圆的相关证明与计算附答案中考数学专题强化训练.docx

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圆的相关证明与计算附答案中考数学专题强化训练

圆的相关证明与计算附答案（2019中考数学专题强化训练）

第二部分　专题三

类型1　与圆有关的角平分线问题

1．（2018•衡阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC分别交AC，AB的延长线于点E，F.

（1）求证：

EF是⊙O的切线；

（2）若AC＝4，CE＝2，求BD︵的长度．（结果保留π）

（1）证明：

如答图，连接OD，

答图

∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA．

∵AD平分∠EAF，

∴∠DAE＝∠DAO，

∴∠DAE＝∠ADO，

∴OD∥AE.

∵AE⊥EF，∴OD⊥EF，

∴EF是⊙O的切线．

（2）解：

如答图，作OG⊥AE于点G，

则AG＝CG＝12AC＝2，∠OGE＝∠E＝∠ODE＝90°，

∴四边形ODEG是矩形，

∴OA＝OD＝GE＝CG＋CE＝2＋2＝4，∠DOG＝90°，

在Rt△AOG中，∵OA＝2AG，

∴∠AOG＝30°，∴∠BOD＝60°，

则BD︵的长度为60•π•4180＝4π3.

2．（2018•赤峰）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，点O在AB上，⊙O经过A，D两点，交AC于点E，交AB于点F.

（1）求证：

BC是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径是2cm，E是AD︵的中点，求阴影部分的面积．（结果保留π和根号）

（1）证明：

如答图，连接OD，

答图

∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA．

∵AD平分∠BAC，∠OAD＝∠DAC，

∴∠ODA＝∠DAC，

∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，

∴OD⊥BC，∴BC是⊙O的切线．

（2）解：

连接OE，OE交AD于K，

∵AE︵＝DE︵，∴OE⊥AD．

∵∠OAK＝∠EAK，AK＝AK，∠AKO＝∠AKE＝90°，

∴△AKO≌△AKE（ASA），∴AO＝AE＝OE，

∴△AOE是等边三角形，∴∠AOE＝60°，

∴S阴影＝S扇形OAE－S△AOE＝60•π•22360－34×22＝2π3－3.

3．（2018•咸宁）如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E.

（1）求证：

DE是⊙O的切线；

（2）若AB＝25，BC＝5，求DE的长．

（1）证明：

如答图，连接OD，

∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°.

答图

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝45°，∴∠AOD＝90°.

∵DE∥AC，

∴∠ODE＝∠AOD＝90°，

∴DE是⊙O的切线．

（2）解：

∵在Rt△ABC中，AB＝25，BC＝5，

∴AC＝AB2＋BC2＝5，∴OD＝52.

∵DE∥AC，∴∠CEG＝∠ACB，

∴tan∠CEG＝tan∠ACB，

∴CGGE＝ABBC，即2.5GE＝255，

解得GE＝54，∴DE＝DG＋GE＝154.

4．（2018•莱芜）如图，已知A，B是⊙O上两点，△OAB外角的平分线交⊙O于另一点C，CD⊥AB交AB的延长线于D．

（1）求证：

CD是⊙O的切线；

（2）E为AB︵的中点，F为⊙O上一点，EF交AB于G，若tan∠AFE＝34，BE＝BG，EG＝310，求⊙O的半径．

（1）证明：

连接OC，如答图，

答图

∵BC平分∠OBD，∴∠OBC＝∠CBD．

∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，

∴∠OCB＝∠CBD，∴OC∥AD，

而CD⊥AB，∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切线．

（2）解：

连接OE交AB于H，如答图，

∵E为AB︵的中点，∴OE⊥AB．

∵∠ABE＝∠AFE，

∴tan∠ABE＝tan∠AFE＝34，

∴在Rt△BEH中，tan∠HBE＝EHBH＝34，

∴设EH＝3x，BH＝4x，∴BE＝5x.

∵BG＝BE＝5x，∴GH＝x，

在Rt△EHG中，x2＋（3x）2＝（310）2，解得x＝3，

∴EH＝9，BH＝12，

设⊙O的半径为r，则OH＝r－9，

在Rt△OHB中，（r－9）2＋122＝r2，解得r＝252，

即⊙O的半径为252.

类型2　与圆有关的双切线问题

1．（2018•北京）如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．

（1）求证：

OP⊥CD；

（2）连接AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，OA＝2，求OP的长．

（1）证明：

如答图，设PO与DC交于点Q，

∵PC，PD与⊙O相切于C，D，

∴PC＝PD，OP平分∠CPD，

在等腰△PCD中，PC＝PD，PQ平分∠CPD，

∴PQ⊥CD于Q，即OP⊥CD．

（2）解：

如答图，连接OC，OD，

答图

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA＝50°，

∴∠AOD＝180°－∠OAD－∠ODA＝

80°.

