出两点的垂直平分线
y=1，与直线
相交，故满足条件的点只有一个．
综上③④是正确命题
故答案为③④
点评：
本题考查奇函数，函数图象的变换，导数的几何意义等内容，解答本题的关键是对本题中命题所涉及到的相关知识点都比较熟悉，方能避免误判．本题是考查双基的题．
4．（2010?
江苏模拟）设是奇函数，
则a+b的取值范围是．
考点：
奇函数．
专题：
计算题．
分析：
由题意和奇函数的定义f（﹣x）=﹣f（x）求出a的值，再由对数的真数大于零求出函数的定义域，则所给
的区间应是定义域的子集，求出b的范围进而求出a+b的范围．
5
解答：
解：
∵定义在区间（﹣b，b）内的函数f（x）=
是奇函数，
∴任x∈（﹣b，b），f（﹣x）=﹣f（x），即
=﹣
，
∴
=
，则有
，
即1﹣a2x2=1﹣4x2，解得a=±2，
又∵a≠2，∴a=﹣2；则函数f（x）=，
要使函数有意义，则＞0，即（1+2x）（1﹣2x）＞0
解得：
﹣＜x＜，即函数f（x）的定义域为：
（﹣，），
∴（﹣b，b）?
（﹣，），∴0＜b≤
∴﹣2＜a+b≤﹣，即所求的范围是；
故答案为：
．
点评：
本题考查了奇函数的定义以及求对数函数的定义域，利用子集关系求出b的范围，考查了学生的运算能力
和对定义的运用能力．
5．（2010?
雅安三模）已知f（x）=+a为奇函数．
（1）求a的值；
（2）求函数的单调区间．
考点：
奇函数．
专题：
计算题．
分析：
（1）先由奇函数建立等式，求a，
（2）严格按照单调性定义，使得函数增函数的区间是增区间，使得函数是减函数的是减区间．
解答：
解：
（1）∵f（﹣x）==﹣1+a﹣=﹣1+2a﹣f（x），
由f（﹣x）=﹣f（x），
得﹣1+2a=0．
∴a=．
（2）对于任意x1≠0，x2≠0，且x1＜x2．
f（x1）﹣f（x2）=．
当x1＜x2＜0时，＜，＜1，＜1
∴f（x1）﹣f（x2）＞0；
当0＜x1＜x2时，＞，＞1，＞1．
∴f（x1）﹣f（x2）＞0．
∴函数的单调递减区间为（﹣∞，0），（0，+∞）．
6
点评：
本题考查函数的奇偶性、单调性及运算能力．主要是利用和巩固奇偶函数的定义、单调函数的定义．
6．（2010?
平顶山二模）已知0＜φ＜π，f（x）=xsin（x+φ）是奇函数，则φ=．
考点：
奇函数．
专题：
计算题．
分析：
根据f（x）=xsin（x+φ）是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x）对于任意x恒成立，然后利用两角和与差的正弦
公式展开，得到2xcosφsinx=0对于任意x成立，则cosφ=0，解之即可，注意φ的范围．解答：
解：
∵f（x）=xsin（x+φ）是奇函数
∴f（﹣x）=﹣xsin（﹣x+φ）=﹣xsinφcosx+xcosφsinx=﹣f（x）=﹣xsinxcosφ﹣xcosxsinφ
即2xcosφsinx=0对于任意x成立，则cosφ=0
而0＜φ＜π∴φ=
故答案为：
点评：
本题主要考查了两角和与差的正弦公式，奇函数的性质，属于对基础知识的综合考查，试题较易．
7．（2007?
湖南模拟）设f（x）（x∈R）是以3为周期的周期函数，且为奇函数，又f
（1）＞1，f
（2）=a，那么a
的取值范围是a＜﹣1．
考点：
奇函数；函数的周期性．
专题：
计算题．
分析：
据函数的周期性判断出f（﹣1）=f
（2），利用函数为奇函数得到f（﹣1）=﹣f
（1），利用等式的传递性得
到f
（2）=﹣f
（1），代入已知不等式求出a的范围．
解答：
解：
∵f（x）（x∈R）是以3为周期的周期函数
∴f（﹣1）=f
（2）
∵为奇函数
∴f（﹣1）=﹣f
（1）
∴f
（2）=﹣f
（1）
∵f
（1）＞1
∴f
（2）＜﹣1
∵f
（2）=a
∴a＜﹣1
故答案为a＜﹣1
点评：
解决函数的性质有关的题目，关键是利用性质的定义，将题中的条件联系起来，注意奇函数在x=0处的函
数值为0是一道综合题．
8．（2005?
