高等代数北大版课件1.4最大公因式.ppt

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4最大公因式,5因式分解,6重因式,10多元多项式,11对称多项式,3整除的概念,2一元多项式,1数域,7多项式函数,9有理系数多项式,8复、实系数多项式的因式分解,第一章多项式,一、公因式最大公式,二、最大公因式的存在性与求法,1.4最大公因式,三、互素,四、多个多项式的最大公因式,i）,1公因式:

若,满足:

且,2最大公因式:

若,满足：

ii）若，且，则,则称为的最大公因式,则称为的公因式,一、公因式最大公因式,的首项系数为1的最大公因式记作:

注：

，是与零多项式0的最,大公因式,两个零多项式的最大公因式为0,最大公因式不是唯一的，但首项系数为1的最大,公因式是唯一的.,若为,的最大公因式，则，c为非零常数,若不全为零，则,二、最大公因式的存在性与求法,定理2对，在中存在一个最大公因式，且可表成的一个组合，即，使,若有一为0，如，则,就是一个最大公因式且,考虑一般情形：

用除得：

其中或.,若，用除，得：

证：

若，用除，得,如此辗转下去，显然，所得余式的次数不断降低，,因此，有限次后，必然有余式为0设,其中或,即,于是我们有一串等式,从而有,再由上面倒数第二个式子开始往回迭代，逐个消去,再并项就得到,说明:

定理中用来求最大公因式的方法，通常称为,辗转相除法,定理中最大公因式,中的不唯一.,对于，使,但是未必是的最大公因式.,如:

，则,取，有,取，也有,取,也有,成立,事实上,若则对，,若，且,则为的最公因式,设为的任一公因式，则,证：

从而,即,为的最大公因式,例1,求，并求使,解:

且由,得,例2.设,求，并求使,因式，即,就可以），这是因为和具有完全相同的,若仅求，为了避免辗转相除时出现,注:

分数运算，可用一个数乘以除式或被除式（从一开始,为非零常数,则称为互素的（或互质的）,1定义:

三、互素,若,互素,除去零次多项式外无,说明:

由定义，,其它公因式,定理3互素，使,2互素的判定与性质,证：

显然,设为的任一公因式，则,从而,又,故,定理4若，且，则,证：

使,于是有,又,推论若，且,又,，则,证:

，使,于是，使,而,由定理4有,从而,若满足:

定义,i）,则称为的最大公因式,ii）,若,则,四、多个多项式的最大公因式,注：

表示首1最大公因式,，使,的最大公因式一定存在,互素使,附:

最小公倍式,设，若,i）,ii）对的任一公倍式，都有,则称为的最小公倍式,注:

的首项系数为1的最小公倍式记作: