高中数学 衔接教材导学案 新人教A版.docx
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高中数学衔接教材导学案新人教A版
2019-2020年高中数学衔接教材导学案新人教A版
如何学好高中数学
一高中数学与初中数学特点的变化
1数学语言在抽象程度上突变。
不少学生反映，集合、映射等概念难以理解，觉得离生活很远，似乎很“玄”。
确实，初、高中的数学语言有着显著的区别。
初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。
而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、以及函数语言等。
2思维方法向理性层次跃迁。
高中数学思维方法与初中阶段大不相同。
初中阶段，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步；因式分解先看什么，再看什么。
即使是思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等,分别确定了各自的思维套路。
因此，初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。
高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。
当然，能力的发展是渐进的，不是一朝一夕的。
这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。
高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡，最后还需初步形成辩证型思维。
3知识内容的整体数量剧增。
高中数学在知识内容的“量”上急剧增加了。
有数学1、2、3、4、5，还有选修课，加之时间紧、难度大，这样，不可避免地造成学生不适应高中数学学习，而影响成绩的提高。
这就要求：
第一，要做好课后的复习工作，记牢大量的知识。
第二，要理解掌握好新旧知识的内在联系，使新知识顺利地同化于原有知识结构之中。
第三，因知识教学多以零星积累的方式进行的，当知识信息量过大时，其记忆效果不会很好，因此要学会对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”。
如表格化，使知识结构一目了然；类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题同构于同一知识方法。
第四，要多做总结、归类，建立主体的知识结构网络。
二科学地进行学习
高中学生仅仅想学是不够的，还必须“会学”，要讲究科学的学习方法，提高学习效率，才能变被动学习为主动学习，才能提高学习成绩。
1培养良好的学习习惯。
反复使用的方法将变成人们的习惯。
什么是良好的学习习惯？
良好的学习习惯包括制定计划、课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。
（1）制定计划使学习目的明确，时间安排合理，不慌不忙，稳扎稳打，它是推动主动学习和克服困难的内在动力。
但计划一定要切实可行，既有长远打算，又有短期安排，执行过程中严格要求自己，磨炼学习意志。
（2）课前自学是上好新课、取得较好学习效果的基础。
课前自学不仅能培养自学能力，而且能提高学习新课的兴趣，掌握学习的主动权。
自学不能走过场，要讲究质量，力争在课前把教材弄懂，上课着重听老师讲思路，把握重点，突破难点，尽可能把问题解决在课堂上。
（3）上课是理解和掌握基础知识、基本技能和基本方法的关键环节。
“学然后知不足”，课前自学过的同学上课更能专心听课，他们知道什么地方该详，什么地方可以一带而过，该记的地方才记下来，而不是全抄全录，顾此失彼。
（4）及时复习是高效率学习的重要一环。
通过反复阅读教材，多方面查阅有关资料，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，将所学的新知识与有关旧知识联系起来，进行分析比效，一边复习一边将复习成果整理在笔记本上，使对所学的新知识由“懂”到“会”。
（5）独立作业是通过自己的独立思考，灵活地分析问题、解决问题，进一步加深对所学新知识的理解和对新技能的掌握过程。
这一过程也是对意志毅力的考验，通过运用使对所学知识由“会”到“熟”。
（6）解决疑难是指对独立完成作业过程中暴露出来对知识理解的错误，或由于思维受阻遗漏解答，通过点拨使思路畅通，补遗解答的过程。
