卷积码.docx
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卷积码
2.7.卷积码
分组码是把k个信息比特的序列编成n个比特的码组，每个码组的n-k个校验位仅与本码组的k个信息位有关，而与其他码组无关。
为了达到一定的纠错能力和编码效率，分组码的码组长度一般都比较大。
编译码时必须把整个信息码组存储起来，由此产生的译码时延随n的增加而增加。
卷积码是另外一种编码方法，它也是将k个信息比特编成n个比特，但k和n通常很小，特别适合以串行形式进行传输，时延小。
与分组码不同，卷积码编码后的n个码元不仅与当前段的k个信息有关，还与前面的N-1段信息有关，编码过程中互相关联的码元个数为nN。
卷积码的纠错性能随N的增加而增大，而差错率随N的增加而指数下降。
在编码器复杂性相同的情况下，卷积码的性能优于分组码。
但卷积码没有分组码那样严密的数学分析手段，目前大多是通过计算机进行好码的搜索。
2.7.1.卷积码的结构和描述
一、卷积码的一般结构
卷积码编码器的形式如图所示，它包括：
一个由N段组成的输入移位寄存器，每段有k个，共Nk个寄存器；一组n个模2和相加器，一个由n级组成的输出移位寄存器。
对应于每段k个比特的输入序列，输出n个比特。
由上图可以看到，n个输出比特不仅与当前的k个输入信息有关，还与前（N-1）k个信息有关。
通常将N称为约束长度，（有的书的约束长度为Nn）。
常把卷积码记为：
（n，k，N），当k=1时，N-1就是寄存器的个数。
二、卷积码的描述
描述卷积码的方法有两类：
图解法和解析表示。
图解法包括：
树图、状态图、网格图
解析法包括：
矩阵形式、生成多项式形式。
以如下的结构说明各种描述方法。
1、树图
根据上图，我们可以得到下表：
M0
1
0
1
0
1
0
1
0
M1m2
00
00
01
01
10
10
11
11
a
a
c
c
b
b
d
d
C1c2
11
00
00
11
01
10
10
01
状态
10
00
10
00
11
01
11
01
b
a
b
a
d
c
d
c
我们可以画出如下的树状图：
2、
状态图
3、网格图
例1，输入为1101110，输出为：
11010100011001
4、生成多项式表示
定义
，
则上述结构为
，
，这里用8进制表示
，
定义
则输入信息
的多项式为
那么我们可以得到输出
最终输出是
的相同次数项的排列。
例，输入为1101110…,
则最后输出为110101000110…
2.7.2.卷积码的译码
卷积码的译码方法主要有两种：
代数译码、概率译码
代数译码：
根据卷积码的本身编码结构进行译码，译码时不考虑信道的统计特性。
概率译码：
这种译码在计算时要考虑信道的统计特性。
典型的算法如：
Viterbi译码、
序列译码等。
一、
概率译码的思路
1、最大似然序列译码
问题：
假设编码信道是无记忆的，（即前后符号的概率分布是统计独立的），发送的序列为
，接收序列为
，问：
已知接收序列
的情况下，如何最佳判决输入的序列？
假设调制方式为2PSK，归一化后信道噪声为加性高斯白噪，其双边噪声功率谱密度为
，发送序列为等概的+1、-1序列，接收序列
，其中n是均值为0，方差为
则
则似然函数为
所以，比较似然函数的大小就是比较
的小大。
令
，选择使
最小的序列
作为判决输出，能使系统的性能最佳（误码率最小）。
2、硬判决
当2PSK的解调端输出的符号经过判决输出0、1，然后在经过译码的形式，我们称这样的译码为硬判决译码，即编码信道的输出是0、1的硬判决信息。
可以看到，硬判决的最大似然译码实际上是寻找与接收序列汉明距最小的输入序列。
3、软判决
当2PSK的解调端输出的符号没有经过判决，而是直接输出模拟量，然后经过译码的形式，我们称这样的译码为软判决译码，即编码信道的输出是没有经过判决的匹配滤波器的输出。
可以看到，软判决的最大似然译码实际上是寻找与接收序列欧式距离最小的输入序列。
一般而言，由于硬判决在译码前被判决了一次，信息有所损失，因此软判决比硬判决
的性能要好1-2dB。
二、Viterbi译码算法
1、硬判决的维特比算法
以1/2速率的卷积码为例说明卷积码的维特比译码算法。
假设输入
，经过编码后，编码后的输出
经过调制、信道、解调、硬判决后在输出端得到序列
，则由于噪声的影响
。
输入
共有
种组合，即
序列有
种，我们的任务就是从这
种序列中挑出与序列
的距离最小的序列，该序列在卷积码的格形图上形成一条路径，对应该路径的输入信息比特就是我们最终要译码输出的信息。
维特比算法通过比较和筛选的方法使实现的计算复杂度大大降低。
我们知道，在格形图上，每个状态都有若干条路径进入，那么某个时刻会聚在某个状态的路径与接收序列的距离不同，如果选择最小距离的路径保留，其它路径舍弃，则从每个状态出发的路径只有1条。
所以，只需要存储与状态数相等的路径数即可。
大大减小了存储量。
以
，
的卷积码为例说明维特比译码算法。
假设输入为110111100，编码输出为110101000110011100
假设经过调制、信道、解调、硬判决后输出100101100110011100
输入第1比特，有两条路径
进入状态a，aa（距离1），选择aa
（1）
进入状态b，ab（距离1），选择ab
（1）
输入第2比特，有4条路径
进入状态a，aaa（距离2）
进入状态b，aab（距离2）
进入状态c，abc（距离3）
进入状态d，abd（距离1）
。
。
。
2、软判决的维特比算法
在软判决译码中，路径的距离不是用汉明距离作为比较，而是用欧式距离作为比较，其他的算法与硬判决译码算法没有本质的区别。
作业：
1、试编写仿真
，
的MATLAB程序，并给出仿真性能曲线（BPSK调制）。
2、9-21、9-22
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