最新人教版八年级数学上册教案第11章三角形.docx

最新人教版八年级数学上册教案第11章三角形.docx

《最新人教版八年级数学上册教案第11章三角形.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新人教版八年级数学上册教案第11章三角形.docx（48页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

最新人教版八年级数学上册教案第11章三角形

11．1　与三角形有关的线段

11．1.1　三角形的边

1．理解三角形的概念，认识三角形的顶点、边、角，会数三角形的个数．（重点）

2．能利用三角形的三边关系判断三条线段能否构成三角形．（重点）

3．三角形在实际生活中的应用．（难点）

一、情境导入

出示金字塔、战机、大桥等图片，让学生感受生活中的三角形，体会生活中处处有数学．

教师利用多媒体演示三角形的形成过程，让学生观察．

问：

你能不能给三角形下一个完整的定义？

二、合作探究

探究点一：

三角形的概念

图中的锐角三角形有（　　）

A．2个

B．3个

C．4个

D．5个

解析：

（1）以A为顶点的锐角三角形有△ABC、△ADC共2个；

（2）以E为顶点的锐角三角形有△EDC共1个．所以图中锐角三角形的个数有2＋1＝3（个）．故选B.

方法总结：

数三角形的个数，可以按照数线段条数的方法，如果一条线段上有n个点，那么就有

条线段，也可以与线段外的一点组成

个三角形．

探究点二：

三角形的三边关系

【类型一】判定三条线段能否组成三角形

以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　）

A．2cm，3cm，5cm

B．5cm，6cm，10cm

C．1cm，1cm，3cm

D．3cm，4cm，9cm

解析：

选项A中2＋3＝5，不能组成三角形，故此选项错误；选项B中5＋6＞10，能组成三角形，故此选项正确；选项C中1＋1＜3，不能组成三角形，故此选项错误；选项D中3＋4＜9，不能组成三角形，故此选项错误．故选B.

方法总结：

判定三条线段能否组成三角形，只要判定两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可．

【类型二】判断三角形边的取值范围

一个三角形的三边长分别为4，7，x，那么x的取值范围是（　　）

A．3＜x＜11B．4＜x＜7

C．－3＜x＜11D．x＞3

解析：

∵三角形的三边长分别为4，7，x，∴7－4＜x＜7＋4，即3＜x＜11.故选A.

方法总结：

判断三角形边的取值范围要同时运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．有时还要结合不等式的知识进行解决．

【类型三】等腰三角形的三边关系

已知一个等腰三角形的两边长分别为4和9，求这个三角形的周长．

解析：

先根据等腰三角形两腰相等的性质可得出第三边长的两种情况，再根据两边和大于第三边来判断能否构成三角形，从而求解．

解：

根据题意可知等腰三角形的三边可能是4，4，9或4，9，9，∵4＋4＜9，故4，4，9不能构成三角形，应舍去；4＋9＞9，故4，9，9能构成三角形，∴它的周长是4＋9＋9＝22.

方法总结：

在求三角形的边长时，要注意利用三角形的三边关系验证所求出的边长能否组成三角形．

【类型四】三角形三边关系与绝对值的综合

若a，b，c是△ABC的三边长，化简|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|.

解析：

根据三角形三边关系：

两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负，然后去绝对值符号进行计算即可．

解：

根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，得a－b－c＜0，b－c－a＜0，c＋a－b＞0.∴|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|＝b＋c－a＋c＋a－b＋c＋a－b＝3c＋a－b.

方法总结：

绝对值的化简首先要判断绝对值符号里面的式子的正负，然后根据绝对值的性质将绝对值的符号去掉，最后进行化简．此类问题就是根据三角形的三边关系，判断绝对值符号里面式子的正负，然后进行化简．

三、板书设计

三角形的边

1．三角形的概念：

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形．

2．三角形的三边关系：

两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．

本节课让学生经历一个探究解决问题的过程，抓住“任意的三条线段能不能围成一个三角形”引发学生探究的欲望，围绕这个问题让学生自己动手操作，发现有的能围成，有的不能围成，由学生自己找出原因，为什么能？

为什么不能？

初步感知三条边之间的关系，重点研究“能围成三角形的三条边之间到底有什么关系”．通过观察、验证、再操作，最终发现三角形任意两边之和大于第三边这一结论．这样教学符合学生的认知特点，既提高了学生学习的兴趣，又增强了学生的动手能力．

11.1与三角形有关的线段

11.1.1三角形的边

教学目标

知识与技能

1.进一步认识三角形的概念及其基本要素；

2.掌握三角形三条边之间关系．

过程与方法

经历度量三角形边长的实践活动中,理解三角形三边不等的关系.