同理：

∠BOC＝40°，

∴∠COD＝180°－∠AOD－∠BOC＝60°，

在等腰△COD中，OC＝OD，OQ⊥CD，

∴∠DOQ＝12∠COD＝30°.

∵PD与⊙O相切于D，∴OD⊥DP，

∴∠ODP＝90°，

在Rt△ODP中，∠ODP＝90°，∠POD＝30°，

∴OP＝ODcos∠POD＝OAcos30°＝232＝433.

2．（2018•黔西南）如图，CE是⊙O的直径，BC切⊙O于点C，连接OB，作ED∥OB交⊙O于点D，BD的延长线与CE的延长线交于点A．

（1）求证：

AB是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为1，tan∠DEO＝2，tan∠A＝14，求AE的长．

（1）证明：

连接OD，如答图，

答图

∵ED∥OB，∴∠1＝∠4，∠2＝∠3，

∵OD＝OE，∴∠3＝∠4，∴∠1＝∠2.

在△DOB与△COB中，OD＝OC，∠1＝∠2，OB＝OB，

∴△DOB≌△COB（SAS），

∴∠ODB＝∠OCB．

∵BC切⊙O于点C，∴∠OCB＝90°，

∴∠ODB＝90°，∴AB是⊙O的切线．

（2）解：

∵∠DEO＝∠2.

∴tan∠DEO＝tan∠2＝2.

∵⊙O的半径为1，∴OC＝1，∴BC＝2.

∵tan∠A＝BCAC＝14，∴AC＝4BC＝42，

∴AE＝AC－CE＝42－2.

3．（2018•武汉）如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接PB，PC，PC交AB于点E，且PA＝PB．

（1）求证：

PB是⊙O的切线；

（2）若∠APC＝3∠BPC，求PECE的值．

（1）证明：

如答图，连接OP，OB．

答图

∵PA是⊙O的切线，

∴PA⊥OA，∴∠PAO＝90°.

在△PAO和△PBO中，PA＝PB，PO＝PO，OA＝OB，

∴△PAO≌△PBO（SSS）．

∴∠PAO＝∠PBO＝90°，

∴PB⊥OB，∴PB是⊙O的切线．

（2）解：

设OP交AB于K.

∵AC是⊙O的直径，

∴∠ABC＝90°，∴AB⊥BC．

∵PA，PB都是⊙O的切线，

∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO.

∵OA＝OB，∴OP垂直平分线段AB，

∴OK∥BC．

∵AO＝OC，∴AK＝BK，

∴BC＝2OK，设OK＝a，则BC＝2a.

∵∠APC＝3∠BPC，∠APO＝∠OPB，

∴∠OPC＝∠BPC＝∠PCB，

∴BC＝PB＝PA＝2a.

∵△PAK∽△POA，∴PA2＝PK•PO，设PK＝x，

则有x2＋ax－4a2＝0，

解得x＝17－12a（负根舍去），

∴PK＝17－12a.

∵PK∥BC，∴PEEC＝PKBC＝17－14.

4．（2018•襄阳）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E为⊙O上一点，过点E作直线DC分别交AM，BN于点D，C，且CB＝CE.

（1）求证：

DA＝DE；

（2）若AB＝6，CD＝43，求图中阴影部分的面积．

（1）证明：

如答图，连接OE，OC，BE.

∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB．

∵BC＝EC，∴∠CBE＝∠CEB，

∴∠OBC＝∠OEC．

∵BC为⊙O的切线，∴∠OEC＝∠OBC＝90°.

∵OE为⊙O的半径，∴CD为⊙O的切线．

∵AD切⊙O于点A，∴DA＝DE.

（2）解：

如答图，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，

答图

∴AD＝BF，DF＝AB＝6，

∴DC＝BC＋AD＝43.

∵FC＝DC2－DF2＝23，

∴BC＋AD＝BF＋FC＋AD＝AD＋FC＋AD＝2AD＋23＝43，∴AD＝3，

∴BC＝BF＋FC＝AD＋FC＝3＋23＝33，

在Rt△OBC中，tan∠BOC＝BCBO＝333＝3，

∴∠BOC＝60°，

在△OEC和△OBC中，OE＝OB，OC＝OC，CE＝CB，

∴△OEC≌△OBC（SSS），

∴∠BOE＝2∠BOC＝120°，

∴S阴影＝S四边形BCEO－S扇形OBE＝2×12BC•OB－120•π•OB2360＝93－3π.

