高等代数北大版课件2.8Laplace定理 行列式的乘法规则.ppt

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4n级行列式的性质,8Laplace定理行列式乘法法则,3n级行列式,2排列,1引言,5行列式的计算,7Cramer法则,6行列式按行（列）展开,第二章行列式,一、k级子式余子式代数余子式,二、拉普拉斯（Laplace）定理,2.8拉普拉斯定理行列式乘法法则,三、行列式乘法法则,一、k级子式与余子式、代数余子式,定义,在一个n级行列式D中任意选定k行k列,按照原来次序组成一个k级行列式M，称为行列,（），位于这些行和列的交叉点上的个元素,式D的一个k级子式；在D中划去这k行k列后,式，称为k级子式M的余子式；,余下的元素按照原来的次序组成的级行列,若k级子式M在D中所在的行、列指标分别是,，则在M的余子式前,余子式，记为.,注：

k级子式不是唯一的.,（任一n级行列式有个k级子式）,时，D本身为一个n级子式,二、拉普拉斯（Laplace）定理,引理,行列式D的任一子式M与它的代数余子式,A的乘积中的每一项都是行列式D的展开式中,的一项，而且符号也一致,Laplace定理,由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的,设在行列式D中任意取k（）行，,代数余子式的乘积和等于D即,若D中取定k行后，由这k行得到的k级子式,则.,时，,即为行列式D按某行展开；,注：

为行列式D取定前k行运用Laplace定理结果,例1：

计算行列式,解：

它们的代数余子式为,三、行列式乘法法则,设有两个n级行列式,其中,则,证：

作一个2n级的行列式,由拉普拉斯定理,又对D作初等行变换：

可得,这里,从而,例2：

证明齐次性方程组,只有零解其中不全为0,证：

系数行列式,由不全为0，有,即，故方程组只有零解,