中考数学总复习精练及详解方程与不等式一元二次方程.docx

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中考数学总复习精练及详解方程与不等式一元二次方程

【文库独家】

方程与不等式——一元二次方程

一．选择题（共8小题）

1．用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为（　　）

A．x（5+x）=6B．x（5﹣x）=6C．x（10﹣x）=6D．x（10﹣2x）=6

2．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？

设每盆多植x株，则可以列出的方程是（　　）

A．（3+x）（4﹣0.5x）=15B．（x+3）（4+0.5x）=15C．（x+4）（3﹣0.5x）=15D．（x+1）（4﹣0.5x）=15

3．用一条长为40cm的绳子围成一个面积为acm2的长方形，a的值不可能为（　　）

A．20B．40C．100D．120

4．要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（　　）

A．

x（x+1）=28B．

x（x﹣1）=28C．x（x+1）=28D．x（x﹣1）=28

5．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（　　）

A．1B．﹣1C．1或﹣1D．

6．一元二次方程x2﹣1=0的根为（　　）

A．x=1B．x=﹣1C．x1=1，x2=﹣1D．x1=0，x2=1

7．三角形的两边分别为3和5，第三边是方程x2﹣5x+6=0的解，则第三边的长为（　　）

A．2B．3C．2或3D．无法确定

8．方程x（x+1）=x+1的解是（　　）

A．1B．0C．﹣1或0D．1或﹣1

二．填空题（共8小题）

9．如图，某小区规划在一个长3

0m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计

成多少m？

设通道的宽为xm，由题意列得方程　_________　．

10．现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得　_________　．

11．某小区2013年绿化面积为2000平方米，计划2015年绿化面积要达到2880平方米．如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率

是　_________　．

12．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为　_________　．

13．一块矩形菜地的面积是

120m2，如果它的长减少2m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是　_________　m．

14．已知实数m，n满足m﹣n2=1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于　_________　．

15．已知关于x的一元二次方程ax2+x﹣b=0的一根为﹣1，则a﹣b的值是　_________　．

16．已知x=2是关于x的方程x2+4x﹣p=0的一个根，则p=　_________　，该方程的另一个根是　_________　．

三．解答题（共8小题）

17．解方程：

x（x﹣2）=2x+1．

18．解方程：

x2﹣6=﹣2（x+1）

19．如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD．求该矩形草坪BC边的长．

20．已知a，b是方程x2﹣5x+

=0的两根，

（1）求a+b和ab的值．

（2）求

﹣

的值．

21．某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？

22．据媒体报道，我国2010年公民出境旅游总人数约5000万人次，2012年公民出境旅游总人数约7200万人次．若2011年、2012年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：

（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；

（2）如果2013年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2013年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？

23．贵阳市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．

（1）求平均每次下调的百分率．

（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：

①打9.8折销售；

②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？

24．为建设美丽泉城，喜迎十艺节，某企业逐年增加对环境保护的经费投入，2012年投入了400万元，预计到2014年将投入576万元．

（1）求2012年至2014年该单位环保经费投入的年平均增长率；

（2）该单位预计2015年投入环保经费不低于680万元，若继续保持前两年的年平均增长率，该目标能否实现？

请通过计算说明理由．

方程与不等式——一元二次方程2

参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题）

1．用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为（　　）

A．x（5+x）=6B．x（5﹣x）=6C．x（10﹣x）=6D．x（10﹣2x）=6

考点：

由实际问题抽象出一元二次方程．

专题：

几何图形问题．

分析：

一边长为x米，则另外一边长为：

5﹣x，

根据它的面积为6平方米，即可列出方程式．

解答：

解：

一边长为x米，则另外一边长为：

5﹣x，

由题意得：

x（5﹣x）=6，

故选：

B．

点评：

本题考查了由实际问题抽相出一元二次方程，难度适中，解答本题的关键读懂题意列出方程式．

2．某种花卉每盆的盈利与每盆的

株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？

设每盆多植x株，则可以列出的方程是（　　）

A．

（3+x）（4﹣0.5x）=15B．（x+3）（4+0.5x）=15

C．（x+4）（3﹣0.5x）=15D．（x+1）（4﹣0.5x）=15

考点：

由实际问题抽象出一元二次方程．

专题：

销售问题．

分析：

根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（4﹣0.5x）元，由题意得（x+3）（4﹣0.5x）=15即可．

