届一轮复习理通用版专题突破练1函数的综合问题作业.docx

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届一轮复习理通用版专题突破练1函数的综合问题作业

专题突破练

（1）　函数的综合问题

一、选择题

1．函数f（x）＝的零点个数为（　　）

A．3B．2C．7D．0

答案　B

解析　解法一：

由f（x）＝0得

或

解得x＝－2或x＝e．

因此函数f（x）共有2个零点．

解法二：

函数f（x）的图象如图所示，

由图象知函数f（x）共有2个零点．故选B．

2．已知A（2，5），B（4，1），若点P（x，y）在线段AB上，则的最大值为（　　）

A．B．1C．D．

答案　C

解析　由题意，得线段AB：

y－1＝（x－4）⇒y＝－2x＋9（2≤x≤4），所以＝＝－1＋≤，当x＝2时等号成立，即的最大值为．故选C．

3．若变量x，y满足|x|－ln＝0，则y关于x的函数图象大致是（　　）

答案　B

解析　由|x|－ln＝0得y＝＝画出图象可知选B．

4．（2018·贵阳模拟）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝log2（2＋x）－1，则f（－6）＝（　　）

A．2B．4C．－2D．－4

答案　C

解析　因为f（x）是R上的奇函数，所以f（－x）＝－f（x）．而在x≥0时，f（x）＝log2（2＋x）－1，所以f（－6）＝－f（6）＝－[log2（2＋6）－1]＝－（log28－1）＝－2．故选C．

5．（2018·唐山模拟）已知偶函数f（x）在[0，＋∞）上单调递减，若f（－2）＝0，则满足xf（x）＞0的x的取值范围是（　　）

A．（－∞，－2）∪（0，2）B．（－2，0）∪（2，＋∞）

C．（－∞，－2）∪（2，＋∞）D．（－2，0）∪（0，2）

答案　A

解析　因为f（x）是偶函数且在[0，＋∞）上单调递减，所以f（x）在（－∞，0]上单调递增，又f（－2）＝0，所以f

（2）＝0，即在区间（－∞，－2）和（2，＋∞）上，f（x）＜0；在区间（－2，2）上，f（x）＞0，所以xf（x）＞0等价于和即得x<－2或0

6．（2018·广东潮州模拟）设函数f（x）＝，则使得f（x2－2x）>f（3x－6）成立的x的取值范围是（　　）

A．（－∞，2）∪（3，＋∞）B．（2，3）

C．（－∞，2）D．（3，＋∞）

答案　A

解析　易得函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝＝1－为单调增函数，故函数f（x）在R上为增函数，依题意得x2－2x>3x－6，解得x<2或x>3．故选A．

7．（2018·佛山质检一）已知函数f（x）＝

则下列函数为奇函数的是（　　）

A．f（sinx）B．f（cosx）

C．xf（sinx）D．x2f（cosx）

答案　C

解析　易知f（x）为偶函数，即满足∀x∈R，f（－x）＝f（x）恒成立．研究g（x）＝xf（sinx），g（－x）＝－xf[sin（－x）]＝－xf（－sinx）＝－xf（sinx）＝－g（x），故g（x）＝xf（sinx）为奇函数．故选C．

8．（2019·青岛质检）已知a＞b＞1，则下列结论正确的是（　　）

A．aa＜bbB．alnb＞blna

C．alna＞blnbD．ab＜ba

答案　C

解析　取a＝e，b＝，则B项明显错误；对于D项，若ab＜ba成立，则lnab＜lnba，则blna＜alnb，由B项错误得D项错误；因为a＞b＞1，所以lna＞lnb＞0，由同向不等式相乘得alna＞blnb，进一步得lnaa＞lnbb，所以aa＞bb，所以A项错误，C项正确．故选C．

