八年级数学上册几何添辅助线专题课件doc.docx

1、八年级数学上册几何添辅助线专题课件doc全等三角形问题中常见的辅助线的作法 ( 有答案)条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变间的相等换中的“对折”法 构造全等三角形 【三角形辅助线做法】2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对

2、称以后关系现。 思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法， （1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常是角平分线的性三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。1. 等腰三角形“三线合一”法： 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线质定理或逆定理 （2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角

3、形。 （3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截 合一”的性质解题取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。2. 倍长中线： 倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形4) 过图形上某一点作特定的平分线， 构造全等三角形， 利用的思维模式是全等变换中的 “平3. 角平分线在三种添辅助线移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条4. 垂直平分线联结线段两端线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，5. 用“截长法”或“补短法” ： 遇到有二条线段长之和等于第三

4、条线段的长，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目6. 图形补全法： 有一个角为 60 度或 120 度的把该角添线后构成等边三角形6) 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连7. 角度数为 30、60 度的作垂线法： 遇到三角形中的一个角为 30 度或 60 度，可线，出一对全等三角形。特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连 以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成 30-60-90 的特殊直角三角形，然后计接起来，利用三角形面积的知识解答 算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为

5、证明全等三A一、倍长中线（线段）造全等 角形创造边、角之间的相等条件。例 1、（“希望杯” 试题）已知，如图 ABC中，AB=5，AC=3，则中线 AD的取值范围是 _.8. 计算数值法： 遇到等腰直角三角形，正方形时，或 30-60-90 的特殊直角三角形，或解：延长 AD至 E 使 AE2AD，连 BE，由三角形性质知BD C 40-60-80 的特殊直角三角形 , 常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二AB-BE 2ADAB+BE 故 AD的取值范围是 1AD411、如图， ABC 中， AB=2AC，AD平分 BAC ，且 AD=BD，求证： CDAC解：（截长法）在

6、AB上取中点 F，连FD ADB是等腰三角形， F是底 AB中点，由三线合一知DFAB，故 AFD90例 2、如图， ABC中， E、F 分别在 AB、AC上， DEDF， D是中点，试比较BE+CF与 EF 的大小 .解： ( 倍长中线, 等腰三角形“三线合一”法 ) 延长FD至 G使 F G2EF，连BG，EG,显然 BGFC，A ADF ADC（SAS） 在 EFG中，注意到 D ED F，由等腰三角形的三线合一知 ACD AFD90即： CDACE EG EF2、如图， ADBC，EA,EB分别平分 DAB, CBA，CD过点 E，求证;ABAD+BC F在 BEG中，由三角形性质知E

7、GBG+BEBDC解：（截长法）在 AB上取点 F，使 AFAD，连FE ADE AFE（SAS）AD故： EFBE+FC ADE AFE，E例 3、如图， ABC中， BD=DC=A，C E是 DC的中点，求证： AD平分 BAE. ADE+BCE180B CAAB D E CBQ解：延长AE至 G使 AG 2AE，连BG，DG, AFE+BFE180P故 ECB EFB显然 DGAC， GDC= ACD由于 DC=AC，故 ADC=DAC FBE CBE（AAS）故有 BFBCC在 ADB与 ADG中， 从而 ;AB AD+BCBDAC=DG，AD AD，3、如图，已知在 ABC内，0BA

8、C 60 ，0C 40 ，P，Q分别在 BC，CA上，并且 AP，ADB=ADC+ACD=ADC+GDC ADGBQ分别是 BAC ， ABC 的角平分线。求证： BQ+AQ=AB+BP故 ADB ADG，故有 BAD=DAG，即 AD平分 BAE 解：（补短法 ,计算数值法）延长AB至 D，使 BDBP，连DP在等腰 BPD中，可得 BDP 40二、截长补短2从而 BDP 40 ACPADP ACP（ASA）故 ADAC又 QBC40 QCB 故 BQ QCBD BP从而 BQ+AQ=AB+BP4、如图，在四边形 ABCD中， BC BA,AD C D，BD平分 ABC ，求证：A C018

9、0解：（补短法）延长BA至 F，使 BFBC，连FDA 分析： 此题连接 AC，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用已知条件和等BDF BDC（SAS）故 DFB DCB ，F DDC又 ADCD故在等腰 BFD中D边三角形的性质通过证明三角形全等解决它们的问题。解：有 BC AD AE连接 AC E EF / BC AC F ，过作 并 于 点ADDFB DAF故有 BAD+BCD180BC则可证AEF为等边三角形即 AE EF ， AEF AFE 60E CFE 120又 AD / BC ， B 605、如图在 ABC中， ABAC， 1 2，P为AD上任意一点，求证;AB-ACP