解答：

解：

设每盆应该多植x株，由题意得

（3+x）（4﹣0.5x）=15，

故选：

A．

点评：

此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利=总盈利得出方程是解题关键．

3．用一条长为40cm的绳子围成一个面积为acm2的长方形，a的值不可能为（　　）

A．20B．40C．100D．120

考点：

一元二次方程的应用．

专题：

判别式法．

分析：

设围成面积为acm2的长方形的长为xcm，由长方形的周长公式得出宽为（40÷2﹣x）cm，根据长方形的面积公式列出方程x（40÷2﹣x）=a，整理得x2﹣20x+a=0，由△=400﹣4a≥0，求出a≤100，即可求解．

解答：

解：

设围成面积为acm2的长方形的长为xcm，则宽为（40÷2﹣x）cm，依题意，得

x（40÷2﹣x）=a，整理，得

x2﹣20x+a=0，

∵△=400﹣4a≥0，

解得a≤10

0，

故选：

D．

点评：

本题考查了一元二次方程的应用及根的判别式，找到等量关系并列出方程是解题的关键．

4．要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（　　）

A．

x（x+1）=28B．

x（x﹣1）=28C．x（x+1）=28D

．x（x﹣1）=28

考点：

由实际问题抽象出一元二次方程．

分析：

关系式为：

球队总数×每支球队需赛的场数÷2=4×7，把相关数值代入即可．

解答：

解：

每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，

所以可列方程为：

x（x﹣1）=4×7．

故选：

B．

点评：

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．

5．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（　　）

A．1B．﹣1C．1或﹣1D．

考点：

一元二次方程的解．

专题：

计算题．

分析：

由一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，将x=0代入方程得到关于a的方程，求出方程的解得到a的值，将a的值代入方程进行检验，即可得到满足题意a的值．

解答：

解：

∵一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，

∴将x=0代入方程得：

a2﹣1=0，

解得：

a=1或a=﹣1，

将a=1代入方程得二次项系数为0，不合题意，舍去，

则a的值为﹣1．

故选：

B．

点评：

此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的解法，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．

6．一元二次方程x2﹣1=0的根为（　　）

A．x=1B．x=﹣1C．x1=1，x2=﹣1D．x1=0，x2=1

考点：

解一元二次方程-直接开平方法．

专题：

压轴题．

分析：

首先把﹣1移到方程的右边，再两边直接开平方即可．

解答：

解：

x2﹣1=0，

移项得：

x2=1，

两边直接开平方得：

x=±1，

故选：

C．

点评：

此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．

7．三角形的两边分别为3和5，第三边是方程x2﹣5x+6=0的解，则第三边的长为（　　）

A．2B．3C．2或3D．无法确定

考点：

解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．

专题：

计算题．

分析：

求出方程的解得到x的值，即可确定出第三边长．

解答：

解：

方程x2﹣5x+6=0，

变

形得：

（x﹣2）（x﹣3）=0，

解得：

x=2或x=

3，

当x=2时，三角形三边分别为2，3，5，不成立，舍去，

则第三边为3

．

故选B

点评：

此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

8．方程x（x+1）=

x+1的解是（　　）

A．1B．0C．﹣1或0D．1或﹣1

考点：

解一元二次方程-因式分解法．

专题：

计算题．

分析：

方程变形后，利用因式分解法求出解即可．

解答：

解：

方程移项得：

x（x+1）﹣（x+1）=0，

分解因式得：

（x﹣1）（x+1）=0，

解得：

x=1或x=﹣1，

故选D．

点评：

此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

二．填空题（共8小题）

9．如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？

设通道的宽为xm，由题意列得方程　（30﹣2x）（20﹣x）=6×78　．

考点：

由实际问题抽象出一元二次方程．

专题：

几何图形问题．

分析：

设道路的宽为xm，将6块草地平移为一个长方形，长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m．根据长方形面积公式即可列方程（30﹣2x）（20﹣x）=6×78．

解答：

解：

设道路的宽为xm，由题意得：

（30﹣2x）（20﹣x）=6×78，

故答案为：

（30﹣2x）（20﹣x）=6×78．

点评：

此题主要考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的面积公式，求得6块草地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键．

10．现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得　x2﹣70x+825=0　．

考点：

由实际问题抽象出一元二次方程．

专题：

方程思想．

分析：

本题设小正方形边长为xcm，则长方体盒子底面的长宽均可用含x的代数式表示，从而这个长方体盒子的底面的长是（80﹣2x）cm，宽是（60﹣2x）cm，根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面面积，方程可列出．