情感态度价值观

帮助学生树立几何知识源于客观实际,用客观实际的观念,激发学生学习的兴趣

教学重点

了解三角形定义、三边关系。

教学难点

1.在具体的图形中不重复,且不遗漏地识别所有三角形.

2.用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形.

教学准备

教师：

课件、三角尺、屋顶架结构图等。

学生：

三角尺、铅垂纸、小刀。

教学过程（师生活动）

设计理念

提出问题

展示实物，播放课件，特别突出屋顶结构图，问题：

1、

请仔细观察实物与课件，找出不同的三角形。

2、与同伴交流各自找到的三角形。

这些三角形有什么特点？

使学生经历从现实世界抽象出几何模型的过程，认识三角形要素。

探究质疑

1、三角形的概念：

（1）通过学生间交流，师生共同得出，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．

（2）三角形有哪些基本要素，师生共同得出：

边、角、顶点．

2、三角形表示：

教师强调，为了简单起见：

三角形用符号“△”表示，如图的三角形ABC就表示成△ABC,三个顶点为：

A,B、C，三边分别为:

AB,BC,AC。

通常顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用。

请同学们找出图中的三角形，并用符号表示出来，同时说出各个三角形要素，并指出AD是哪些三角形的边。

3、三边都相等的三角形叫做等边三角形；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

问题：

那么等边三角形是否属于等腰三角形呢？

三角形的分类：

①按三个内角的大小分类：

锐角三角形、直角三角形和钝角三角形

②按边进行分类。

不等边三角形

4.动手操作：

（1）任意画一个△ABC，从点B出发，沿边到点C，有几条路线？

（2）各条路线的长有什么关系？

说明理由.

结论：

三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.

在识别中加深认识，巩固对三角形概念及三角形要素的理解，更加深刻理解三角形表示的必要性．

为学生提供探索与交流的时间与空间，同时注重数学的实际应用，使学生体会到数学的应用价值及其学习数学的重要性、必要性

巩固新知

1、有两根长度分别为5cm,8cm的木棒，用长度为2cm的木棒与它们能摆成三角形吗？

为什么？

长度为13cm的木棒呢？

渗透反证法思想，借助小组操作讨论，得出组成三角形的条件。

小结与作业

课堂小结

1、请你谈谈本堂课的收获。

2、你有什么困惑？

培养学生语言概括能力。

本课作业

1、课本练习

2、《学练优》练习

11.1与三角形有关的线段

11.1.1三角形的边

设计

理念

在自主探究，合作交流过程中，让学生感受数学活动的重要意义和合作成功的喜悦，提高学生学习的热情和合作意识。

教

学

目

标

1

、认识三角形，

了解三角形的定义，认识三角形的边，内角，顶点，能用符号

语言

表示三角形。

2、能从不同角度对三角形进行分类。

3、掌握三角形三边的不等关系，并能运用三角形三边的不等关系解决生活实际问题。

重点

认识三角形的边，内角，顶点，能用符号语言表示三角形。

难点

运用三角形三边的不等关系解决生活实际问题。

教学方法

自主探究、合作交流

课型

新授课

教学过程

教学环节

教学内容

师生活动

设计意图

一、观察

发现

引入提问：

1.下面请大家仔细观察一组图片，看看它们有什么共同特

点？

2.动画演示生活中三角形的一组图片。

给出三角形的定义

复习已有知识

欣赏生活中的三角形，为得出三角形的定义做准备。

学生通过图形的观察体会三角形的定义。

引入新课设置情境

通过动画演示让学生回忆已有关

于三角形的知识。

揭示图形语言与文字语言之间的联系。

二、探究

说理

1.如何表示三角形？

2.三角形的边可以怎么表示？

3.三角形的分类

学生自学课本学习三角形和三角形边的

表示方法

。

学生在练习本上练习三角形的表示方法。

培养学生的自学能力，解决问题的能力。

三、感悟

深化

练一练：

1.小

强用三根木棒组成的图形，其中符合三角形概念是（）

2、读出图中的各个三

角形.

