函数的奇偶性与周期性高考复习.docx

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函数的奇偶性与周期性高考复习

第6课函数的奇偶性与周期性

[最新考纲]

内容

要求

A

B

C

函数的奇偶性

√

函数的周期性

√

1．函数的奇偶性

奇偶性

定义

图象特点

偶函数

如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝f（x），那么函数f（x）就叫作偶函数

关于y轴对称

奇函数

如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝－f（x），那么函数f（x）就叫作奇函数

关于原点对称

2.函数的周期性

（1）周期函数：

对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f（x＋T）＝f（x），那么就称函数f（x）为周期函数，称T为这个函数的周期．

（2）最小正周期：

如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f（x）的最小正周期．

1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．（　　）

（2）若函数y＝f（x＋a）是偶函数，则函数y＝f（x）关于直线x＝a对称．（　　）

（3）若函数y＝f（x＋b）是奇函数，则函数y＝f（x）关于点（b,0）中心对称．（　　）

（4）函数f（x）在定义域上满足f（x＋a）＝－f（x），则f（x）是周期为2a（a＞0）的周期函数．（　　）

[答案]　

（1）×　

（2）√　（3）√　（4）√

2．已知f（x）＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．

　[依题意b＝0，且2a＝－（a－1），

∴b＝0且a＝，则a＋b＝.]

3．（教材改编）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x（1＋x），则x＜0时，f（x）＝________.

x（1－x）　[当x＜0时，则－x＞0，∴f（－x）＝（－x）（1－x）．

又f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x）＝（－x）（1－x），

∴f（x）＝x（1－x）．]

4．下列函数中，①y＝；②y＝|sinx|；③y＝cosx；④y＝ex－e－x为奇函数的是________．（填函数序号）

④　[①中函数的定义域为[0，＋∞），其不关于原点对称，故①不是奇函数，②③是偶函数，④是奇函数．]

5．（2016·江苏高考）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1）上，f（x）＝其中a∈R.若f＝f，则f（5a）的值是________．

－　[因为函数f（x）的周期为2，结合在[－1,1）上f（x）的解析式，得f＝f＝f＝－＋a，

f＝f＝f＝＝.

由f＝f，得－＋a＝，解得a＝.

所以f（5a）＝f（3）＝f（4－1）＝f（－1）＝－1＋＝－.]

函数奇偶性的判断

　判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）＝x3－2x；

（2）f（x）＝（x＋1）；

（3）f（x）＝

[解]　

（1）定义域为R，关于原点对称，

又f（－x）＝（－x）3－2（－x）＝－x3＋2x＝－（x3－2x）＝－f（x）．

∴该函数为奇函数．

（2）由≥0可得函数的定义域为（－1,1]．

∵函数定义域不关于原点对称，

∴函数为非奇非偶函数．

（3）易知函数的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称，又当x＞0时，f（x）＝x2＋x，

则当x＜0时，－x＞0，

故f（－x）＝x2－x＝f（x）；

当x＜0时，f（x）＝x2－x，则当x＞0时，－x＜0，

故f（－x）＝x2＋x＝f（x），故原函数是偶函数．

[规律方法]　1.利用定义判断函数奇偶性的步骤：

2．判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f（－x）与f（x）的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性；也可以利用函数的图象进行判断．

[变式训练1]　

（1）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是________．（填序号）

①f（x）g（x）是偶函数；

②|f（x）|g（x）是奇函数；

③f（x）|g（x）|是奇函数；

④|f（x）g（x）|是奇函数．

（2）判断函数f（x）＝＋的奇偶性．

（1）③　[①：

令h（x）＝f（x）·g（x），则h（－x）＝f（－x）·g（－x）＝－f（x）·g（x）＝－h（x），

∴h（x）是奇函数，①错．

②：

令h（x）＝|f（x）|g（x），则h（－x）＝|f（－x）|g（－x）＝|－f（x）|g（x）＝|f（x）|g（x）＝h（x），

∴h（x）是偶函数，②错．

③：

令h（x）＝f（x）|g（x）|，则h（－x）＝f（－x）|g（－x）|＝－f（x）|g（x）|＝－h（x），∴h（x）是奇函数，③正确．

④：

令h（x）＝|f（x）·g（x）|，则h（－x）＝|f（－x）·g（－x）|＝|－f（x）·g（x）|＝|f（x）·g（x）|＝h（x），

∴h（x）是偶函数，④错．]

（2）由得x2＝3，∴x＝±，

即函数f（x）的定义域为{－，}，

从而f（x）＝＋＝0.

