高二数学用样本的频率分布估计总体分布教案 新课标 苏教版 必修3.docx
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高二数学用样本的频率分布估计总体分布教案新课标苏教版必修3
2019-2020年高二数学用样本的频率分布估计总体分布教案新课标苏教版必修3
教学目标：
知识与技能
（1）通过实例体会分布的意义和作用。
（2）在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图。
（3）通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征，从而恰当地选择上述方法分析样本的分布，准确地做出总体估计。
过程与方法
通过对现实生活的探究，感知应用数学知识解决问题的方法，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。
情感态度与价值观
通过对样本分析和总体估计的过程，感受数学对实际生活的需要，认识到数学知识源于生活并指导生活的事实，体会数学知识与现实世界的联系。
重点与难点
重点：
会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图。
难点：
能通过样本的频率分布估计总体的分布。
教学设想
时间
总天数
高温天数（频数）
频率
7月25日至8月10日
17
11
0.647
8月8日至8月24日
17
2
0.118
〈一〉频率分布的概念：
频率分布：
是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小。
可以用样本的频率分布估计总体的频率分布。
频率分布表：
我们把反映总体频率分布的表格称为频率分布表。
编制频率分布表的步骤如下：
（1）找到最大最小值，求全距；决定组数，算得组距；
（2）分组通常对组内数值所在区间取左闭又开区间，最后一组取闭区间；
（3）登记频数，计算频率，列出频率分布表。
【注意】：
在决定组数以后有可能要适当的调整全距，既如果全距不利于分组（如不能被组数整除），可适当增加全距，（只能加不能减）如在左右两端各增加适当的范围（尽量使两端增加量相同）。
例1．从某校高一年级的1002名新生中用系统抽样的方法抽取一个容量为100的身高的样本，数据如下（单位：
cm）。
试作出该样本的频率分布表。
168
165
171
167
170
165
170
152
175
174
165
170
168
169
171
166
164
155
164
158
170
155
166
158
155
160
160
164
156
162
160
170
168
164
174
171
165
179
163
172
180
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173
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163
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167
166
162
161
164
166
解：
最大值=180，最小值=151，他们相差29，
决定分为10组，则需将全距调整为30，组距为3，既每个小区间的长度为3，组距=全距/组数
可取区间[150.5,180.5]
分组
频数
频率
[150.5,153.5）
4
0.04
[153.5,156.5）
8
0.08
[156.5,159.5）
8
0.08
[159.5,162.5）
11
0.11
[162.5165.5）
22
0.22
[165.5,168.5）
19
0.19
[168.5,171.5）
14
0.14
[171.5,174.5）
7
0.07
[174.5,177.5）
4
0.04
[177.5,180.5）
3
0.03
合计
100
1
练习：
P53，T1,3
第二课时
频率分布直方图的特征：
（1）从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势。
（2）从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了。
例2．作出例1中数据的频率分布直方图
解：
（1）先制作频率分布表，然后做直角坐标系，以横轴表示身高，纵轴表示频率/组距
（2）在横轴上标上150.5,153.5‥‥‥180.5表示的点（为方便起见，起始点150.5可适当前移）
（3）在上面标出的各点中，分别以连接相邻两点的线段为底作矩形，高等于该组的频率/组距
一般地：
作频率分布直方图的方法为：
把横轴分成若干段，每一线段对应一个组的组距，然后以此线段为底作一矩形，它的高等于该组的频率/组距，这样得到一系列的矩形。
几何意义：
每个矩形的面积恰好是该组上的频率。
频率直方图的优点：
更直观，形象地反映了样本的分布规律，如在164附近达到峰值。
（一般取最高矩形的中点）
频率分布折线图：
如果将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连接起来。
简称频率折线图。
优点：
它反映了数据的变化趋势。
密度曲线：
如果将样本容量取得足够大，分组的组距取的足够小，则相应的频率折线图将趋于一条光滑曲线，我们称这条光滑曲线为总体分布的密度曲线。
它能够精确地反映了总体在各个范围内取值的百分比，它能给我们提供更加精细的信息。
〈三〉茎叶图
１．茎叶图的概念：
将这些数据有条理的列出来，从中观察数据的分布情况
2．制作方法：
将所有两位数的十位数字作为茎，个位数字作为叶，茎相同者共用一个茎，茎按从小到大的顺序从上向下列出，共茎的叶一般按从大到小（或从小到大）的顺序同行列出。
3．茎叶图的特征：
（１）用茎叶图表示数据有两个优点：
一是从统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示。
（２）茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且茎叶图只方便记录两组的数据，两个以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两个记录那么直观，清晰。
【例题精析】
〖例1〗：
下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高（单位ｃｍ）
（1）列出样本频率分布表﹔
（2）一画出频率分布直方图;
（3）估计身高小于134ｃｍ的人数占总人数的百分比.。
分析：
根据样本频率分布表、频率分布直方图的一般步骤解题。
解：
（１）样本频率分布表如下：
（２）其频率分布直方图如下：
（3）由样本频率分布表可知身高小于134cm的男孩出现的频率为0.04+0.07+0.08=0.19，所以我们估计身高小于134cm的人数占总人数的19%.