3.任意画一个∆ABC，假设一只小虫从B出发，沿三角形的边爬到C,它有几条路线可以选择？

各条路线的长一样吗？

A

C

B

学生独立完成练一练，并指出错误的原因。

师生及时点评对错，教师及时用鼓励性语言鼓励积极发言的学生。

练习中归纳三角形的三边关系：

三角形的两边的和大于第三边。

及时练习巩固新知。

培养学生使用旧知识解决新问题的能力。

四、巩固

提高

1.下列长度的三条线段能否组成三角形？

为什么？

（1）3,4,8

（2）5,6,11（3）5,6,10

2.例题：

用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形。

（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？

（2）能围成有一边的长为4厘米的等腰三角形吗？

为什么？

学生独立思考解决问题的方法，有困难小组交流合作，互相补充。

利用三角形三边关系解决问题，

体会分类讨论思想的应用。

五、体验

收获

你有什么收获？

这节课你印象最

深的是什么？

还有什么不明白的吗？

学生归纳总结，教师补充提升。

培养学生概括的能力。

使知识形成体系，并渗透数学思想方法。

六、实践

延伸

必做题：

练习

选做题：

如图，线段

、

相交于点

，能否确定

与

的大小，并加以说明．

11．1.2　三角形的高、中线与角平分线

1．掌握三角形的高、中线和角平分线的定义，并能够对其进行简单的应用．（重点）

2．能够准确的画出三角形的高、中线和角平分线．（难点）

一、情境导入

这里有一块三角形的蛋糕，如果兄弟两个想要平分的话，你该怎么办呢？

本节我们一起来解决这个问题．

二、合作探究

探究点一：

三角形的高

【类型一】三角形高的画法

画△ABC的边AB上的高，下列画法中，正确的是（　　）

解析：

三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念可知．

解：

过点C作边AB的垂线段，即画AB边上的高CD，所以画法正确的是D.故选D.

方法总结：

三角形任意一边上的高必须满足：

（1）过该边所对的顶点；

（2）垂足必须在该边或在该边的延长线上．

【类型二】根据三角形的面积求高

如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，则BP的最小值为________．

解析：

根据垂线段最短，可知当BP⊥AC时，BP有最小值．由△ABC的面积公式可知

AD·BC＝

BP·AC，解得BP＝

.

方法总结：

解答此题可利用面积相等作桥梁（但不求面积）求三角形的高，这种解题方法通常称为“面积法”．

探究点二：

三角形的中线

【类型一】应用三角形的中线求线段的长

在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，则BA＝________.

解析：

如图，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∴△ABD的周长－△ADC的周长＝（BA＋BD＋AD）－（AC＋AD＋CD）＝BA－AC，∴BA－5＝2，∴BA＝7cm.

方法总结：

通过本题要理解三角形的中线的定义，解决问题的关键是将△ABD与△ADC的周长之差转化为边长的差．

【类型二】利用中线解决三角形的面积问题

如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF＝________．

解析：

∵点D是AC的中点，∴AD＝

AC.∵S△ABC＝12，∴S△ABD＝

S△ABC＝

×12＝6.∵EC＝2BE，S△ABC＝12，∴S△ABE＝

S△ABC＝

×12＝4.∵S△ABD－S△ABE＝（S△ADF＋S△ABF）－（S△ABF＋S△BEF）＝S△ADF－S△BEF，即S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.故答案为2.

方法总结：

三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比．

探究点三：

三角形的角平分线

如图，已知：

AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度数．

解析：

根据AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，得出∠BAD＝30°，再利用CE是△ABC的高，∠BCE＝40°，得出∠B的度数，进而得出∠ADB的度数．

解：

∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝∠BAD＝30°.∵CE是△ABC的高，∠BCE＝40°，∴∠B＝50°，∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－50°－30°＝100°.