因此f（－x）＝－f（x）且f（－x）＝f（x），

∴函数f（x）既是奇函数又是偶函数.

函数奇偶性的应用

（1）若函数f（x）＝xln（x＋）为偶函数，则a＝________.

【导学号：

62172030】

（2）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2－4x，则f（x）＝________.

（1）1　

（2）　[

（1）∵f（x）为偶函数，∴f（－x）－f（x）＝0恒成立，

∴－xln（－x＋）－xln（x＋）＝0恒成立，∴xlna＝0恒成立，∴lna＝0，即a＝1.

（2）∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）＝0.

又当x＜0时，－x＞0，∴f（－x）＝x2＋4x.又f（x）为奇函数，

∴f（－x）＝－f（x），

即f（x）＝－x2－4x（x＜0），

∴f（x）＝]

[规律方法]　1.已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f（x）±f（－x）＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程（组），进而得出参数的值；

2．已知函数的奇偶性求函数值或解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性得出关于f（x）的方程（组），从而可得f（x）的值或解析式．

[变式训练2]　（2017·南通一模）若函数f（x）＝（a>0，b>0）为奇函数，则f（a＋b）的值为________．

－1　[∵f（x）为奇函数，

∴即解得a＝－1，b＝2.

∴f（a＋b）＝f

（1）＝1－b＝－1.]

函数的周期性及其应用

　设定义在R上的函数f（x）满足f（x＋2）＝f（x），且当x∈[0,2）时，f（x）＝2x－x2，则f（0）＋f

（1）＋f

（2）＋…＋f（2017）＝________.【导学号：

62172031】

1009　[∵f（x＋2）＝f（x），∴函数f（x）的周期T＝2.

又当x∈[0,2）时，f（x）＝2x－x2，∴f（0）＝0，f

（1）＝1，f（0）＋f

（1）＝1.

∴f（0）＋f

（1）＝f

（2）＋f（3）＝f（4）＋f（5）＝…＝f（2016）＋f（2017）＝1，

∴f（0）＋f

（1）＋f

（2）＋…＋f（2017）＝1009.]

[迁移探究1]　若将本例中“f（x＋2）＝f（x）”改为“f（x＋1）＝－f（x）”，则结论如何？

[解]　∵f（x＋1）＝－f（x），

∴f（x＋2）＝f[（x＋1）＋1]＝－f（x＋1）＝f（x）．

故函数f（x）的周期为2.

由本例可知，f（0）＋f

（1）＋f

（2）＋…＋f（2017）＝1009.

[迁移探究2]　若将本例中“f（x＋2）＝f（x）”改为“f（x＋1）＝”，则结论如何？

[解]　∵f（x＋1）＝，

∴f（x＋2）＝f[（x＋1）＋1]＝＝f（x）．

故函数f（x）的周期为2.

由本例可知，f（0）＋f

（1）＋f

（2）＋…＋f（2017）＝1009.

[规律方法]　1.判断函数的周期只需证明f（x＋T）＝f（x）（T≠0）便可证明函数是周期函数，且周期为T，根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质．

2．函数周期性的三个常用结论：

（1）若f（x＋a）＝－f（x），则T＝2a，

（2）若f（x＋a）＝，则T＝2a，

（3）若f（x＋a）＝－，则T＝2a（a＞0）．

[变式训练3]　（2017·南通第一次学情检测）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x＋4）＝f（x），且x∈（0,2）时f（x）＝x2＋1，则f（7）的值为________．

－2　[∵由f（x＋4）＝f（x）可知f（x）的周期T＝4，

∴f（7）＝f（7－4×2）＝f（－1）．

又f（x）为奇函数，故f（－1）＝－f

（1）．

又f（x）＝x2＋1，x∈（0,2），故f

（1）＝2.

∴f（7）＝f（－1）＝－f

（1）＝－2.]

[思想与方法]

1．函数奇偶性的三个常用性质

（1）若奇函数f（x）在x＝0处有定义，则f（0）＝0.