10、B-PC BAD 120BACD又 DEC 60A AED FEC FE在 ADE 与 FCE 中1 2EAD CFE ， AE EF ， AED FECC BP ADE FCEBDC AD FC BC AD AE点评： 此题的解法比较新颖，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用全等三角形的性质解决。解：（补短法）延长AC至 F，使 AFAB，连PDABP AFP（SAS）三、平移变换故 BPPF由三角形性质知例 1 AD为 ABC的角平分线，直线MNAD于 A.E为MN上一点， ABC周长记为P ，APB PCPFPC BF=BA+AF=BA+ACAOC=120 度.在 AC 上截取线

11、段 AF=AE,连接 OF.又 AO=AO; OAE= OAFEO从而 PB=BE+CE+BCBF+BC=BA+ACP+ABC=.则OAE OAF(SAS),B COE=OF;AE=AF;D例 2 如图，在 ABC的边上取两点 D、 E，且 BD=CE，求证： AB+ACAD+AE.AOF=AOE=60 度.证明：取 BC 中点 M,连AM 并延长至 N,使 MN=AM,连BN,DN. 则 COF= AOC-AOF=60 度=COD;又 CO=CO; OCD= OCF.故 OCD OCF(SAS),OD=OF;CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.2、如图， ABC中， AD平分

12、 BAC，DGBC且平分 BC， DEAB于 E，DFAC于 F.（ 1）说明 BE=CF的理由；（2）如果 AB=a ， AC=b ，求 AE、BE的长.解： (垂直平分线联结线段两端 )连接 BD，DCADG垂直平分 BC，故 BDDC由于 AD平分 BAC， DE AB于 E，DF AC于 F，故有EBD=CE,DM=EM, BEDDF DMN EMA(SAS),DN=AE,故 RTDBE RTDFC（HL）GDCF同理 BN=CA.故有 BECF。延长ND 交 AB 于 P,则BN+BPPN,DP+PAAD,相加得 BN+BP+DP+PAPN+AD,AB+AC2AE各减去 DP,得 B

13、N+ABDN+AD,AE（ a+b）/2AB+ACAD+AE 。四、借助角平分线造全等BE=(a-b)/2应用： 1、如图，已知在 ABC中， B=60， ABC的角平分线AD,CE相交于点 O，求证： OE=O，D1、如图， OP 是 MON 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等DC+AE =AC三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：4（1）如图，在 ABC 中，ACB 是直角， B=60 ，AD、CE 分别是 BAC、BCA的平分线， AD、CE 相交于点 F。请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系；（2）如图，在 ABC 中，如果 ACB

14、 不是直角，而 (1)中的其它条件不变，请问，你 有等腰三角形时常用的辅助线在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。F BBME E DFO PD作顶角的平分线，底边中线，底边高线例：已知，如图， AB = A C，BDA C于 D，求证：BAC = 2DBC证明：（方法一）作 BAC的平分线 AE，交 B C于 E，则1 = 2 =A CA CN图 图 图(第 23 题图)解：（1）FE 与 FD 之间的数量关系为 FE FD又AB = ACAEBCo2ACB = 90A1 212BAC（2）答：（1）中的结论 FE FD 仍然成立。证法一： 如图 1，在 AC

15、 上截取 AG AE ，连结 FG 1 2 ，AF 为公共边， AEF AGFBDACoDBCACB = 902 = DBCBAC = 2DBC（方法二）过 A作 AEB C于 E（过程略）BEDC AFE AFG ， FE FG（方法三）取 BC中点 E，连结 AE（过程略） B B 60 ，AD、CE 分别是 BAC 、 BCA 的平分线 有底边中点时，常作底边中线例：已知，如图， ABC中，AB = A C，D 为 BC 中点， DE 2 3 60 AFE CFD AFG 60 CFG 60 3 4 及 FC 为公共边 CFG CFD FG FDEDF1 432A C G图 1AB于 E

16、，DFAC于 F，求证：DE = DF证明：连结 AD.D为 B C中点，BD = CD又AB =ACEBAFD CAD平分BAC FE FDDEAB，DFAC 证法二： 如图 2，过点 F 分别作 FG AB 于点 G， FH BC 于点 HDE = DF B 60 ，AD、CE 分别是 BAC 、 BCA 的平分线B可得 2 3 60 ，F 是 ABC 的内心 GEF 60 1， FH FGGE又 HDF B 1F1 4 GEF HDF 3 2A C 图 2可证 EGF DHF FE FDDH将腰延长一倍，构造直角三角形解题例：已知，如图， ABC中，AB = AC，在 BA延长线和AC上

