定积分公式.docx

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定积分公式

定积分公式

二、基本积分表（188页1—15，205页16—24）

（1）

（k是常数）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

（10）

（11）

（12）

（13）

，

（14）

（15）

（16）

（17）

（18）

（19）

（20）

（21）

（22）

（23）

（24）

注：

1、从导数基本公式可得前15个积分公式，（16）-（24）式后几节证。

2、以上公式把

换成

仍成立，

是以

为自变量的函数。

3、复习三角函数公式：

，

。

注：

由

，此步为凑微分过程，所以第一类换元法也叫凑微分法。

此方法是非常重要的一种积分法，要运用自如，务必熟记基本积分表，并掌握常见的凑微分形式及“凑”的技巧。

小结：

1常用凑微分公式

第二节  定积分计算公式和性质

一、变上限函数

设函数

在区间

上连续，并且设x为

上的任一点，于是，

在区间

上的定积分为

这里x既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为

利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。

因此，必须寻求计算定积分的简便方法。

我们知道：

如果物体以速度

作直线运动，那么在时间区间

上所经过的路程s为

图 5-11

另一方面，如果物体经过的路程s是时间t的函数

，那么物体从t=a到t=b所经过的路程应该是（见图5-11）

即

由导数的物理意义可知：

即

是

一个原函数，因此，为了求出定积分

，应先求出被积函数

的原函数

，再求

在区间

上的增量

即可。

如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分

的一般方法：

设函数

在闭区间

上连续，

是

的一个原函数，即

，则

这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。

为了使用方便，将公式写成

牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。

它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。

它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。

例1 计算

因为

是

的一个原函数所以

例

 2  求曲线

 和直线x=0、x=

 及y=0所围成图形面积A（5-12）

解  这个图形的面积为

图 5-12

二、定积分的性质

设

、

在相应区间上连续，利用前面学过的知识，可以得到定积分以下几个简单性质：

性质1  被积函数的常数因子可以提到定积分符号前面，即

（A为常数）

性质2  函数的代数和的定积分等于它们的定积分的代数和，即

这个性质对有限个函数代数和也成立。

性质3  积分的上、下限对换则定积分变号，即

以上性质用定积分的定义及牛顿-莱布尼兹公式均可证明，此处证明从略。

性质4  如果将区间

分成两个子区间

及

那么有

这个于区间分成有限个的情形也成立。

下面用定积分的几何意义，对性质4加以说明。

当a

与和x=ax=b及x轴围成的曲边梯形面积

:

图 5-13a

图 5-13b

因为

所以

即性质4成立。

当a

外，由图5-13b可知，

显然，性质4也成立。

总之，不论c点在

内还是

外，性质4总是成立的。

例3 求

例 4  求

解   

=

例  5  求

解

所以

例 6  求

解  

于是， 

例8  火车以v=72km/h的速度在平直的轨道上行驶，到某处需要减速停车。

设火车以加速度a=-5m/

刹车。

问从开始刹车到停车，火车走了多少距离？

解  首先要算出从开始刹车到停车经过时间。

当 时火车速度

刹车后火车减速行驶。

其速度为

当火车停住时，速度

，故从

解得     

于是在这段时间内，火车走过的距离为

  =

即在刹车后，火车需走过40m才能停住。