（2）若f（x）为偶函数，则f（|x|）＝f（x）．

（3）设f（x），g（x）的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：

奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．

2．利用函数奇偶性可以解决以下问题

（1）求函数值；

（2）求解析式；（3）求函数解析式中参数的值；（4）画函数图象，确定函数单调性．

3．在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT（k∈Z且k≠0）也是函数的周期”的应用．

[易错与防范]

1．判断函数的奇偶性，应首先判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．

2．f（0）＝0既不是f（x）是奇函数的充分条件，也不是必要条件．应用时要注意函数的定义域并进行检验．

3．判断分段函数的奇偶性时，要以整体的观点进行判断，不能用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性．

课时分层训练（六）

A组　基础达标

（建议用时：

30分钟）

一、填空题

1．在函数y＝xcosx，y＝ex＋x2，y＝lg，y＝xsinx中，偶函数的个数是________．

2　[y＝xcosx是奇函数，y＝lg和y＝xsinx是偶函数，y＝ex＋x2是非奇非偶函数．]

2．函数y＝log2的图象关于________对称．（填序号）

①原点；②y轴；③y＝－x；④y＝x.

①　[由＞0得－1＜x＜1，

即函数定义域为（－1,1），

又f（－x）＝log2＝－log2＝－f（x），

∴函数y＝log2为奇函数．]

3．（2016·苏州期中）定义在R上的奇函数f（x），当x>0时，f（x）＝2x－x2，则f（－1）＋f（0）＋f（3）＝________.

－2　[∵f（x）为奇函数，∴f（－1）＝－f

（1），f（0）＝0.

又x>0时，f（x）＝2x－x2，

∴f（－1）＋f（0）＋f（3）＝－f

（1）＋0＋f（3）＝－2＋1＋0＋8－9＝－2.]

4．已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x＋4）＝f（x），当x∈（0,2）时，f（x）＝2x2，则f（2019）＝________.

－2　[∵f（x＋4）＝f（x），

∴f（x）是以4为周期的周期函数，

∴f（2019）＝f（504×4＋3）＝f（3）＝f（－1）．

又f（x）为奇函数，∴f（－1）＝－f

（1）＝－2×12＝－2，

即f（2019）＝－2.]

5．函数f（x）在R上为奇函数，且x＞0时，f（x）＝＋1，则当x＜0时，f（x）＝________.【导学号：

62172032】

－－1　[∵f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）＝＋1，

∴当x＜0时，－x＞0，

f（x）＝－f（－x）＝－（＋1），

即x＜0时，f（x）＝－（＋1）＝－－1.]

6．（2017·安徽蚌埠二模）函数f（x）＝是奇函数，则实数a＝________.【导学号：

62172033】

－2　[由题意知，g（x）＝（x＋2）（x＋a）为偶函数，

∴a＝－2.]

7．（2016·山东高考改编）已知函数f（x）的定义域为R.当x<0时，f（x）＝x3－1；当－1≤x≤1时，f（－x）＝－f（x）；当x>时，f＝f，则f（6）＝________.

2　[由题意知当x>时，f＝f，

则当x>0时，f（x＋1）＝f（x）．

又当－1≤x≤1时，f（－x）＝－f（x），

∴f（6）＝f

（1）＝－f（－1）．

又当x<0时，f（x）＝x3－1，

∴f（－1）＝－2，∴f（6）＝2.]

8．（2016·四川高考）若函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0

（2）＝________.

－2　[∵f（x）是周期为2的奇函数，∴f＝f＝－f＝－4＝－2，f

（2）＝f（0）＝0，∴f＋f

（2）＝－2＋0＝－2.]

9．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2＋2x，若f（2－a2）>f（a），则实数a的取值范围是________.【导学号：

62172034】

（－2,1）　[∵f（x）＝x2＋2x＝（x＋1）2－1在（0，＋∞）上单调递增，又f（x）为R上的奇函数，故f（x）在（－∞，0）上单调递增．

∴f（x）在R上是单调递增函数．

又f（2－a2）>f（a）可知2－a2>a，解得－2

10．（2017·泰州中学高三摸底考试）函数y＝1－（x∈R）的最大值与最小值之和为________．

2　[因为y＝为奇函数，其最大值与最小值之和为0，因此函数y＝1－（x∈R）的最大值与最小值之和为2.]