金山区一模）定义在R上的函数f（x）是奇函数，则f（0）的值为0．
考点：
奇函数．
专题：
计算题．
分析：
由定义在R上的函数f（x）是奇函数，知f（0）=f（﹣0）=﹣f（0），故f（0）=0．
解答：
解：
∵定义在R上的函数f（x）是奇函数，
∴f（0）存在，
∴f（0）=f（﹣0）=﹣f（0），
∴f（0）=0．
故答案为：
0．
7
﹣x﹣lga（2x+2
lga是奇函数
点评：
本题考查奇函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．
9．已知函数
x
﹣2
﹣x
a的值等于10．
f（x）=2
lga是奇函数，则
考点：
奇函数．
专题：
计算题．
分析：
由题设条件可知，可由函数是奇函数，建立方程
解答：
解：
函数f（x）=2x﹣2﹣x∴f（x）+f（﹣x）=0，
x﹣x﹣xxx
∴2﹣2lga+2﹣2lga=0，即2+2∴lga=1
∴a=10
f（x）+f（﹣x）=0，由此方程求出a的值
﹣x）=0
故答案为：
10．
点评：
本题考查奇函数，解题的关键是熟练掌握奇函数的定义，由定义得出方程f（x）+f（﹣x）=0，由此方程求出参数的值．
10．函数f（x）为奇函数，且，则当x＜0，f（x）=．
考点：
奇函数．
专题：
计算题；转化思想．
分析：
先设x＜0，则﹣x＞0，再利用题意求出f（﹣x），再由奇函数的定义求出f（x）的表达式．
解答：
解：
设x＜0，则﹣x＞0，
∵，∴，
∵函数f（x）为奇函数，
∴f（x）=﹣f（﹣x）=，
故答案为：
．
点评：
本题考查了利用函数奇偶性求函数的解析式，即求谁设谁，利用负号转化到已知范围内，求出f（﹣x）的
关系式，再利用奇函数的关系式求出f（x）的表达式，考查了转化思想．
11．函数为奇函数，则实数a=﹣1．
考点：
奇函数；对数的运算性质．
专题：
计算题．
分析：
根据奇函数的性质f（0）=0代入可得，lg（a+2）=0解方程可求a
解答：
解：
根据题意可得，使得函数有意义的条件：
根据奇函数的性质可得f（0）=0
所以，lg（a+2）=0
a=﹣1满足函数的定义域
故答案为：
﹣1
点评：
本题主要考查了奇函数的性质的应用，解决本题可以利用奇函数的定义，使得f（﹣x）=﹣f（x）对于定义
域内的任意的x都成立，也可利用奇函数的性质f（0）=0（定义域内有0），而利用性质解题可以简化运算．
8
12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3，且，f（x）=log2（﹣3x+1），
则f（2011）=﹣2．
考点：
奇函数；函数的周期性．
专题：
计算题；转化思想．
分析：
利用函数的周期性和奇偶性，f（2011）=f（3×670+1）=f
（1）=﹣f（﹣1），代入已知的等式运算．
解答：
解：
由题意可得f（2011）=f（3×670+1）=f
（1）=﹣f（﹣1）=﹣log2（3+1）=﹣2，
故答案为﹣2．
点评：
本题考查函数的周期性和奇偶性，求函数的值，把f（2011）化简为﹣f（﹣1）是解题的关键．
13．已知定义在R上的奇函数y=f（x）满足（f2+x）=f（2﹣x），当﹣2≤x＜0时，（fx）=2x，若
，
则a2012
=0．
考点：
奇函数；数列的函数特性；等比数列的通项公式．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
根据定义在R上的奇函数又关于某直线
x=a≠0对称，则它又是周期函数，可求得函数
f（x）的周期是
8，
进而得到答案．
解答：
解：
∵f（2+x）=f（2﹣x），以2+x代替上式中的x得f（4+x）=f（﹣x），
又函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），f（0）=0，
∴f（4+x）=f（﹣x）=﹣f（x），
再
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