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最短送货路线的设计论文
货物运送线路问题
作者单位：
电信科0902
08/06/2011
作者：
李明敏0120914420206
李炜炜0120914420211
李煜01209114202
最短送货路线的设计
摘要：
现今社会网络越来越普及，网购已成为一种常见的消费方式，随之物流行业也渐渐兴盛。
为了配合现代大众的快节奏生活要求，每个送货员需要以最快的速度及时将货物送达。
而这其中要涉及到送货路径、货物的送达时间限制等诸多因素。
这就要求在已知要送的货物的相关信息的前提下，怎样设计出最短的送货路径，以达到以最快的速度及时将货物送达的目的。
在本文中利用了计算最短距离的最常用的算法---Dijstra算法来计算得。
在问题的解决中，分别采取多阶段、多区域等讨论方法，在时间、重量以及体积等因素的限制下利用优化模型求得是的距离最短的路线。
关键字：
最短距离Dijkstra算法优化图论路程时间
路线
目录
一、问题的提出…………………………………………………………3
1、问题1的提出………………………………………………….3.
2、问题2的提出…………………………………………………..3
3、问题3的提出.............................................................................3
二、问题的分析........................................................................................3
三、模型的说明............................................4
3.1模型的假设…………………………………………………..4
3.2符号说明.........................................4
3.3模型介绍………………………………………………………4
四、模型的建立以及求解.....................................................................4
4.1问题1的模型建立和求解……………………………………4
4.2问题2的模型建立和求解…………………………………….4
4.3问题3的模型建立和求解………………………………………4
五、模型的评价…………………………………………………………11
六、参考文献…………………………………………………………….12
七、附录…………………………………………………………………12
一、问题的提出
网络的普及不但方便了人们的交流、对信息的更广阔的涉猎，也在经济领域掀起了一场销售和消费方式的变革。
网购就是反应这种变革的表现形式之一，同时网购的兴起又带动了物流行业的发展。
物流公司面对的问题则是在这种销售商和消费者的交易中，如何更加高效的完成“传递者”的使命。
物流公司雇佣的送货员在接收到要送的货物以及相关信息（重量、体积、送达地点、送达时间等）之后，要对送货路线进行规划，以期达到以最快的速度及时将货物送达到消费者手中。
如何选择送货路线便成为送货员面临的最棘手的问题。
因此就有以下两个问题的提出：
1.若将1~30号货物送到指定地点并返回。
设计最快完成路线与方式。
给出结果。
要求标出送货线路。
2.假定该送货员从早上8点上班开始送货，要将1~30号货物的送达时间不能超过指定时间，请设计最快完成路线与方式。
要求标出送货线路。
3.若不需要考虑所有货物送达时间限制（包括前30件货物），现在要将100件货物全部送到指定地点并返回。
设计最快完成路线与方式。
要求标出送货线路，给出送完所有快件的时间。
二、问题的分析
由于送货员每次所送货的地点是确定的，但又是不止一个的，因此最快完成送货任务的要求相应的转变成了在时间、重量以及体积等限制下的最短路径的寻找的问题。
在最短路径的计算中，最常用的算法是Dijkstra算法。
利用Dijkstra算法求得送货地点中任意两点之间的距离。
而在时间、重量以及体积等限制下的最短路径则是利用优化模型，按照类似“筛选”的思想，来获取在限制条件下的最短路径的距离、时间以及路线等结果。
三、模型的介绍
3.1模型假设
（1）.一个地点的货物全部一次性带上，不考虑以后再经过此地再带上；
（2）.同一地点多个货物的交接也按总共三分钟计算；
（3）.到达地点后超过规定时间的计算中，不考虑交接的三分钟时间；
（4）.不考虑休息的时间；
（5）.所有的距离都精确到米，而所有的时间都精确到0.0001h；