解答：

解：

由题意得：

（80﹣2x）（60﹣2x）=1500

整理

得：

x2﹣70x+825=0，

故答案为：

x2﹣70x+825=0．

点评：

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．另外，要学会通过图形求出面积．

11．某小区2013年绿化面积为2000平方米，计划2015年绿化面积要达到2880平方米．如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是　20%　．

考点：

一元二次方程的应用．

专题：

增长率问题．

分析：

本题需先设出这个增长

率是x，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x的值，即可得出答案．

解答：

解：

设这个增长率是x，根据题意得：

2000×（1+x）2=2880

解

得：

x1=20%，x2=﹣220%（舍去）

故答案为：

20%．

点评：

本题主要考查了一元二次方程的应用，在解题时要根据已知条件找出等量关系

，列出方程是本题的关键．

12．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为　20%　．

考点：

一元二次方程的应用．

专题：

增长率问题．

分析：

解答此题利用的数量关系是：

商品原来价格×（1﹣每次降价的百分率）2=现在价格，设出未知数，列方程解答即可．

解答：

解：

设这种商品平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得，

125（1﹣x）2=80，

解得x1=0.2=20%，x2=1.

8（不合题意，舍去）；

故答案为：

20%

点评：

本题考查了一元二次方程的应用，此题列方程得依据是：

商品原来价格×（1﹣每次降价的百分率）2=现在价格．

13．一块矩形菜地的面积是120m2，如果它的长减少2m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是　12　m．

