八年级数学上册几何添辅助线专题课件doc.docx

八年级数学上册几何添辅助线专题课件doc.docx

《八年级数学上册几何添辅助线专题课件doc.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《八年级数学上册几何添辅助线专题课件doc.docx（27页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

八年级数学上册几何添辅助线专题课件doc

全等三角形问题中常见的辅助线的作法（有答案）

条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：

最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个

角之间的相等。

总论：

全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之

1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变

间的相等

换中的“对折”法构造全等三角形．

【三角形辅助线做法】

2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的

图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

3）遇到角平分线在三种添辅助线的方法，

（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一”法：

遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线

质定理或逆定理．

（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，

形成一对全等三角形。

（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截合一”的性质解题

取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。

2.倍长中线：

倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形

4）过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平

3.角平分线在三种添辅助线

移”或“翻转折叠”

5）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条

4.垂直平分线联结线段两端

线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，

5.用“截长法”或“补短法”：

遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，

适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．

6.图形补全法：

有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形

6）已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连

7.角度数为30、60度的作垂线法：

遇到三角形中的一个角为30度或60度，可

线，出一对全等三角形。

特殊方法：

在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计

接起来，利用三角形面积的知识解答算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三

A

一、倍长中线（线段）造全等角形创造边、角之间的相等条件。

例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.

8.计算数值法：

遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或

解：

延长AD至E使AE＝2AD，连BE，由三角形性质知

B

DC40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二

AB-BE<2AD

1

1、如图，ABC中，AB=2AC，AD平分BAC，且AD=BD，求证：

CD⊥AC

解：

（截长法）在AB上取中点F，连FD

△ADB是等腰三角形，F是底AB中点，由三线合一知

DF⊥AB，故∠AFD＝90°

例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的

大小.

解：

（倍长中线,等腰三角形“三线合一”法）延长FD至G使FG＝2EF，连BG，EG,

显然BG＝FC，

A

△ADF≌△ADC（SAS）在△EFG中，注意到DE⊥DF，由等腰三角形的三线合一知

∠ACD＝∠AFD＝90°即：

CD⊥AC

EEG＝EF

2、如图，AD∥BC，EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA，CD过点E，求证;AB＝AD+BCF