17、各取一点 E、F，使 AE = AF，求证：EFBC证明：延长 BE到 N，使 AN= AB,连结 CN,则 AB= AN= ACB = ACB, ACN = ANCoBACBACNANC = 180o2BCA2ACN = 180BFNEAC5o BCAACN = 90o即 BCN = 90证明：（证法一）过点 E作 EFBC交 AB于 F，则AFE =BNDN CBC AEF =CA MAE = AF AEF = AFEAB = ACB =CF E又 BAC = AEF AFE AFE =AEFB C BAC = ACN ANC AD = AE BAC =2AEF = 2ANC AED =A

18、DEo AEF = ANC 又 AFEAEF AEDADE = 180EFNCEFBCo2AEF2AED = 90o即FED = 90DEFE又EFBC常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线DEBC例：已知，如图，在 ABC中，AB = A C，D在 AB上， E在 A C延长线上，且 BD = （证法二）过点 D作 D NB C交 C A的延长线于 N，（过程略）C E，连结DE交 BC于 F （证法三）过点 A作 AMB C交 D E于 M，（过程略）求证： DF = EFA证明 ：（证法一）过D作 D N AE，交 BC于 N，则DNB = ACB，常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形

19、- 等边三角形例：已知，如图， ABC中，AB = A C， BAC = 80 o ,P为形内一点，若o ,P为形内一点，若o PCB = 30o 求 PAB的度数 .PBC = 10NDE = E，AB = AC，D解法一：以 AB为一边作等边三角形，连结CEo则BAE =ABE = 60 B = ACB B =DNBB1N F2CAAE = AB = BEAB = ACEBD = DN AE = AC ABC =ACBEA又 BD = CE AEC =ACEDDN = EC在 DNF和 ECF中1 = 2NDF =EDN = ECBC1 M2FEEAC = BAC BAE o o 60 =

20、 20= 80ACE=12(180o EAC)= 80BPoC DNF ECFDF = EF（证法二）过E作 EMAB交 BC延长线于 M,则EMB =B（过程略）ACB=12(180o BAC)= 5 0o常过一腰上的某一已知点做底的平行线例：已知，如图， ABC中，AB=AC，E在 A C上，D在 BA延长线上，且 A D= AE，BCE =ACEACB= 80 o50o = 30 oo50o = 30 o连结DEoPCB = 30求证： D EBC PCB = BCE6ABC =ACB = 50 o, ABE= 60ooEBC=ABE ABC = 60o 50Ao=10oPBC = 10

21、1. 如图，求 A B C D E 的度数。AAPBC = EBC在PBC和 EBC中PBC = EBCBC = BCPCB = BCEBPECB EOC DB EOC DPBC EBC解：连结CDBP = BEAB = BE ECD BDC= B EAB = BP=180 BOE=180 CODBAP =BPAABP =ABCPBC = 50 o10o = 40o10o = 40o A B ACE ADB E= A ECD BDC ACE ADBPAB =12(180o ABP)= 70o= A（ ECD ACE ）（ BDC ADB ）= A ACD ADC=180解法二：以 AC为一边作

22、等边三角形，证法同一。2. 如图，已知在 ABC 中，AD 是 BC边上的中线， E 是 AD 上一点，且 BE=AC ，延长BE解法三：以 BC为一边作等边三角形 BCE，连结AE,则oEB = EC = BC，BEC =EBC = 60交 AC 于 F。求证： AF=EF 。AEB = ECE在 BC的中垂线上同理 A在 BC的中垂线上EA所在的直线是 BC的中垂线EA BC AEFFEB D CAEB =12BEC = 30 o = PCBo = PCBB D C解： 延长AD 至 G，使 DG=AD ，连结BGGo由解法一知： ABC = 50BD=DC ， BDG= ADC ABE

23、= EBCABC = 10 o = PBCo = PBC BGD CAD ABE =PBC,BE = BC,AEB =PCBBG=AC=BE ， G= CAD ABE PBC G= BEG= AEFAB = BP BAP =BPA ABP =ABC PBC = 50 o10o = 40o10o = 40o AEF= CAD AF=EF3. 已知 E 是正方形 ABCD边CD 上的中点，点 F 在 BC 上，且 DAE= FAE。 PAB =12(180oABP) = 12(180o40o)= 70o求证： AF=AD CF。解：过E 作 EGAF 于 G7A D A DE EGB F C B F C D=90 ， AGE=90 AE 平分 DAF ED=EGED=EC EG=EC EGF=C=90 EF=EF EGF ECF（