考点：

一元二次方程的应用．

专题：

几何图形问题．

分析：

根据“如果它的长减少2m，那么菜地就变成正方形”可以得到长方形的长比宽多2米，利用矩形的面积公式列出方程即可．

解答：

解：

∵长减少2m，菜地就变成正方形，

∴设原菜地的长为x米，则宽为（x﹣2）米，

根据题意得：

x（x﹣2）=120，

解得：

x=12或x=﹣10（舍去），

故答案为：

12．

点评：

本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是弄清题意，并找到等量关系．

14．已知实数m，n满足m﹣n2=1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于　4　．

考点：

配方法的应用；非负数的性质：

偶次方．

专题：

压轴题；整体思想．

分析：

已知等式变形后代入原式，利用完全平方公式变形，根据完全平方式恒大于等于0，即可确定出最小值．

解答：

解：

∵m﹣n2=1，即n2=m﹣1≥0，m≥1，

∴原式=m2+2m﹣2+4m﹣1=m2+6m+9﹣12=（m+3）2﹣12，

则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于（1+3）2﹣12=4．

故答案为：

4．

点评：

此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题

的关键．

15．已知关于x的一元二次方程ax2+x﹣b=0的一根为﹣1，则a﹣b的值是　1　．

考点：

一元二次方程的解．

分析：

将x=﹣1代入已知一元二次方程，通过移项即可求得（a﹣b）的值．

解答：

解：

∵关于x的一元二次方程ax2+x﹣b=0的一根为﹣1，

∴x=﹣1满足该方程，

∴a﹣1﹣b=0，

解得，1．

故答案是：

1．

点评：

本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．

16．已知x=2是关于x的方程x2+4x﹣p=0的一个根，则p=　12　，该方程的另一个根是　x=﹣6．　．

考点：

一元二次方程的解；根与系数的关系．

分析：

根据一元二次方程的步骤把x=2代入原方程求得p值，然后利用因式分解法解方程即可求得方程的另一根．

解答：

解：

∵x=2是关于x的方程x2+4x﹣p=0的一个根，

∴22+4×2﹣p=0，

解得p=12；

∵x2+4x﹣p=0，

∴x2+4x﹣12=0，

（x+6）（x﹣2）=0，

∴x+6=0或x﹣2=0，

解得，x=﹣6或x=2，

∴方程的另一个根是x=﹣6；

故答案是：

12，x=﹣6．

点评：

本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是求出p的值，

再利用因式分解法求另一根．

三．解答题（共8小题）

17．解方程：

x（x﹣2）=2x+1．

考点：

解一元二次方程-配方法．

分析：

先去括号，再化为一般形式，移项，配方，用直接开平方法解即可．

解答：

解：

x（x﹣2）=2x+1，

x2﹣2x=2x+1，

x2﹣4x+4=5，

（x﹣2）2=5．

∴x﹣2=

，

即x1=2+

，x2=2﹣

．

点评：

本题考查了用配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：

（1）把常

数项移到等号的右边；

（2）把二次项的系数化为1；

（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

18．解方程：

x2﹣6=﹣2（x+1）

考点：

解一元二次方程-配方法．

专题：

计算题．

分析：

方程变形后，配方为完全平方式，开方即可求出解．

解

答：

解：

方程整理得：

x2+2x=4，

配方得：

x2+2x+1=5，即（x+1）2=5，

开方得：

x+1=±

，

解得：

x1=﹣1+

，x2=﹣1﹣

．

点评：

此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

19．如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD．求该矩形草坪BC边的长．

考点：

一元二次方程的应用．

专题：

几何图形问题．

分析：

可设矩形草坪BC边的长为x米，则AB的长是

，根据长方形的面积公式列出一元二次方程求解．

解答：

解：

设BC边的长为x米，则AB=CD=

米，

根据题意得：

×x=120，

解得：

x1=12，x2=20，

∵20＞16，

∴x2=20不合题意，舍去，

答：

矩形草坪BC边的长为12米．

点评：

本题考查了一元二次方程的应用，注意得出结果后要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．注意本题表示出矩形草坪的长和宽是解题的关键．

20．已知a，

b是方程x2﹣5x+

=0的两根，

（1）求a+b和ab的值．

（2）求

﹣

的值．

考点：

根与系数的关系；分式的化简求值．

分析：

（1）直接根据根与系数的关系得出答案即可；

（2）把原式整理化简，再代入

（1）中的数值得出答案即可．

解答：

解：

（1）∵a，b是方程x2﹣5x+

=0的两根，

∴a+b=5，ab=

；

（2）原式=

=

=

=

=

．

点评：

本题考查的是一元二

次方程根与系数的关系和分式的化简求值，注意先化简，再求值．

21．某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？

考点：

一元二次方程的应用．

专题：

销售问题．

分析：

设该产品的成本价平均每月降低率为x，那么两个月后的销售价格为625（1﹣20%）（1+6%），两个月后的成本价为500（1﹣x）2，然后根据已知条件即可列出方程，解方程即可求出结果．

解答：

解：

设该产品的成本价平均每月降低率为x，

依题意得625（1﹣20%）（1+6%）﹣500（1﹣x）2=625﹣500，

整理得500（1﹣x）2=405，（1﹣x）2=0.81，

∴1﹣x=±0.9，

∴x=1±0.9，

x1=1.9（舍去），x2=0.1=10%．

答：

该产品的成本价平均每月应降低10%．

点评：

题目中该产品的成本价在不断变化，销售价也在不断变化，要求变化后的销售利润不变，即利润仍要达到125元，关键在于计算和表达变动后的销售价和成本价．

22．据媒体报道，我国2010年公民出境旅游总人数约5000万人次，2012年公民出境旅游总人数约7200万人次．若2011年、2012年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：

（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；

（2）如果2013年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2013年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？

考点：

一元二次方程的应用．

专题：

增长率问题．

分析：

（1）设年平均增长率为x．根据题意2010年公民出境旅游总人数为5000（1+x）万人次，2011年公民出境旅游总人数5000（1+x）2万人次．根据题意得方程求解；

（2）2012年我国公民出境旅游总人数约7200（1+x）万人次．

解答：

解：

（1）设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x．

根据题意得：

5000（1+x）2=7200，

解得x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．

答：

这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%．

（2）如果2013年仍保持相同的年平均增长率，

则2012年我国公民出境旅游总人数为7200（1+x）=7200×（1+20%）=8640（万人次）．

答：

预测2013年我国公民出境旅游总人数约8640万人次．

点评：

此题考查一元二次方程的应用，根据题意寻找相等关系列方程是关键，难度不大．

23．贵阳市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘

销售．

（1）求平均每次下调的百分率．

（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：

①打9.8折销售；

②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？

考点：

一元二次方程的应用．

专题：

增长率问题．

分析：

（1）设求平均每次下调的百分率为x，由降低率问题的数量关系建立方程求出其解即可；

（2）分别求出两种优惠方法的费用，比较大小就可以得出

结论．

解答：

（1）解：

设平均每次下调的百分率为x，由题意，得

6000（1﹣x）2=4860，

解得：

x1=0.1，x2=1.9（舍去）

答：

平均每次下调的百分率为10%；

（2）由题意