在△BEG中，由三角形性质知

EG

B

D

C

解：

（截长法）在AB上取点F，使AF＝AD，连FE

△ADE≌△AFE（SAS）

A

D

故：

EF

E

例3、如图，△ABC中，BD=DC=A，CE是DC的中点，求证：

AD平分∠BAE.∠ADE+∠BCE＝180°

B

C

A

A

B

DEC

B

Q

解：

延长AE至G使AG＝2AE，连BG，DG,

∠AFE+∠BFE＝180°

P

故∠ECB＝∠EFB

显然DG＝AC，∠GDC∠=ACD

由于DC=AC，故∠ADC=∠DAC

△FBE≌△CBE（AAS）

故有BF＝BC

C

在△ADB与△ADG中，从而;AB＝AD+BC

BD＝AC=DG，AD＝AD，

3、如图，已知在△ABC内，

0

BAC60，

0

C40，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，

∠ADB=∠ADC+∠ACD=∠ADC+∠GDC＝∠ADG

BQ分别是BAC，ABC的角平分线。

求证：

BQ+AQ=AB+BP

故△ADB≌△ADG，故有∠BAD=∠DAG，即AD平分∠BAE解：

（补短法,计算数值法）延长AB至D，使BD＝BP，连DP

在等腰△BPD中，可得∠BDP＝40°

二、截长补短

2

从而∠BDP＝40°＝∠ACP

△ADP≌△ACP（ASA）

故AD＝AC

又∠QBC＝40°＝∠QCB故BQ＝QC

BD＝BP

从而BQ+AQ=AB+BP

4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分ABC，

求证：

AC

0

180

解：

（补短法）延长BA至F，使BF＝BC，连FD

A分析：

此题连接AC，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用已知条件和等

△BDF≌△BDC（SAS）

故∠DFB＝∠DCB，FD＝DC

又AD＝CD

故在等腰△BFD中

D

边三角形的性质通过证明三角形全等解决它们的问题。

解：

有BCADAE

连接ACEEF//BCACF，过作并于点

A

D

∠DFB＝∠DAF

故有∠BAD+∠BCD＝180°

B

C

则可证AEF为等边三角形

即AEEF，AEFAFE60

E

∴CFE120

又∵AD//BC，B60

5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC

∴BAD120

B

A

C

D

又∵DEC60

A

∴AEDFEC

F

E

在ADE与FCE中

1

2

EADCFE，AEEF，AEDFEC

CB

P

∴ADEFCE

B

D

C

∴ADFC

∴BCADAE

点评：

此题的解法比较新颖，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用全等三

角形的性质解决。

解：

（补短法）延长AC至F，使AF＝AB，连PD

△ABP≌△AFP（SAS）

三、平移变换

故BP＝PF

由三角形性质知

例1AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为P，△

A

PB－PC＝PF－PC

P.求证P＞

EBC周长记为

BB

P.

A

应用：

3

解：

（镜面反射法）延长BA至F，使AF＝AC，连FE证明（角平分线在三种添辅助线,计算数值法）∠B=60度,

AD为△ABC的角平分线,MN⊥AD则∠BAC+∠BCA=120度;

知∠FAE＝∠CAE

AD,CE均为角平分线,

A

故有

则∠OAC+∠OCA=60度=∠AOE=∠COD;

△FAE≌△CAE（SAS）

故EF＝CE

在△BEF中有：

BE+EF>BF=BA+AF=BA+AC

∠AOC=120度.

在AC上截取线段AF=AE,连接OF.

又AO=AO;∠OAE=∠OAF

E

O

从而PB=BE+CE+BC>BF+BC=BA+ACP+ABC=

.则⊿OAE≌ΔOAF（SAS）,

BC

OE=OF;AE=AF;

D

例2如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：

AB+AC>AD+AE.

∠AOF=∠AOE=60度.

证明：

取BC中点M,连AM并延长至N,使MN=AM,连BN,DN.

则∠COF=∠AOC-∠AOF=60度=∠COD;

又CO=CO;∠OCD=∠OCF.

故⊿OCD≌ΔOCF（SAS）,

OD=OF;CD=CF.

OE=OD

DC+AE=CF+AF=AC.

2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.

（1）说明BE=CF的理由；

（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE的长.

解：

（垂直平分线联结线段两端）连接BD，DC

A

DG垂直平分BC，故BD＝DC

由于AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，故有

E

∵BD=CE,

∴DM=EM,B

ED＝DF

∴△DMN≌△EMA（SAS）,

∴DN=AE,

故RT△DBE≌RT△DFC（HL）

G

D

C

F

同理BN=CA.