解决疑难一定要有锲而不舍的精神。
做错的作业再做一遍。
对错误的地方要反复思考。
实在解决不了的要请教老师和同学，并要经常把易错的知识拿来复习强化，作适当的重复性练习，把求老师问同学获得的东西消化变成自己的知识，使所学到的知识由“熟”到“活”。
（7）系统小结是通过积极思考，达到全面系统深刻地掌握知识和发展认识能力的重要环节。
小结要在系统复习的基础上以教材为依据，参照笔记与资料，通过分析、综合、类比、概括，揭示知识间的内在联系，以达到对所学知识融会贯通的目的。
经常进行多层次小结，能对所学知识由“活”到“悟”。
2循序渐进，防止急躁。
由于同学们年龄较小，阅历有限，为数不少的同学容易急躁。
有的同学贪多求快，囫囵吞枣；有的同学想靠几天“冲刺”一蹴而就；有的取得一点成绩便洋洋自得，遇到挫折又一蹶不振。
同学们要知道，学习是一个长期地巩固旧知、发现新知的积累过程，决非一朝一夕可以完成的。
为什么高中要学三年而不是三天！
许多优秀的同学能取得好成绩，其中一个重要原因是他们的基本功扎实，他们的阅读、书写、运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。
3注意研究学科特点，寻找最佳学习方法。
数学学科担负着培养运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力以及运用所学知识分析问题、解决问题的能力的重任。
它的特点是具有高度的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，对能力要求较高。
学习数学一定要讲究“活”，只看书不做题不行，只埋头做题不总结积累也不行。
对课本知识既要能钻进去，又要能跳出来，结合自身特点，寻找最佳学习方法。
华罗庚先生倡导的“由薄到厚”和“由厚到薄”的学习过程就是这个道理。
方法因人而异，但学习的四个环节（预习、上课、作业、复习）和一个步骤（归纳总结）是少不了的。
一数与式的运算
知识要点：
1.绝对值的代数意义，绝对值的几何意义，两个数的差的绝对值的几何意义。
2.乘法公式：
平方差公式：
；平方差公式：
．
立方和公式
；立方差公式：
；
三数和平方公式
；
两数和立方公式
；
两数差立方公式
．
3.二次根式：
二次根式的意义。
分母（子）有理化：
都乘以有理化因式
4.分式的意义,繁分式。
自学评价：
1．如果，且，则b＝________；若，则c＝________.
2．化简：
|x－5|－|2x－13|（x<5）
3.计算：
．
4．已知，，=
5．若
，则的取值范围是_____；
6．比较大小：
2－
－
（填“＞”，或“＜”）．
精选题型：
1.解下列不等式：
（1）
（2）＞4．
2.计算：
（1）
（2）
3.已知，求的值．
4化简：
（1）；
（2）．
5.设，求的值．
6.化简：
（1）
（2）
记住它，多想它：
．
拓展练习:
1．解不等式
2．设，求代数式的值．
3．当
，求的值．
4．设，求的值．
5．计算
6．化简或计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
7．
（1）已知，
求
的值．
（2）若，
求
8.若，则（）
（A）（B）
（C） （D）
9.计算等于（ ）
（A） （B）
（C） （D）
10．解方程
．
11．计算：
．
12．试证：
对任意的正整数n，有
＜
．
二因式分解
知识要点：
⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。
⑵方法：
①提公因式法②运用公式法③分组分解法④十字相乘法⑤一般二次三项式型的因式分解：
⑥其他常用的因式分解的方法：
配方法，拆、添项法
自学评价：
1．平方差公式完全平方和公式完全平方差公式
2．分解因式：
（1）x2－3x＋2=
（2）x2＋4x－12
（3）（4）
3．分解因式：
（2）
4．分解因式：
5．分解因式：
6．分解因式：
精选题型：
1.分解因式
（1）；
（2）
．
2三边，，满足
，试判定的形状．
3.分解因式
4.分解因式：
x2＋x－（a2－a）．5.分解因式
6.分解因式
7.分解因式8.分解因式
9.分解因式
记住它，多想它：
．
拓展练习:
1．分解因式
2.分解因式
3．分解因式
4．分解因式
5．分解因式
6．已知，求代数式的值．
7．现给出三个多项式，，，，请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解.