（6）.送货员的速度是已知的常量；
3.2符号说明
i,j送货点的标号
W从0点回到0点的总路程
T从0点回到0点的总时间
w（i,j）从i点到j点的最短距离
v送货员的平均速度
ti从0点到i点对应的最短时间
mi到达i点所能带的货物的最大重量
vi到达i点所能带的货物的最大体积
M每次从0点出发送货员所能携带的货物的最大重量
V每次从0点出发送货员所能携带的货物的最大体积
i,j=1,2,3……50M=50㎏V=1m³
3.3模型的介绍
我们利用图论中常用的Dijkstra算法，求出各个点之间的最短路径，。
w（i,j）表示第i个地点到j个地点的最短距离，但若第i个地点和第j个地点是不连通的则w（i,j）为无穷大，在matlab中用inf表示（在其他的计算机软件中也可以相应找到表示方式）。
在计算中，引入集合t和s。
其中，s表示那些已经确定了到i地点最短路径的地点，而t为全集u和s的差集，即那些还没有确定到i地点的最短路径的地点。
设s的初值为{i}，t的初值为u-{i}。
另外再引入一个标记数组d[n]，其中在某一步d[k]表示当前从i到k的较短路径，d[k]的初值为w（i,k）。
整个的计算过程如下：
1、在t中选择一个d[k]最小的地点k，将其并入s，并从t中剔除k；如果t为空集{}，则转到3；
2、用k点与t中的其余点分别进行比较，如果d[i]>d[k]+w[k][i],则用d[k]+w[k][i],取代原来的d[i]；重复1；
3、算法结束，此时d[k]中保存的就是从i点到k点的最短路径。
四、模型的建立以及求解
4.1问题一
由给定的表1
前面的三十个货物的总重量为：
Σm=48.5kg<50kg
总体积为：
Σv=0.88m3<1m3
因此送货员是可以一次性带着所有前三十件货物的。
并且可以知道前三十件货物所要送达的地点为：
i，j=13，18，31，26，21，14，17，23，32，38，45，43，39，45，42，43，32，36，27，24，31，27，26，34，40，45，49，32，23，16
并且运送这30件货物共要经历21个点，运送30件货物
目标函数是：
T=W÷V+T0×30
约束条件是：
必须全部遍历回到O点
即求出从O出发遍历上图的21个点并回到O的最短距离
要距离最短则每一步也要最短，即从O开始找最短的点到达后继续找未遍历的
最短的点则可以求出最短的距离。
本题要求出回到O点则可以看到两个开始最短遍历的点在某点重合即可完成最短的遍历。
2模型的求解
可以明显得出距离O最近的点是21点和26点，由于32点到38点的
距离小于32点到16点的距离为使从21点出来的线遍历右下的点完后再和26
点出来汇合则安排32点到35点断开。
由程序2可得：
遍历节点路线是：
O-21-17-23-32-16-14-18-13-24-34-40-45-49-42-43-38-36-39-27-31-26-O
最优路线是：
O-21-17-23-32-23-16-14-21-18-13-19-24-31-34-40-45-42-49-42-43-38-36-27-39-27
总路程是：
W=53787m
Z最优时间是：
T=3.7411h
4.2问题二
1.问题的分析
又第一个模型建立的可以求出到达24时所用的时间是：
t（24）=2.0880
由表2.1可知必须在9点之前把货物送到24点即t（24）<1,所以模型一不适用于问题二的求解。
由下图可知：
由于右边的点的地点需要的时间要比左边的早，所以先分两个阶段，即先走
左边后走左边即先走圈内的元素有程序3可得：
从O点出发经过13,18,24,26,27,31,34,39,40到达45
5
26
0.1080
7
31
0.2220
6
27
0.3165
9
29
0.4407
4
24
0.6835
3
28
0.8954
2
13
1.0751
8
31
1.4393
10
40
1.5573
11
45
1.7413
而到13点时必须在九点之前到达但1.0751>1，到45点时必须在9点半之前到达而1.7412>1.5故分成两个阶段不成功，所以分四个阶段，求出各个阶段的最短距离和到达时的时间即可。
目标函数：
ti=wi÷v+∑t0
约束条件是：
T到各个点的时间最大值
2.模型的求解
4.3问题三
1.模型的建立
本题中要遍历所有的50个点但由于M总=147考过，V总=2.8m3而M<50kg
V<1m3故应该以M<50kg和V<1m3判断的标准到达的最远的点返回。
目标函数：
W=∑150w（I,j）
约束条件：
M<50kg，V<1m3
2..模型的求解
由0开始尊见依次找出最近的点后再找出离该点直到不满足约束条件。
.