二、解答题

11．若f（x），g（x）是定义在R上的函数，f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（x）＋g（x）＝，求f（x）的表达式．

[解]　在f（x）＋g（x）＝中用－x代替x，得f（－x）＋g（－x）＝，

又f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，

所以－f（x）＋g（x）＝，

联立方程

两式相减得f（x）＝＝.

12．已知定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期2，且当x∈（0,1）时，f（x）＝.

（1）求f

（1）和f（－1）的值；

（2）求f（x）在[－1,1]上的解析式.【导学号：

62172035】

[解]　

（1）∵f（x）是周期为2的奇函数，

∴f

（1）＝f（2－1）＝f（－1）＝－f

（1），

∴f

（1）＝0，f（－1）＝0.

（2）由题意知，f（0）＝0.当x∈（－1,0）时，－x∈（0,1）．

由f（x）是奇函数，

∴f（x）＝－f（－x）＝－＝－，

综上，在[－1,1]上，f（x）＝

B组　能力提升

（建议用时：

15分钟）

1．（2017·启东中学高三第一次月考）已知函数f（x）在定义域[2－a,3]上是偶函数，在[0,3]上单调递减，并且f>f（－m2＋2m－2），则m的取值范围是________．

　[因为函数f（x）在定义域[2－a,3]上是偶函数，所以2－a＋3＝0，所以a＝5.所以f>f，即f（－m2－1）>f（－m2＋2m－2），所以偶函数f（x）在[－3,0]上单调递增，而－m2－1<0，－m2＋2m－2＝－（m－1）2－1<0，所以由f（－m2－1）>f（－m2＋2m－2）得，解得1－≤m≤.]

2．设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f（x）＝其中a，b∈R.若f＝f，则a＋3b的值为________．

－10　[因为f（x）是定义在R上且周期为2的函数，

所以f＝f，

且f（－1）＝f

（1），故f＝f，

从而＝－a＋1，

即3a＋2b＝－2.①

由f（－1）＝f

（1），得－a＋1＝，

即b＝－2a.②

由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.]

3．已知函数f（x）＝是奇函数，

（1）求实数m的值；

（2）若函数f（x）在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．

[解]　

（1）设x＜0，则－x＞0，

所以f（－x）＝－（－x）2＋2（－x）＝－x2－2x.

又f（x）为奇函数，

所以f（－x）＝－f（x），

于是x＜0时，

f（x）＝x2＋2x＝x2＋mx，

所以m＝2.

（2）由

（1）知f（x）在[－1,1]上是增函数，

要使f（x）在[－1，a－2]上单调递增．

结合f（x）的图象（略）知

所以1＜a≤3，

故实数a的取值范围是（1,3]．

4．（2017·南京模拟）已知f（x）是偶函数，定义x≥0时，f（x）＝

（1）求f（－2）；

（2）当x<－3时，求f（x）的解析式；

（3）设函数f（x）在区间[－5,5]上的最大值为g（a），试求g（a）的表达式．

[解]　

（1）由题意，得f（－2）＝f

（2）＝2×（3－2）＝2.

（2）当x<－3时，－x>3，所以f（x）＝f（－x）＝（－x－3）（a＋x）＝－（x＋3）（a＋x），所以当x<－3时，f（x）的解析式为f（x）＝－（x＋3）（a＋x）．

（3）因为f（x）是偶函数，所以它在区间[－5,5]上的最大值即为它在区间[0,5]上的最大值．

当x≥0时，

f（x）＝

①当a≤3时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，所以g（a）＝f＝.

②当3

（ⅰ）当3

（ⅱ）当6

所以g（a）＝f＝.

③当a≥7时，f（x）在，[3,5]上单调递增，在上单调递减，且f＝

综上所述，g（a）＝

第三节　基本不等式

[考纲传真]　1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题．

1．基本不等式≤

（1）基本不等式成立的条件：

a>0，b>0.

（2）等号成立的条件：

当且仅当a＝b.