8.已知，求证：
．
9.分解因式
10.分解因式
11.分解因式
12.分解因式
三一元二次方程根与系数的关系
知识要点：
1．一元二次方程的根的判断式2．一元二次方程的根与系数的关系
自学评价：
1．一元二次方程，用配方法将其变形为：
，
（1）当Δ0时，方程有两个不相等的实数根：
（2）当Δ0时，方程有两个相等的实数根：
（3）当Δ0时，方程没有实数根．
2．定理：
若方程的两个根为，那么：
此定理称为”韦达定理”，其成立的前提是．
3．特别地：
对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，即p＝－（x1＋x2），q＝x1·x2，所以，方程x2＋px＋q＝0可化为x2－（x1＋x2）x＋x1·x2＝0，因此有：
以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2－（x1＋x2）x＋x1·x2＝0．
精选题型：
1.已知关于的一元二次方程，根据下列条件，分别求出的范围：
（1）方程有两个不相等的实数根；
（2）方程有两个相等的实数根
（3）方程有实数根；（4）方程无实数根．
2.已知实数、满足
，试求、的值．
3若是方程的两个根，试求下列各式的值：
（1）；
（2）；（3）；（4）．
4.若x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根．
（1）是否存在实数k，使（2x1－x2）（x1－2x2）＝－成立？
若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；
（2）求使－2的值为整数的实数k的整数值；（3）若k＝－2，，试求的值．
5．已知关于x的方程．
（1）求证：
无论m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；
（2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足|x2|＝|x1|＋2，求m的值及相应的x1，x2．
6．若关于x的方程x2＋x＋a＝0的一个大于1、另一根小于1，求实数a的取值范围．
记住它，多想它：
如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝，x1·x2＝．这一关系也被称为韦达定理．以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2－（x1＋x2）x＋x1·x2＝0．
拓展练习:
1．若是方程的两个根，则的值为（）
A．B．C．D．
2．若是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是（）
A．B．C．D．大小关系不能确定
3．若关于x的方程mx2＋（2m＋1）x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）
A．m＜B。
m＞－
C．m＜，且m≠0D。
m＞－，且m≠0
4．设是方程的两实根，是关于的方程的两实根，则=_____，=_____．
5．已知实数满足，则=_____，=_____，=_____．
6．已知关于的方程的两个实数根的平方和等于11，求证：
关于的方程
有实数根．
7．若是关于的方程的两个实数根，且都大于1．
（1）求实数的取值范围；
（2）若，求的值．
8．试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2－（2m＋1）x＋1＝0有两个不相等的实数根？
有两个相等的实数根？
没有实数根？
9．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x2－7x－1＝0各根的相反数．
10．已知，当k取何值时，方程kx2＋ax＋b＝0有两个不相等的实数根？
11．已知方程x2－3x－1＝0的两根为x1和x2，求（x1－3）（x2－3）的值．
四平面直角坐标系、一次函数、反比例函数
知识要点：
平面直角坐标系函数图象
自学评价：
1．平面直角坐标系内的对称点：
点（m,n）①关于轴对称点的坐标为②关于y轴对称点的坐标为③关于原点对称点的坐标为④关于点对称点的坐标为⑤关于直线对称点的坐标为⑥关于直线对称点的坐标为⑦关于直线对称点的坐标为⑧关于直线对称点的坐标为
2．函数图象
（1）一次函数（k、b是常数，k≠0）特别的，当=0时，称是的正比例函数。
（2）正比例函数的图象与性质：
函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是的一条直线，当时，图象过原点及第一、第三象限，y随x的增大而；当时，图象过原点及第二、第四象限，y随x的增大而．
（3）一次函数的图象与性质：
函数（k、b是常数，k≠0）的图象是过点（0，b）且与直线y=kx平行的一条直线.设（k≠0），则当时，y随x的增大而；当时，y随x的增大而．
（4）反比例函数的图象与性质：
函数（k≠0）是双曲线，当时，图象在第一、第三象限，在每个象限中，y随x的增大而；当时，图象在第二、第四象限.，在每个象限中，y随x的增大而．双曲线是轴对称图形，对称轴是直线与；又是中心对称图形，对称中心是．
精选题型：
1.已知、，根据下列条件，求出、点坐标．
