苏教版五年级数学解方程教材解读.docx

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苏教版五年级数学解方程教材解读

第一单元简易方程教材解读

“简易方程”是课程内容划分里面的“数与代数”部分。

本单元的课程目标是：

能用方程表示简单的数量关系；能解简单的方程。

课程内容是：

（一）能用方程表示简单情境中的等量关系（如：

3+2x=5,2x-x=24），了解方程的作用

（二）了解等式的性质，能用等式的性质解简单的方程。

教材分析

本单元教学内容是在学生初步认识用字母表示数的意义和作用的基础上初步理解方程的意义，等式的性质，能用等式的性质解方程。

编排了10个例题，包括方程的概念，解方程的方法以及列方程解决实际问题。

具体如下：

例1等式的含义例2方程的意义

例3、例5等式的性质例4、例6利用等式的性质解方程

例7列方程解答一步计算的实际问题例8~例10列方程解答两、三步计算的问题

从上表可以看出教材编排的特点：

第一，在一步计算的方程和列方程解答一步计算的实际问题内容上安排比较细，编排的例题多，步子比较小。

这也是因为学生从习惯了的算术思考转变到代数思考，需要一定的时间，这期间的教学适当放慢些。

第二，编排两道例题教学等式的性质，两道例题教学解一步计算的方程。

可见，利用等式的性质解方程是学生应该掌握的基本方法。

第三，把解一步计算的方程和列方程解答一步计算的实际问题分开编排。

先教解方程，再教列方程解决问题。

分别教学便于突出重点，分散难点，有利于学生掌握基础知识。

第四，把解两、三步计算的方程与列方程解决两、三步计算的实际问题合并着教学。

这样编排能较好的体现教学内容与现实生活的密切联系，一方面分析题里的数量关系，抽象成方程；另一方面利用方程解决实际问题，是知识与技能的教学具有现实意义，能使这个过程成为数学思考，问题解决，情感态度发展的有效载体。

（一）从等式到方程，逐渐构建新的数学知识。

1.要认识方程需要先理解等式。

例1就是为教学等式而编排的，借助直观情景体会等式的含义。

教材没有给等式下定义，只要求明白等式里有一个符号，表示左右两边的数或式子相等，这就有了等式的概念。

例2继续认识等式，例2中有些天平的两边平衡，有些天平的两边不平衡。

根据各个天平的状态，写出的四个式子里都含有未知数，其中两个是含有未知数的等式，另两个是含有未知数的不等式。

感受含有未知数的等式的含义，能进一步加深对等式的认识。

2. 教学方程的意义，从形式上认识方程。

“含有未知数”和“等式”是方程的两个显著特征，人们经常以这两点来别方程。

教学方程，要让学生知道方程的形式特点。

例1与例2陆续写出了一些等式或不等式，写没有未知数的等式和含有未知数的等式，，可以先按“是不是等式”把两道例题写出的式子分类；再按“有没有未知数”把写出的等式分类。