故有BE＝CF。

延长ND交AB于P,则BN+BP>PN,DP+PA>AD,

相加得BN+BP+DP+PA>PN+AD,

AB+AC＝2AE

各减去DP,得BN+AB>DN+AD,

AE＝（a+b）/2

∴AB+AC>AD+AE。

四、借助角平分线造全等

BE=（a-b）/2

应用：

1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：

OE=O，D

1、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等

DC+AE=AC

三角形。

请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

4

（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA

的平分线，AD、CE相交于点F。

请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而

（1）中的其它条件不变，请问，你有等腰三角形时常用的辅助线

在

（1）中所得结论是否仍然成立？

若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

FB

B

M

EE

D

F

OP

D

⑴作顶角的平分线，底边中线，底边高线

例：

已知，如图，AB=AC，BD⊥AC于D，

求证：

∠BAC=2∠DBC

证明：

（方法一）作∠BAC的平分线AE，交BC于E，则∠1=∠2=

AC

AC

N

图①图②图③

（第23题图）

解：

（1）FE与FD之间的数量关系为FEFD

又∵AB=AC

∴AE⊥BC

o

∴∠2＋∠ACB=90

A

12

1

2

∠BAC

（2）答：

（1）中的结论FEFD仍然成立。

证法一：

如图1，在AC上截取AGAE，连结FG

∵12，AF为公共边，

∴AEFAGF

∵BD⊥AC

o

∴∠DBC＋∠ACB=90

∴∠2=∠DBC

∴∠BAC=2∠DBC

（方法二）过A作AE⊥BC于E（过程略）

B

E

D

C

∴AFEAFG，FEFG

（方法三）取BC中点E，连结AE（过程略）B

∵B60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线⑵有底边中点时，常作底边中线

例：

已知，如图，△ABC中，AB=AC，D为BC中点，DE∴2360

∴AFECFDAFG60

∴CFG60

∵34及FC为公共边

∴CFGCFD

∴FGFD

E

D

F

14

3

2

AC

G

图1

⊥AB于E，DF⊥AC于F，

求证：

DE=DF

证明：

连结AD.

∵D为BC中点，

∴BD=CD

又∵AB=AC

E

B

A

F

DC

∴AD平分∠BAC∴FEFD

∵DE⊥AB，DF⊥AC证法二：

如图2，过点F分别作FGAB于点G，FHBC于点H

∴DE=DF

∵B60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线

B

∴可得2360，F是ABC的内心

∴GEF601，FHFG

G

E

又∵HDFB1

F

14

∴GEFHDF

3

2

AC

图2

∴可证EGFDHF

∴FEFD

D

H

⑶将腰延长一倍，构造直角三角形解题

例：

已知，如图，△ABC中，AB=AC，在BA延长线和

AC上各取一点E、F，使AE=AF，

求证：

EF⊥BC

证明：

延长BE到N，使AN=AB,连结CN,则AB=AN=AC

∴∠B=∠ACB,∠ACN=∠ANC

o

∵∠B＋∠ACB＋∠ACN＋∠ANC=180

o

∴2∠BCA＋2∠ACN=180

B

F

N

E

A

C

5

o

∴∠BCA＋∠ACN=90

o

即∠BCN=90

证明：

（证法一）过点E作EF∥BC交AB于F，则

∠AFE=∠B

N

D

∴NC⊥BC∠AEF=∠C

AM

∵AE=AF

∴∠AEF=∠AFE

∵AB=AC

∴∠B=∠C

FE

又∵∠BAC=∠AEF＋∠AFE∴∠AFE=∠AEF

BC∠BAC=∠ACN＋∠ANC∵AD=AE

∴∠BAC=2∠AEF=2∠ANC∴∠AED=∠ADE

o

∴∠AEF=∠ANC又∵∠AFE＋∠AEF＋∠AED＋∠ADE=180

∴EF∥NC

∴EF⊥BC

o

∴2∠AEF＋2∠AED=90

o

即∠FED=90

∴DE⊥FE

又∵EF∥BC

⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线∴DE⊥BC

例：

已知，如图，在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC延长线上，且BD=（证法二）过点D作DN∥BC交CA的延长线于N，（过程略）

CE，连结DE交BC于F（证法三）过点A作AM∥BC交DE于M，（过程略）

求证：

DF=EF

A

证明：

（证法一）过D作DN∥AE，交BC于N，则

∠DNB=∠ACB，

⑹常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形------等边三角形

例：

已知，如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=80o,P为形内一点，若∠

o,P为形内一点，若∠

o∠PCB=30o求∠PAB的度数.