（1）、关于x轴对称；
（2）、关于y轴对称；（3）、关于原点对称．
2.已知一次函数y＝kx＋2的图象过第一、二、三象限且与x、y轴分别交于、两点，O为原点，若ΔAOB的面积为2，求此一次函数的表达式。
3.如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象回答：
当取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．
记住它，多想它：
平面直角坐标系内的对称点
拓展练习:
1．函数与在同一坐标系内的图象可以是（）
2．如图，平行四边形ABCD中，A在坐标原点，D在第一象限角平分线上，又知，，求点的坐标．
3．如图，已知直线与双曲线交于两点，且点的横坐标为．
（1）求的值；
（2）过原点的另一条直线交双曲线于两点（点在第一象限），若由点BQA为顶点组成的四边形面积为，求点的坐标．
4.如图，一次函数y=－x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等边△ABC．
（1）求△ABC的面积．
（2）如果在第二象限内有一点P（a，），请用含a的式子表示四边形ABPO的面积，并求出当△ABP的面积与△ABC的面积相等时a的值．
5.已知反比例函数y=和一次函数y=2x－1，其中一次函数的图象经过（a,b），（a+k，b+k+2）两点。
（1）求反比例函数的解析式？
（2）已知A在第一象限，是两个函数的交点，求A点坐标？
（3）在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？
如存在请写出P点的坐标，如不存在请说明理由．
五二次函数
知识要点：
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质分段函数
自学评价：
1.当a＞0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线；当x＜时，y随着x的增大而；当x＞时，y随着x的增大而；当x＝时，函数取最小值y＝．
2.当a＜0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线；当x＜时，y随着x的增大而；当x＞时，y随着x的增大而；当x＝时，函数取最大值y＝．
3.二次函数的三种表示方式：
一般式顶点式交点式
注：
确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：
①给出三点坐标可利用一般式来求；②给出两点，且其中一点为顶点时可利用顶点式来求．③给出三点，其中两点为与x轴的两个交点.时可利用交点式来求．
4.一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数．
精选题型：
1.求二次函数y＝－3x2－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？
并画出该函数的图象．
2.已知函数，其中，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值．
3.根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．
（1）某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1）；
（2）已知二次函数的图象过点（－3，0），（1，0），且顶点到x轴的距离等于2；
（3）已知二次函数的图象过点（－1，－22），（0，－8），（2，8）．
4.在国内投递外埠平信，每封信不超过20g付邮资80分，超过20g不超过40g付邮资160分，超过40g不超过60g付邮资240分，依此类推，每封xg（0＜x≤100）的信应付多少邮资（单位：
分）？
写出函数表达式，作出函数图象．
记住它，多想它：
1．一般式：
y＝ax2＋bx＋c（a≠0）；2．顶点式：
y＝a（x＋h）2＋k（a≠0），其中顶点坐标是（－h，k）．3．交点式：
y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0），其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．
拓展练习:
1下列各式中y是关于的二次函数的是（）A.B.C．D．
2．把y=3x2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的解析式是（）
A．y=3（x+3）2－2B．y=3（x+2）2+2
C．y=3（x－3）2－2D．y=3（x－3）2+2
3.函数y＝2x2＋4x－5中，当－3≤x＜2时，则y值的取值范围是（）
（A）－3≤y≤1（B）－7≤y≤1
（C）－7≤y≤11（D）－7≤y＜11
4.若二次函数的图象经过原点，则的值必为（）
A．0或2B．0C．2D．无法确定
5.如果抛物线y=x2－6x+c－2的顶点到x轴的距离是3,那么c的值等于（）
A．8B．14C．8或14D．－8或－14
6.二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是：
（）