例2：
为了了解高一学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数次测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形面积之比为2：
4：
17：
15：
9：
3，第二小组频数为12.
（1）第二小组的频率是多少？
样本容量是多少？
（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？
（3）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？
请说明理由。
分析：
在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1。
解：
（1）由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，
因此第二小组的频率为：
又因为频率=
所以
（2）由图可估计该学校高一学生的达标率约为
（3）由已知可得各小组的频数依次为6，12，51，45，27，9，所以前三组的频数之和为69，前四组的频数之和为114，所以跳绳次数的中位数落在第四小组内。
【课堂精练】
P57练习1.2.
【课堂小结】
1．总体分布指的是总体取值的频率分布规律，由于总体分布不易知道，因此我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布。
2．总体的分布分两种情况：
当总体中的个体取值很少时，用茎叶图估计总体的分布；当总体中的个体取值较多时，将样本数据恰当分组，用各组的频率分布描述总体的分布，方法是用频率分布表或频率分布直方图。
【评价设计】
1．P59习题2.21，2，3，4
2019-2020年高二数学直线与圆锥曲线新课标
【考点归纳】
直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能.熟练运用圆锥曲线弦长公式进行计算及论证；善于运用数形结合、等价转化的数学思想方法，借助韦达定理、二次方程根的判别式，将直线与圆锥曲线的位置关系转化为一元二次方程的实根分布加以讨论．
1.讨论直线与圆锥曲线的位置关系，一般是将直线方程与圆锥曲线的方程联立成方程组，消去y得关于x的方程，讨论得关于x的方程解析的情况对应得到直线与圆锥曲线的位置关系．一般注意以下三点：
（１）要注意与两种情况，只有时，才可用判别式来确定解析的个数；
（2）直线与圆锥曲线相切时，一定有；.
（3）直线与圆锥曲线有且只有一个交点时，不一定相切．对椭圆来讲，一定相切；
对双曲线来讲，除了相切，还有一种相交，此时 此时直线与渐近线平行，直线与双曲线的一支相交有一个交点；
对抛物线来说，除了相切，还有一种相交，此时 此时直线与抛物线的对称轴平行只有一个交点．
直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解析成实数解析的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.
2．直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相交，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦．当弦所在直线的斜率k存在时．利用两点距离公式
及斜率公式得弦长公式为：
，或当弦所在直线的斜率k存在且非零时，弦长公式可表示为：
．
当直线与圆锥曲线相交时：
涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式）；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.
例1、如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为（5，0），倾斜角为的直线l与线段OA相交（不经过点O或点A）且交抛物线于M、N两点，求△AMN面积最大时直线l的方程，并求△AMN的最大面积.