PBC=10

∠NDE=∠E，

∵AB=AC，

D

解法一：

以AB为一边作等边三角形，连结CE

o

则∠BAE=∠ABE=60

∴∠B=∠ACB

∴∠B=∠DNB

B

1

NF

2

C

A

AE=AB=BE

∵AB=AC

E

∴BD=DN∴AE=AC∠ABC=∠ACB

E

A

又∵BD=CE∴∠AEC=∠ACE

D

∴DN=EC

在△DNF和△ECF中

∠1=∠2

∠NDF=∠E

DN=EC

B

C

1M

2

F

E

∵∠EAC=BACBAE∠－∠

oo

－60=20

=80

∴∠ACE=

1

2

（180

o－∠EAC）=80∵∠

B

P

o

C

∴△DNF≌△ECF

∴DF=EF

（证法二）过E作EM∥AB交BC延长线于M,则∠EMB=∠B（过程略）

ACB=

1

2

（180

o－∠BAC）=50o

⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行线

例：

已知，如图，△ABC中，AB=AC，E在AC上，D在BA延长线上，且AD=AE，

∴∠BCE=∠ACE－∠ACB

=80o－50o=30o

o－50o=30o

连结DE

o

∵∠PCB=30

求证：

DE⊥BC∴∠PCB=∠BCE

6

∵∠ABC=∠ACB=50o,∠ABE=60o

o

∴∠EBC=∠ABE－∠ABC=60

o－50

A

o

=10

o

∵∠PBC=10

1.如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数。

A

A

∴∠PBC=∠EBC

在△PBC和△EBC中

∠PBC=∠EBC

BC=BC

∠PCB=∠BCE

B

P

E

C

BE

O

CD

BE

O

CD

∴△PBC≌△EBC

解：

连结CD

∴BP=BE

∵AB=BE

∵∠ECD＋∠BDC=∠B＋∠E

∴AB=BP

=180°－∠BOE=180°－∠COD

∴∠BAP=∠BPA

∵∠ABP=∠ABC－∠PBC=50o－10o=40

o－10o=40

o

∴∠A＋∠B＋∠ACE＋∠ADB＋∠E

=∠A＋∠ECD＋∠BDC＋∠ACE＋∠ADB

∴∠PAB=

1

2

（180

o－∠ABP）=70

o

=∠A＋（∠ECD＋∠ACE）＋（∠BDC＋∠ADB）

=∠A＋∠ACD＋∠ADC

=180°

解法二：

以AC为一边作等边三角形，证法同一。

2.如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE

解法三：

以BC为一边作等边三角形△BCE，连结AE,则

o

EB=EC=BC，∠BEC=∠EBC=60

交AC于F。

求证：

AF=EF。

A

∵EB=EC

∴E在BC的中垂线上

同理A在BC的中垂线上

∴EA所在的直线是BC的中垂线

∴EABC⊥

A

E

F

F

E

BDC

∠AEB=

1

2

∠BEC=30o=∠PCB

o=∠PCB

BDC

解：

延长AD至G，使DG=AD，连结BG

G

o

由解法一知：

∠ABC=50

∵BD=DC，∠BDG=∠ADC

∴∠ABE=∠EBC－∠ABC=10o=∠PBC

o=∠PBC

∴△BGD≌△CAD

∵∠ABE=∠PBC,BE=BC,∠AEB=∠PCB

∴BG=AC=BE，∠G=∠CAD

∴△ABE≌△PBC

∴∠G=∠BEG=∠AEF

∴AB=BP∴∠BAP=∠BPA

∵∠ABP=∠ABC－∠PBC=50o－10o=40

o－10o=40

o

∴∠AEF=∠CAD∴AF=EF

3.已知E是正方形ABCD边CD上的中点，点F在BC上，且∠DAE=∠FAE。

∴∠PAB=

1

2

（180

o－∠ABP）=1

2

（180

o－40o）=70

o

求证：

AF=AD＋CF。

解：

过E作EG⊥AF于G

7

AD

AD

E

E

G

BFC

BFC

∵∠D=90°，∠AGE=90°

AE平分∠DAF∴ED=EG

∵ED=EC∴EG=EC

∵∠EGF=∠C=90°EF=EF

∴△EGF≌△ECF（