5．（2018•x疆）如图，PA与⊙O相切于点A，过点A作AB⊥OP，垂足为C，交⊙O于点B．连接PB，AO，并延长AO交⊙O于点D，与PB的延长线交于点E.

（1）求证：

PB是⊙O的切线；

（2）若OC＝3，AC＝4，求sinE的值．

（1）证明：

如答图，连接OB．

答图

∵PO⊥AB，∴AC＝BC，∴PA＝PB，

在△PAO和△PBO中，PA＝PB，AO＝BO，PO＝PO，

∴△PAO≌△PBO（SSS），

∴∠OBP＝∠OAP＝90°，

∴PB是⊙O的切线．

（2）解：

连接BD，

∵AD是⊙O的直径，

∴∠ABD＝90°.

∵∠ACO＝90°，

∴BD∥PO，且BD＝2OC＝6，

在Rt△ACO中，OC＝3，AC＝4，∴AO＝5，

在Rt△ACO和Rt△PAO中，

∠AOP＝∠AOC，∠PAO＝∠ACO，

∴△ACO∽△PAO，

∴AOCO＝POAO，ACPA＝COAO，∴PO＝253，PA＝203，

∴PB＝PA＝203，

在△EPO与△EBD中，∵BD∥PO，

∴△EPO∽△EBD，∴BDPO＝EBEP，

解得EB＝1207，PE＝50021，

∴sinE＝PAEP＝725.

类型3　与圆有关的弦切角问题

1．（2018•金华）如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连接AD．已知∠CAD＝∠B．

（1）求证：

AD是⊙O的切线．

（2）若BC＝8，tanB＝12，求⊙O的半径．

（1）证明：

如答图，连接OD，

答图

∵OB＝OD，∴∠3＝∠B．

∵∠B＝∠1，∴∠1＝∠3.

∵在Rt△ACD中，∠1＋∠2＝90°，

∴∠4＝180°－（∠2＋∠3）＝90°，∴OD⊥AD，

∴AD是⊙O的切线．

（2）解：

设⊙O的半径为r，

在Rt△ABC中，AC＝BC•tanB＝4，

根据勾股定理得AB＝42＋82＝45，

∴OA＝45－r.

在Rt△ACD中，∵tan∠1＝tanB＝12，

∴CD＝AC•tan∠1＝2，

根据勾股定理得AD2＝AC2＋CD2＝16＋4＝20，

在Rt△ADO中，OA2＝OD2＋AD2，即（45－r）2＝r2＋20，解得r＝352.

即⊙O的半径为352.

2．（2018•玉林）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交BC于点D，∠DAC＝∠B．

（1）求证：

AC是⊙O的切线；

（2）点E是AB上一点，若∠BCE＝∠B，tan∠B＝12，⊙O的半径是4，求EC的长．

（1）证明：

∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，

∴∠B＋∠BAD＝90°.

∵∠DAC＝∠B，∴∠DAC＋∠BAD＝90°，∴∠BAC＝90°，∴BA⊥AC，∴AC是⊙O的切线．

（2）解：

∵∠BCE＝∠B，

∴EC＝EB，设EC＝EB＝x，

在Rt△ABC中，∵tan∠B＝ACAB＝12，AB＝8，∴AC＝4.

在Rt△AEC中，∵EC2＝AE2＋AC2，

∴x2＝（8－x）2＋42，解得x＝5，∴CE＝5.

3．（2018•齐齐哈尔）如图，以△ABC的边AB为直径画⊙O，交AC于点D，半径OE∥BD，连接BE，DE，BD，设BE交AC于点F，若∠DEB＝∠DBC．

（1）求证：

BC是⊙O的切线；

（2）若BF＝BC＝2，求图中阴影部分的面积．

（1）证明：

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，∴∠A＋∠ABD＝90°.

∵∠A＝∠DEB，∠DEB＝∠DBC，∴∠A＝∠DBC，

∴∠DBC＋∠ABD＝90°，∴BC是⊙O的切线．

（2）解：

如答图，连接OD，∵BF＝BC＝2，且∠ADB＝90°，

答图

∴∠CBD＝∠FBD．

∵OE∥BD，∴∠FBD＝∠OEB．

∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE，

∴∠CBD＝∠DBE＝∠OBE＝13∠ABC＝13×90°＝30°，∴∠C＝60°，∴AB＝3BC＝23，

∴⊙O的半径为3，∠BOD＝60°，

∴S阴影＝S扇形DOB－S△DOB＝16π×3－34×3＝π2－334.