①第一阶段
顺序为：
0263127393638322317210
总的路程为：
2.7122e+004
总的时间为：
1.7301
2第二阶段
顺序为：
Colums1through13
0181312118316710914
Colums14through21
164342495040340
总的路程为：
1.5936e+005
总的时间为：
0.2112
3.模型的优化
由于总的∑m=148kg∑v=2.8m2,所以最少要分四个阶段，但由于每次不可能刚好带满50kg，而如果只要3次则最多只能带150kg只比原货物多2kg，所以不可能是三次就把货物带完，最少要四次。
故只要把上述的模型进行数据处理就好了。
过程如下：
1由于到21点时M=49V=0.8757若走过14天则M大于50故直接从21点返回。
第一次带货物
顺序为：
026312739363835322317210
总的路程为：
2.7122e+004
总的时间为：
1.7310
最优路线为：
0-26-31-27-36-38-35-32-23-17-21-0
走的距离W=27122m。
花费的时间为T=1.7301
2若按程序给出的从13到8的路线是13-12-11-12-8而当13-11-12-8时更短
故修改他；同时到达40后如果选择34则45党的周围全被遍历过。
到45后M=46.83，V=1.0247不满足要求，故从40到34后沿21-26返回。
第二次带货物
顺序为：
columns1through13
0181312118316710914
Columns14through21
164342495040340
总的路程为：
8.4850e+004总的时间为：
4.5354
最优的路线：
0-18-13-11-12-8-3-1-6-1-7-10-9-14-16-23-32-35-38-43-42-49-50-40-45-36-21-0
走的距离W=83220。
花费的时间为T=4.4675
3当到达45点时若要去20点放货物的话则需要遍历许多已经遍历过的地点，故从45点沿36-21-0返回
第三次带货物
顺序为：
columns1through13
0241925292230283346484441
Columns14through21
37474520150
总的路程为：
1.5936e+005总的时间为：
7.5399
最优的路线为：
0-26-31-24-19-25-29-22-30-28-33-46-48-44-41-37-40-47-40-45-36-21-0
走的距离W=83220。
花费的时间为T=4.4675
走的距离W=128970m。
花费的时间为T=6.1238
4余下了5个点，所以由图可知
第四次带货物
顺序为：
04250
总的路成为：
1.9347e+005
总的时间为：
8.2112
路线为：
0-26-31-24-19-25-15-22-20-2-5-2-4-3-8-12-13-18-0
走的距离W=17150m。
花费的时间为T=7.3964
由上面的四个阶段可以知道该问的最优路线为：
0-26-31-27-39-27-36-38-35-32-23-17-21-0-18-13-11-12-8-3-1-6-1-7-10-9-14-16-23-32-35-38-43-42-49-50-40-45-36-21-0-26-31-24-19-25-29-22-30-28-33-46-48-44-41-37-40-47-40-45-36-21-0-26-31-24-19-25-22-20-2-5-2-4-3-8-12-13-18-0
走的距离W=171510m。
花费的时间为T=7.3964
五.模型的分析
1.误差分析：
对于模型一是使用了精确的dijkstra算法，故误差可以忽略不计。
对于模型二假定了32到38点的断开存在一定的误差，但相对于断开其余的几个点得到的数值要小，故模型可以使用。
对于模型三，由于要分区域的方法很多，故不可避免的存在些误差，但由于区域越多，路程就越多，故选择分成四个区域最合适；分成的四个不同的时间的到达区域比较紧密故按照时间的不同划分了四个区域，从而大大的消除了误差，此模型可以使用。
对于模型四的误差比较大，由于未考虑货物的拆分可能会有一定的影响同时由于四个阶段的划分也是有一定的不确定性，故存在误差。
对于该模型简化了考虑的条件，仅以M和V为判断标准，虽然对准确性存在挑战，但该模型相对于其他的分类有明确的优越性。
故该模型适用于该问的求解。
2.灵敏度分析
对于模型一二三。
灵敏度很好，模型的准确性很高。
对于模型四由于质量和体积的制约，使其灵敏度不会很好，但准确性较高，因此模型可以用。
六.模型的评价.改进和推广
1.模型的评价
优点：
①.充分利用了已知数据建立模型，使其具有很高的准确性和可行性。
②.使用准确的算法和适当的假设，使模型的准确性和实用性达到统一。
③.运用功能强大的matlab工具数据处理误差达到最小。
缺点：
由于数据较多，没法使用工具进行模型的验证，只能一步一步的精化模型
2.模型的改进
对于模型一和模型二主要是进行验证。
对于模型二断开的那个点可以取别的点进行。
主要是模型四的改进，可以考虑到不同的地点送的货物进行拆分，从而渠道最优的解
3.模型的推广
可充分使用到图的遍历和最短的一系列问题的求解中。
七.参考文献
1.AFirstCourseinMathenmatiucalModerling（ThirdEditon）
FrankR.GiordianoMauriceD.weirWilliamP.Fox
2.图论任韩
3.数学建模案例选集姜启源谢金星
4.图论第三版德迪斯特尔著
5.大学生教学建模竞赛辅导教材叶其效
6.基于Matlab动态规划中最短路线的实现程序施益昌李自立
7.物流配送问题的混沌优化算法研究中央名族大学学报
八.附录
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