9．若x，y∈R，且满足则x＋y＝（　　）

A．－4B．－3C．3D．4

答案　B

解析　函数f（t）＝t3＋2018t（t∈R）是奇函数，且在R上是增函数，故若f（u）＋f（v）＝0，则必有u＋v＝0，本题中，u＝x＋4，v＝y－1，∴x＋4＋y－1＝0⇒x＋y＝－3．故选B．

10．（2018·长沙统考）函数f（x）＝2x＋的图象大致为（　　）

答案　A

解析　f（x）＝2x＋＝2x－＋1，其定义域为（－∞，－1）∪（－1，＋∞）．令u（x）＝2x，v（x）＝－．由于u（x）和v（x）都在（－∞，－1）和（－1，＋∞）上单调递增，所以f（x）在（－∞，－1）上和（－1，＋∞）上单调递增，排除C，D；又当x趋向负无穷时，2x趋近于0，－趋近于0，所以f（x）接近于1，所以选A．

11．（2018·大庆质检一）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈[0，＋∞）时，f′（x）<0．若a＝fln，b＝fln－，c＝f（e0．1），则a，b，c的大小关系为（　　）

A．b

答案　C

解析　依题意，有f（x）在[0，＋∞）上单调递减，而且f（x）是定义在R上的奇函数，则由其图象知f（x）在（－∞，0]上单调递减，从而奇函数f（x）在R上单调递减．则由ln－＝ln1－ln>ln＝－1，e0．1>0，知ln－fln>f（e0．1），即c

12．（2018·长沙统考）设平行于x轴的直线l分别与函数y＝2x和y＝2x＋1的图象相交于点A，B，若函数y＝2x的图象上存在点C，使得△ABC为等边三角形，则这样的直线l（　　）

A．不存在B．有且只有一条

C．至少有两条D．有无数条

答案　B

解析　如图，设直线l的方程为y＝a（a＞0），则点A（log2a，a），B（log2a－1，a）．

因为直线AB平行于x轴，所以|AB|＝1．取AB中点D，连接CD，因为△ABC是等边三角形，所以CD⊥AB，且|AD|＝，|CD|＝，所以点Clog2a－，a－．因为点C在y＝2x的图象上，所以a－＝2log2a－＝，解得a＝，所以直线l只有一条．故选B．

二、填空题

13．若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间[1，4]内有解，则实数a的取值范围是________．

答案　（－∞，－2）

解析　不等式x2－4x－2－a>0在区间[1，4]内有解等价于a<（x2－4x－2）max，令g（x）＝x2－4x－2，x∈[1，4]，∴g（x）≤g（4）＝－2，∴a<－2．

14．若存在b∈[1，2]，使得2b（b＋a）≥4，则实数a的取值范围是________．

答案　[－1，＋∞）

解析　由题可得2b（a＋b）≥4⇒a＋b≥4b⇒a≥4b－b，即存在b∈[1，2]使得a≥4b－b，因为y＝4x－x在R是单调递减的，所以4b－b在区间[1，2]上的范围为[－1，1]，则a≥－1，故填[－1，＋∞）．

15．已知函数g（x）的图象与函数f（x）＝log3x（x>0）的图象关于直线y＝x对称，若g（a）·g（b）＝3（其中a>0且b>0），则＋的最小值为________．

答案　9

解析　依题意可知g（x）＝3x，∴g（a）·g（b）＝3a·3b＝3a＋b＝3即a＋b＝1，∴＋＝·（a＋b）＝5＋＋≥9当且仅当a＝，b＝取“＝”．

16．如图，在第一象限内，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数y＝logx，y＝x，y＝x的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点A的纵坐标是2，则点D的坐标是________．