〖解析〗由题意，可设l的方程为y=x+m,－5＜m＜0,
由方程组
消去y,
得x2+（2m－4）x+m2=0①
∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N，
∴方程①的判别式Δ=（2m－4）2－4m2=16（1－m）＞0,
解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范围为（－5，0）,
设M（x1,y1）,N（x2,y2）则x1+x2=4－2m，x1·x2=m2,
∴|MN|=4,点A到直线l的距离为d=.
∴S△=2（5+m）,从而S△2=4（1－m）（5+m）2
=2（2－2m）·（5+m）（5+m）≤2（）3=128.
∴S△≤8,当且仅当2－2m=5+m,即m=－1时取等号.
故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为8.
〖总结与提高〗直线与圆锥曲线相交，一个重要的问题就是有关弦长的问题.本题考查处理直线与圆锥曲线相交问题的第一种方法——“韦达定理法”知识依托：
弦长公式、三角形的面积公式、不等式法求最值、函数与方程的思想.错解分析：
将直线方程代入抛物线方程后，没有确定m的取值范围.不等式法求最值忽略了适用的条件.技巧与方法：
涉及弦长问题，应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长，涉及垂直关系往往也是利用韦达定理，设而不求简化运算.
例2、已知双曲线C：
2x2－y2=2与点P（1，2）
（1）求过P（1，2）点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点.
（2）若Q（1，1），试判断以Q为中点的弦是否存在.
〖解析〗
（1）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线1C.
当l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2=k（x－1）,代入C的方程，并整理得
（2－k2）x2+2（k2－2k）x－k2+4k－6=0①
（ⅰ）当2－k2=0,即k=±时，方程①有一个根，l与C有一个交点
（ⅱ）当2－k2≠0,即k≠±时
Δ=［2（k2－2k）］2－4（2－k2）（－k2+4k－6）=16（3－2k）
①当Δ=0,即3－2k=0,k=时，方程（*）有一个实根，l与C有一个交点.
②当Δ＞0,即k＜,又k≠±,
故当k＜－或－＜k＜或＜k＜时，方程①有两不等实根，l与C有两个交点.
③当Δ＜0，即k＞时，方程①无解，l与C无交点.
综上知：
当k=±,或k=，或k不存在时，l与C只有一个交点；
当＜k＜,或－＜k＜,或k＜－时，l与C有两个交点；
当k＞时，l与C没有交点.
（2）假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A（x1,y1）,B（x2,y2），则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得：
2（x1－x2）（x1+x2）=（y1－y2）（y1+y2）又∵x1+x2=2,y1+y2=2,∴2（x1－x2）=y1－y1,即kAB==2
但渐近线斜率为±,结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在.
〖总结与提高〗第一问考查直线与双曲线交点个数问题，归结为方程组解的问题.第二问考查处理直线与圆锥曲线问题的第二种方法——“差分法”，知识依托：
二次方程根的个数的判定、两点连线的斜率公式、中点坐标公式.错解分析：
第一问，求二次方程根的个数，忽略了二次项系数的讨论.第二问，算得以Q为中点弦的斜率为2，就认为所求直线存在了.技巧与方法：
涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来，相互转化.
例3、如图，已知某椭圆的焦点是F1（－4，0）、F2（4，0），过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A（x1,y1）,C（x2,y2）满足条件：
|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列.
（1）求该弦椭圆的方程；
（2）求弦AC中点的横坐标；
（3）弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取值范围.
〖解析〗利用椭圆的定义、等差数列的定义，处理直线与圆锥曲线的方法.
（1）由椭圆定义及条件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b==3故椭圆方程为=1.
（2）由点B（4,yB）在椭圆上，得|F2B|=|yB|=.因为椭圆右准线方程为x=,离心率为，根据椭圆定义，有|F2A|=（－x1）,|F2C|=（－x2），由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，得（－x1）+（－x2）=2×,由此得出：
x1+x2=8.设弦AC的中点为P（x0,y0）,则x0==4.
（3）解析法一：
由A（x1,y1）,C（x2,y2）在椭圆上.