2．几个重要的不等式

（1）a2＋b2≥2ab（a，b∈R）；

（2）＋≥2（a，b同号且不为零）；

（3）ab≤2（a，b∈R）；

（4）2≤（a，b∈R）．

3．算术平均数与几何平均数

设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

4．利用基本不等式求最值问题

已知x>0，y>0，则

（1）如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2（简记：

积定和最小）．

（2）如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是（简记：

和定积最大）．

1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）函数y＝x＋的最小值是2.（　　）

（2）函数f（x）＝cosx＋，x∈的最小值等于4.（　　）

（3）x>0，y>0是＋≥2的充要条件．（　　）

（4）若a>0，则a3＋的最小值为2.（　　）

[答案]　

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）×

2．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是（　　）

A．a2＋b2>2abB．a＋b≥2

C.＋>D.＋≥2

D　[∵a2＋b2－2ab＝（a－b）2≥0，∴A错误；对于B，C，当a<0，b<0时，明显错误．

对于D，∵ab>0，∴＋≥2＝2.]

3．（2016·安徽合肥二模）若a，b都是正数，则的最小值为（　　）

A．7　　　　　　　　　B.8

C．9D.10

C　[∵a，b都是正数，∴＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a>0时取等号，故选C.]

4．若函数f（x）＝x＋（x>2）在x＝a处取最小值，则a等于（　　）

【导学号：

01772209】

A．1＋B.1＋

C．3D.4

C　[当x>2时，x－2>0，f（x）＝（x－2）＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝（x>2），即x＝3时取等号，即当f（x）取得最小值时，x＝3，即a＝3，选C.]

5．（教材改编）若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m2.

25　[设矩形的一边为xm，矩形场地的面积为y，

则另一边为×（20－2x）＝（10－x）m，

则y＝x（10－x）≤2＝25，

当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.]

利用基本不等式求最值

（1）（2015·湖南高考）若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为

（　　）

A.　　　　　　　　B.2

C．2D.4

（2）（2017·郑州二次质量预测）已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是__________．

（1）C　

（2）3　[

（1）由＋＝知a>0，b>0，所以＝＋≥2，即ab≥2，

当且仅当即a＝，b＝2时取“＝”，所以ab的最小值为2.

（2）由x2＋2xy－3＝0得y＝＝－x，则2x＋y＝2x＋－x＝＋≥2＝3，当且仅当x＝1时，等号成立，所以2x＋y的最小值为3.]

[规律方法]　1.利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．

2．在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式．

[变式训练1]　

（1）（2016·湖北七市4月联考）已知a>0，b>0，且2a＋b＝1，若不等式＋≥m恒成立，则m的最大值等于（　　）

A．10B.9

C．8D.7

（2）（2016·湖南雅礼中学一模）已知实数m，n满足m·n>0，m＋n＝－1，则＋的最大值为__________．

（1）B　

（2）－4　[

（1）∵＋＝＋＝4＋＋＋1＝5＋2≥5＋2×2＝9，当且仅当a＝b＝时取等号．又＋≥m，∴m≤9，即m的最大值等于9，故选B.

（2）∵m·n>0，m＋n＝－1，∴m<0，n<0，

∴＋＝－（m＋n）

＝－≤－2－2＝－4，

当且仅当m＝n＝－时，＋取得最大值－4.]

利用基本不等式证明不等式

　已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：

（1）＋＋≥8；

（2）≥9.

[证明]　

（1）＋＋＝2，

∵a＋b＝1，a>0，b>0，

∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，3分

∴＋＋≥8（当且仅当a＝b＝时等号成立）.5分

（2）法一：

∵a>0，b>0，a＋b＝1，

∴1＋＝1＋＝2＋，同理1＋＝2＋，

∴＝

＝5＋2≥5＋4＝9，10分

∴≥9（当且仅当a＝b＝时等号成立）.12分

法二：

＝1＋＋＋，

由

（1）知，＋＋≥8，10分

故＝1＋＋＋≥9.12分

[规律方法]　1.“1”的代换是解决问题的关键，代换变形后能使用基本不等式是代换的前提，不能盲目变形．

2．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式必须是有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果，必要时，也需要运用“拆、拼、凑”的技巧，同时应注意多次运用基本不等式时等号能否取到．

[变式训练2]　设a，b均为正实数，求证：

＋＋ab≥2.

【导学号：

01772210】

[证明]　由于a，b