A．a>0b<0c>0B．a<0b<0c>0
C．a<0b>0c<0D．a<0b>0c>0
7.如图，△P1OA1,△P2A1A2都是等腰直角三角形，点P1，P2在函数的图像上，斜边OA1,A1A2都在x轴上，则点A2的坐标是．
8.已知（－2,y1）,（－1,y2）,（3,y3）是二次函数y=x2+x+m上的点,则y1,y2,y3从小到大用“<”排列是
9.如图，直线y=2x+2与x轴，y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A1OB1
（1）在图中画出△A1OB1。
（2）求经过A，A1，B1三点的抛物线的解析式．
10.如图所示，在边长为2的正方形ABCD的边上有一个动点P，从点A出发沿折线ABCD移动一周后，回到A点．设点A移动的路程为x，ΔPAC的面积为y．
（1）求函数y的解析式；
（2）画出函数y的图像；
（3）求函数y的取值范围．
11.二次函数的图象与x轴从左到右两个交点依次为A、B，与y轴交于点C，
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）如果P（x，y）是抛物线上AC之间的动点，O为坐标原点，试求△POA的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）是否存在这样的点P，使得PO=PA，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
六二次函数的最值问题
知识要点：
次函数在自变量取任意实数时的最值情况（当时，函数在处取得最小值，无最大值；当时，函数在处取得最大值，无最小值．
自学评价：
1．二次函数最大值或最小值的求法．第一步确定a的符号，a＞0有最小值，a＜0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．
2．求二次函数在某一范围内的最值．如：
在（其中）的最值．第一步：
先通过配方，求出函数图象的对称轴：
；第二步：
讨论：
（1）若时求最小值或时求最大值，需分三种情况讨论：
①对称轴小于即，即对称轴在的左侧；②对称轴，即对称轴在的内部,③对称轴大于即，即对称轴在的右侧。
（2）若时求最大值或时求最小值，需分两种情况讨论：
①对称轴，即对称轴在的中点的左侧；②对称轴，即对称轴在的中点的右侧；
精选题型：
1.求下列函数的最大值或最小值．
（1）；
（2）．
2.当时，求函数的最大值和最小值．
3.当时，求函数的取值范围．
4.当时，求函数的最小值（其中为常数）．
5.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售价（元）满足一次函数．
（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润与每件销售价之间的函数关系式；
（2）若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？
最大销售利润为多少？
记住它，多想它：
求二次函数在某一范围内的最值．如：
在（其中）的最值．第一步：
先通过配方，求出函数图象的对称轴：
；第二步：
讨论
拓展练习:
1．抛物线
，当=_____时，图象的顶点在轴上；当=_____时，图象的顶点在轴上；当=_____时，图象过原点．
2．用一长度为米的铁丝围成一个矩形，则其所围成的最大面积为_____
3．设，当时，函数的最小值是，最大值是0，求的值．
4．已知函数在上的最大值为4，求的值．
5．求函数的最大值和最小值．
6．已知关于的函数，当取何值时，的最小值为0？
7.已知关于的函数在上．
（1）当时，求函数的最大值和最小值；
（2）当为实数时，求函数的最大值．
8．函数在上的最大值为3，最小值为2，求的取值范围．
9．求关于的二次函数在上的最大值（为常数）．
七不等式
知识要点：
一元二次不等式及其解法简单分式不等式的解法含有字母系数的一元一次不等式
自学评价：
1.一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下：
（1）将二次项系数先化为正数；
（2）观测相应的二次函数图象．①如果图象与轴有两个交点，（）此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根（也可由根的判别式来判断）则
②如果图象与轴只有一个交点，此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根（也可由根的判别式来判断）则
③如果图象与轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根（也可由根的判别式来判断）．则
2.解一元二次不等式的步骤是：
（1）化二次项系数为正；
（2）若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根．那么“”型的解为（俗称两根之外）；“”型的解为（俗称两根之间）
3．简单分式不等式的解法:
解简单的分式不等式的方法：
对简单分式不等式进行等价转化，转化为整式不等式，应当注意分母不为零.
4．含有
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