答案　，

解析　由2＝logx可得点A，2，由2＝x可得点B（4，2），因为4＝，所以点C的坐标为4，，所以点D的坐标为，．

三、解答题

17．（2018·湖北荆州摸底）已知定义在（0，＋∞）上的函数f（x），满足f（mn）＝f（m）＋f（n）（m，n>0），且当x>1时，有f（x）>0．

（1）求证：

f＝f（m）－f（n）；

（2）求证：

f（x）在（0，＋∞）上是增函数；

（3）比较f与的大小．

解　

（1）证明：

∵f（m）＝f＝f＋f（n），

∴f＝f（m）－f（n）．

（2）证明：

任取x1，x2∈（0，＋∞），且x1

则f（x2）－f（x1）＝f．

∵01，∴f>0，

∴f（x2）>f（x1），

∴f（x）在（0，＋∞）上是增函数．

（3）f－

＝f＋f－

＝＋

＝f＋f

＝f

∵≥1，∴f≥0，

故f≥．

18．（2018·浙江宁波统考）已知函数f（x）＝log2（x＋1），g（x）＝x|x－a|．

（1）若g（x）为奇函数，求a的值并判断g（x）的单调性（单调性不需证明）；

（2）对任意x1∈[1，＋∞），总存在唯一的x2∈[2，＋∞），使得f（x1）＝g（x2）成立，求正实数a的取值范围．

解　

（1）∵g（x）为奇函数，

∴g（x）＋g（－x）＝x（|x－a|－|x＋a|）＝0恒成立．

∴a＝0．此时g（x）＝x|x|，在R上单调递增．

（2）x1∈[1，＋∞），f（x）＝log2（x＋1），

∴f（x1）∈[1，＋∞），g（x）＝

①当a≤2时，g（x2）在[2，＋∞）上单调递增，

∴g

（2）＝4－2a≤1，a≥，∴≤a≤2．

②当2

∴g

（2）＝－4＋2a<1，a<，∴2

③当a≥4时，g（x2）在2，上单调递增，在，a上单调递减，在[a，＋∞）上单调递增．

∴g＝－2＋<1，－2

综上可知≤a＜．

19．（2018·福建四校联考）某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P与日产量x（万件）之间满足关系：

P＝（其中c为小于6的正常数）．

（注：

次品率＝次品数/生产量，如P＝0．1表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品．）

已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量．

（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T（万元）表示为日产量x（万件）的函数；

（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？

解　

（1）当x>c时，P＝，

∴T＝x·2－x·1＝0；

当1≤x≤c时，P＝，

∴T＝·x·2－·x·1＝．

综上，日盈利额T（万元）与日产量x（万件）的函数关系为T＝

（2）由

（1），当x>c时，每天的盈利额为0，∴1≤x≤c，

①当3≤c<6时，T＝＝15－2（6－x）＋≤15－12＝3（当且仅当x＝3时取等号），Tmax＝3，此时x＝3；

②当1≤c<3时，由T′＝＝知函数T＝在[1，3]上递增，

∴当x＝c时，∴Tmax＝．

综上，若3≤c<6，则当日产量为3万件时，可获得最大利润；

若1≤c<3，则当日产量为c万件时，可获得最大利润．

20．（2018·天津模拟）统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数为y＝x3－x＋8（0

（1）当x＝64千米/小时时，行驶100千米耗油量多少升？

（2）若油箱有22．5升油，则该型号汽车最多行驶多少千米？

解　

（1）当x＝64千米/小时时，要行驶100千米需要＝小时，

要耗油×643－×64＋8×＝11．95（升）．

（2）设22．5升油能使该型号汽车行驶a千米，由题意得，

x3－x＋8×＝22．5，

所以a＝，

设h（x）＝x2＋－，

则当h（x）最小时，a取最大值，

h′（x）＝x－＝，

令h′（x）＝0⇒x＝80，

当x∈（0，80）时，h′（x）<0，当x∈（80，120）时，h′（x）>0，

故当x∈（0，80）时，函数h（x）为减函数，当x∈（80，120）时，函数h（x）为增函数，

所以当x＝80时，h（x）取得最小值，此时a取最大值为

＝200．

所以若油箱有22．5升油，则该型号汽车最多行驶200千米．