方法总结：

通过本题要灵活掌握三角形的角平分线的表示方法，同时此类问题往往和三角形的高综合考查．

三、板书设计

三角形的高、中线与角平分线

1．三角形的高：

从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高．

2．三角形的中线：

在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线．

3．三角形的角平分线：

三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点与交点的线段叫做三角形的角平分线．

本节课由实际问题“平分三角形蛋糕”引入，让学生意识到数学与实际生活的密切联系，明确数学来源于实践应用于实践，进而学习用数学方法解决实际问题．然后从画图入手，分三种情况：

即锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，培养学生形成分类讨论思想，同时，可以在学生头脑中对这三种线段留下清晰的形象，然后结合这些具体形象叙述它们的定义以及表示方法，最后通过例题进一步巩固．

11.1.2三角形的高、中线与角平分线

〔教学目标〕1、经历画图的过程，认识三角形的高、中线与角平分线；

2、会画三角形的高、中线与角平分线；3、了解三角形的三条高所在的直线,三条中线,三条角平分线分别交于一点.

〔重点难点〕三角形的高、中线与角平分线是重点；三角形的角平分线与角的平分线的区别，画钝角三角形的高是难点.

〔教学过程〕

一、导入新课

我们已经知道什么是三角形，也学过三角形的高。

三角形的主要线段除高外，还有中线和角平分线值得我们研究。

二、三角形的高

请你在图中画出△ABC的一条高并说说你画法。

从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高，表示为AD⊥BC于点D。

注意：

高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。

请你再画出这个三角形AB、AC边上的高，看看有什么发现？

三角形的三条高相交于一点。

如果△ABC是直角三角形、钝角三角形，上页的结论还成立吗？

现在我们来画钝角三角形三边上的高，如图。

显然，上页的结论成立。

请你画一个直角三角形，再画出它三边上的高。

上页的结论还成立。

三、三角形的中线

如图，我们把连结△ABC的顶点A和它的对边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线，表示为BD=DC或BD=DC＝1/2BC或2BD=2DC=BC.

请你在图中画出△ABC的另两条边上的中线，看看有什么发现？

三角的三条中线相交于一点。

如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上页的结论还成立吗？

请画图回答。

上页的结论还成立。

四、三角形的角平分线

如图，画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线,表示为∠BAD=∠CAD或∠BAD=∠CAD＝1/2∠BAC或2∠BAD=2∠CAD＝∠BAC。

思考：

三角形的角平分线与角的平分线是一样的吗？

三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，是不一样的。

请你在图中再画出另两个角的平分线，看看有什么发现？

三角形三个角的平分线相交于一点。

如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上页的结论还成立吗？

请画图回答。

上页的结论还成立。

想一想：

三角形的三条高、三条中线、三条角平分线的交点有什么不同？

三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部，而锐三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。

五、课堂练习

课本练习。

六、课堂小结

1、三角形的高、中线、角平分线的概念和画法。

2、三角形的三条高、三条中线、三条角平分线及交点的位置规律。

11．1.3　三角形的稳定性

1．通过观察、感悟三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性．（重点）

2．三角形的稳定性在生活、生产中的实际应用．（难点）

一、情境导入

一天数学小博士听到三角形和四边形在一起争论“有稳定性好还是没有稳定性好？

”先听它们是怎么说的．

三角形：

“具有稳定性的我最好，因为我牢固，不易变形，所以我最受欢迎，不像你四边形，你没有坚定的立场！

”

四边形：

“灵活性强，可伸可缩，我的这些优点比起你三角形那呆板、简单、一成不变的形式不知有多优越！

”

三角形：

“我广泛应用于人类的生产生活中，如三角尺、钢架桥、起重机、屋顶的钢架，我的用途大！

”

四边形：

“我的用途广，像活动衣架、缩放尺、活动铁门等，人类的生活因为我而丰富多彩！

”

假如你是数学小博士，你会如何来调解它们的争论？

二、合作探究

探究点：

三角形的稳定性

【类型一】三角形稳定性的应用

要使四边形木架（用4根木条钉成）不变形，至少需要加钉1根木条固定，要使五边形木架不变形，至少需要加2根木条固定，要使六边形木架不变形，至少需要加3根木条固定，…，那么要使一个n边形木架不变形，至少需要几根木条固定？