①
②
得,①－②得9（x12－x22）+25（y12－y22）=0,
即9×
=0（x1≠x2）
将
（k≠0）
代入上式，得9×4+25y0（－）=0（k≠0）即k=y0（当k=0时也成立）.
由点P（4，y0）在弦AC的垂直平分线上，得y0=4k+m,所以m=y0－4k=y0－y0=－y0.
由点P（4，y0）在线段BB′（B′与B关于x轴对称）的内部，得－＜y0＜,所以－＜m＜.
解析法二：
因为弦AC的中点为P（4,y0），所以直线AC的方程为y－y0=－（x－4）（k≠0）③,
将③代入椭圆方程=1,得（9k2+25）x2－50（ky0+4）x+25（ky0+4）2－25×9k2=0
所以x1+x2==8,解析得k=y0.（当k=0时也成立）
（以下同解析法一）.
〖总结与提高〗本题考查直线、椭圆、等差数列等基本知识，一、二问较简单，第三问巧妙地借助中垂线来求参数的范围，设计新颖，综合性，灵活性强.第三问在表达出“k=y0”时，忽略了“k=0”时的情况，理不清题目中变量间的关系.
技巧与方法：
第一问利用椭圆的第一定义写方程；第二问利用椭圆的第二定义（即焦半径公式）求解析，第三问利用m表示出弦AC的中点P的纵坐标y0,利用y0的范围求m的范围..
例4、（xx年北京春卷18）已知点A（2，8），在抛物线上，的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）
（I）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；
（II）求线段BC中点M的坐标；
（III）求BC所在直线的方程．
〖解〗（I）由点A（2，8）在抛物线上，有,解得.所以抛物线方程为，焦点F的坐标为（8，0）
（II）如图，由F（8，0）是的重心，M是BC的中点，所以F是线段AM的定比分点，且
设点M的坐标为，则
解得
所以点M的坐标为
（III）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴．
设BC所成直线的方程为
由消x得
所以
由（II）的结论得,解得,因此BC所在直线的方程为即.
〖总结与提高〗本题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力.
例5、（xx年天津卷理22）椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）（）的准线与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点．
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若，求直线PQ的方程；
（3）设（），过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明．
〖解析〗
（1）由题意，可设椭圆的方程为．由已知得
解得.所以椭圆的方程为，离心率．
（2）〖解〗由
（1）可得A（3，0）．设直线PQ的方程为．由方程组
得
依题意，得．
设，则，①．②
由直线PQ的方程得
．于是
．③
∵，∴．④
由①、②、③、④得，从而．
所以直线PQ的方程为或
（3）证明：
．由已知得方程组
注意，解得因，
故
．
而
，所以.
例6、（xx年全国卷Ⅳ21）设椭圆的两个焦点是与（c>0）,且椭圆上存在点P,使得直线PP1与直线PF2垂直.（Ⅰ）求实数m的取值范围;（Ⅱ）设L是相应于焦点F2的准线,直线PF2与L相交于点Q,若求直线PF2的方程.
〖解〗（Ⅰ）由题设有m>0，.设点P的坐标为由得
化简得①将①与联立,解得由m>0.得m≥1.所以m的取值范围是m≥1.
（Ⅱ）准线L的方程为设点Q的坐标为则
②将代入②,化简得
由题设得无解,
将代入②,化简得
由题设得解得m=2.
从而
得到PF2的方程,
〖总结与提高〗本题主要考查直线和椭圆的基本知识,以及综合分析和解题能力.
例7、（xx年湖北卷20）直线：
与双曲线C：
的右支交于不同的两点A、B．
（Ⅰ）求实数的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？
若存在，求出的值．若不存在，说明理由．
〖解〗（Ⅰ）将直线的方程代入双曲线C的方程后，整理得．…………①依题意，直线与双曲线C的右支交于不同两点，得
，
，
，
．解得的取值范围为．
（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为、，则由①得
，．………………②
假设存在实数，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c,0），则由FA⊥FB得
．即
．
整理得
．……………………③
把②式及代入③式化简得．
解得或（舍去）．
可知使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点．
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