解析：

由于多边形（三边以上的）不具有稳定性，将其转化为三角形后木架的形状就不变了．根据具体多边形转化为三角形的经验及题中所加木条可找到一般规律．

解：

过n边形的一个顶点可以作（n－3）条对角线，把多边形分成（n－2）个三角形，所以，要使一个n边形木架不变形，至少需要（n－3）根木条固定．

方法总结：

将多边形转化为三角形时，所需要的木条根数，可从具体到一般去发现规律，然后验证求解．

【类型二】四边形的不稳定性

大家经常看到有些学校、小区的大门都使用了伸缩门，它常常做成四边形的形状，你知道这是为什么吗？

解析：

从四边形特性的角度考虑．

解：

伸缩门做成四边形的形状，是利用四边形易变形这一特性．

方法总结：

四边形具有不稳定性，容易变形，我们生活中的很多实例都利用了这一性质，注意在日常生活中积累这方面的经验．

三、板书设计

三角形的稳定性

1．三角形具有稳定性

2．四边形没有稳定性

3．三角形的稳定性的应用

4．四边形的不稳定性的应用

在教学三角形的稳定性时，利用多媒体引导学生探寻三角形稳定性的数学含义，进而用三角形的稳定性解释“为什么不易变形”，再回归生活，运用三角形的稳定性解释如何解决生活中的问题．学生清楚地认识到“不易变形”是三角形的稳定性的一个表现，一种应用，而不是将三角形的稳定性与“不易变形”划等号．这样的教学既使得学生对稳定性有了正确清楚的认识，也为以后进一步学习三角形的稳定性和“全等三角形”的判定方法奠定了认知的基础．

11.1.3三角形的稳定性

[教学目标]1、知道三角形具有稳定性，四边形没有稳定性；2、了解三角形的稳定性在生产、生活中的应用。

[重点难点]三角形稳定性及应用。

[教学过程]

一、情景导入

盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢？

二、三角形的稳定性

〔实验〕1、把三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？

不会改变。

2、把四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？

会改变。

3、在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？

不会改变。

从上页的实验中，你能得出什么结论？

三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性。

三、三角形稳定性和四边形不稳定的应用

三角形具有稳定性固然好，四边形不具有稳定性也未必不好，它们在生产和生活中都有广泛的应用。

如：

钢架桥、屋顶钢架和起重机都是利用三角形的稳定性，活动挂架则是利用四边形的不稳定性。

你还能举出一些例子吗？

四、课堂练习

1、下列图形中具有稳定性的是（）

A正方形B长方形C直角三角形D平行四边形

2、要使下列木架稳定各至少需要多少根木棍？

11．2　与三角形有关的角

11．2.1　三角形的内角

1．理解三角形内角和定理及其证明方法．（难点）

2．能用三角形的内角和定理解决一些简单问题．（重点）

一、情境导入

多媒体展示：

（三兄弟之争）在一个直角三角形村庄里，住着三个内角，平时它们非常团结，有一天，老三不高兴了，对老大说：

“凭什么你的度数最大，我也要和你一样大！

”老大说：

“这是不可能的，否则我们这个家就要被拆散，围不起来了！

”“为什么呢？

”老二、老三纳闷起来……

同学们，你们知道其中的道理吗？

二、合作探究

探究点一：

三角形的内角和

【类型一】求三角形内角的度数

已知，如图，D是△ABC中BC边延长线上一点，DF⊥AB交AB于F，交AC于E，若∠A＝46°，∠D＝50°.求∠ACB的度数．

解析：

在Rt△DFB中，根据三角形内角和定理，求得∠B的度数，再在△ABC中求∠ACB的度数即可．

解：

在△DFB中，∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°.∵∠D＝50°，∠DFB＋∠D＋∠B＝180°，∴∠B＝40°.在△ABC中，∵∠A＝46°，∠B＝40°，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝94°.

方法总结：

求三角形的内角，必然和三角形内角和定理有关，解决问题时要根据图形特点，在不同的三角形中，灵活运用三角形内角和定理求解．

【类型二】判断三角形的形状

一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3，这个三角形一定是（　　）

A．直角三角形B．锐角三角形

C．钝角三角形D．无法判定

解析：

设这个三角形的三个内角的度数分别是x，2x，3x，根据三角形的内角和为180°，得x＋2x＋3