指着分出的含有未知数的等式那一类，告诉学生“像x+50＝1502x＝200这样含有未知数的等式叫方程”。

让他们了解这两个式子的共同特点是即“含有未知数”又是一个“等式”。

 例2的最后讨论“等式与方程有什么关系”，强调方程应该含有未知数，还必须是等式。

例3教学等式的一个性质。

得出结论：

“等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式”。

例5继续教学等式的性质，利用前面学习等式性质的数学活动经验，认识等式的另一条性质。

等式两边同时乘或除以同一个相同的数，结果仍然是等式”得出等式的另一条性质。

不过，等式的两边同时乘0，等式会变成0=0，而人们通常不让等式的两边都乘0；由于除法的除数不能是0，所以等式的两边不能同时除以0。

在初步得出的等式性质里明确（等式两边）同时乘或除以同一个“不等于0的数”。

使等式性质的表述更加严密。

3.应用等式性质解方程。

例4和例6都是教学解方程。

教材把解方程置于现实的情境之中，体现它是解决实际问题的方法，有现实意义。

例4、例6都是应用等式性质的解方程，应用等式性质，使方程含有未知数的一边只剩下x，从而得出方程的解的过程。

如果利用加法中各部分的关系“和减一个加数等于另一个加数”，也能求出这个方程x的值。

但不是教材教学的解方程。

用等式性质解方程，关键是方程等号的两边都加（减）几、乘（除以）几。

另外，例4和例6的编写还注意了三点：

一是关于解方程的书写格式，强调解方程时先写解，各个等式的等号要上下对齐，教学时应该严格遵循。

二是求得x的值以后，通过“是不是正确答案”的质疑，引导学生根据“左右两边是不是相等”进行检验。

三是回顾求x值的过程，指出什么是方程的解、什么是解方程，这是以后经常要使用的概念，也是学生可能混淆的概念.

4.逐渐掌握解方程的方法并形成相应的技能。

学生在两道例题里只是初步学会解方程，如何帮助他们掌握解方程的方法，形成相应的技能。

用好教材里的两段安排，能培养这方面的能力。

一段安排是两道例题后面的“练一练”。

为了使方程x-30=80的左边只剩下未知数x，左边需要加30，右边应该同时加30。

即x-30+30=80+30。

为了使方程x÷0.2=0.8的左边只剩下未知数x，左边需要乘0.2，右边应该同时乘0.2。

即x÷0.2×0.2=0.8×0.2。

这是刚教学解方程时的练习设计，只有抓住解方程的关键步骤，呈现应用等式性质、求得未知数值的具体过程，才能体会解方程的策略和思路。

另一个安排是练习一第8题起，在初步学会解方程的基础上，把关键步骤想在头脑里，直接写出求未知数值的那一步。

帮助学生适当简化解方程的书写过程，压缩思路。

如，解方程x-20＝30，在方程的两边都加上20，一边想x-20+20＝30+20，同时写出x＝30+20；解方程0.6x=4.2，把0.6x÷0.6＝4.2÷0.6想在头脑里，直接写出x＝4.2÷0.6。

这样书写，能使解方程的思考更加流畅，也与以后中学里解方程的“移项”等方法相接轨，有利于提升解方程的能力。

（二）精心设计练习题，加强对简单方程的理解。

1.练习一配合例1~例6的教学，编排了相当丰富的练习内容，帮助学生逐步丰富对简单方程的认识，掌握有关的知识，形成初步的技能。

练习一里的第1、2两题通过看图列方程，体验现实情境里的比较简单的相等关系，并依据相等关系列出方程，理解方程的意义。

第4、6、8三题通过解方程的练习，逐渐握解方程的思路与方法，形成初步的解方程技能。

配合例4的“练一练”第2题，2个梨和3个桃的质量相等，这就联系现实情景体会了“等式两边同时减去同一个数，结果仍然是等式”练习一第13题也应用了等式性质.。

学生对等式性质的理解会逐步深入，应用等式性质解方程就越来越自如。

 2.通过检验，体验方程的解。

理解“方程的解”，首先要明白什么是方程的解，其次要会检验方程的解。

前者是概念，后者是方法，应该在理解概念的基础上运用方法。

 教材指出“使方程左右两边相等的未知数的值叫作方程的解”。

由此可知，检验未知数的值是不是方程的解，看它能不能使方程左右两边相等。

例4和例6、练习一第3题、第9题，这些过程有助于体验方程的解的含义，掌握检验方程解的方法。

3. 看图列方程并解方程，为后面列方程解决实际问题作铺垫。

 学习方程，应该应用它解决实际问题。

找到实际问题里的相等关系，列出方程是十分重要的环节，也是学生感到困难的环节。

教材在练习一里提前作些铺垫性安排，如:

第5、7、10、12等题，让学生找到图画情境里的相等关系列出方程，并解答。

又如第11题，要求找到表格里的相等关系列方程和解方程。

用这些相等关系列方程的思想方法，对以后的教学很有作用。

 （三）列方程解决稍难的一步计算实际问题

例7解决的一步计算问题。

利用题中最基本的数量关系列方程，降低了思考的难度。

类似的一步计算问题还有像例7的“练一练，已知一个数的几倍是多少，求这个数的问题。

列方程解决实际问题的关键是找到问题里的相等关系。

列方程的数量关系，“平等”看待已知数量和未知数量，把两者融合起来，共同参与运算，一般称之为相等关系（也称等量关系）。

寻找相等关系是列方程解决实际问题的教学重点，如果找不到相等关系，就列不出方程。

寻找相等关系还是教学难点。

首次教学列方程解决实际问题，例7里依次安排三个重要内容：

一是怎样寻找数量之间的相等关系；二是这个问题为什么列方程解答；三是列方程解答实际问题的步骤与书写格式。

这三个内容中，第一个最重要，另两个内容都能在第一个内容里得到启示。

这道例题的相等关系“小红去年的体重+2.5＝今年的体重”，是从“今年比去年增加了2.5千克”得出的。

分析这个已知条件，会想到小红今年的体重、去年的体重、2.5千克是三个有关系的数量；接着会想到今年的体重重些、去年的体重轻些，2.5千克是两年体重的相差数；然后把上面的想法用数学式子表示成相等关系式，列方程便有了依据。

从列算式的思维转变为列方程的思维。

列方程解决实际问题的两个要点分别是列出方程和解方程，检验答案应该在这两个环节上进行。

首先要检查列方程的相等关系是否符合实际问题的题意，然后检查未知数的值是否符合方程。

然而，人们往往直接检验答案是否符合实际问题的数量关系，这种做法是很好的。

就例4来说，求得去年体重33.5千克以后，只要检验今年体重是不是比去年增加2.5千克。

如果今年体重确实比去年增加2.5千克，则解题正确；如果今年体重不是比去年增加2.5千克，则答案错误。

就“练一练”来说，求得非洲象大约重5吨，只要检验蓝鲸的体重是不是非洲象的33倍，或是通过5×33检验，或者通过165÷5检验。

（四）解稍复杂方程的策略——转化成简单的方程

例8、例9和例10都是解答两、三步计算的实际问题，列出的方程稍复杂些。

这三道例题都同时教学两个知识，一个是怎样解稍复杂的方程，还有一个是如何列稍复杂的方程。

把两个知识结合着教学，能体现数学内容（方程）和现实生活（实际问题）的联系，一方面分析实际问题里的数量关系，抽象出方程，形成知识与技能的教学内容；另一方面利用方程解决实际问题，使知识与技能的教学具有现实意义，成为数学思考、问题解决、情感态度有效发展的载体。

三道例题涉及的方程分别形如ax±b＝c、ax±bx＝c、ax±b×c＝d。

解这些方程都要通过计算或者利用等式性质，把原方程化归成简单方程而求出未知数的值。

像这样化复杂为简单、变新知为旧知是我们解决问题的常用策略。

引导学生通过转化解稍复杂的方程，能充分体验转化思想，发展解决问题的策略。

1.从各个方程的特点出发，使用不同的化简方法。

解ax±b＝c这样的方程，一般根据“等式两边同时加上或减去相同的数，结果仍然是等式”这条性质化简原来的方程。

例8在列出方程2x-22＝64以后，写出了解这个方程的第一步：

2x-22+22＝64+22，使原方程化简成2x=86。

教学时应让他们说说这一步在做什么以及为什么这样做，体会利用等式性质化简方程的意图。

而新课程应用等式性质解方程，突出的是化繁为简的思想与方法。

解ax±bx＝c这样的方程，一般应用运算律和相应的计算化简方程。

例9中方程的左边是x+3x可以改写成（1+3）x，方程x+3x=290可以化简成4x=290。

解ax±b×c＝d这样的方程，一般按运算顺序先算出b×c的积，原来的方程就变成像例8里的方程，也就实现了化新为旧。

例10列出的方程3x+95×3=540，算出95×3的积，原方程就化简成3x+285=540。

通过上面的分析，应该看到解稍复杂的方程是很重要的知识与技能。

2.各道例题采用不同的教学思路，鼓励学生继续解转化后的方程。

例8让学生接着解2x＝86，求出x的值。

这是因为他们具有解这种方程的能力。

教材这样安排，目的是把转化思想与方法放在突出的位置上，促进新旧知识的衔接，有效地使用教学资源。

检验方程的解已经在前面教过，例8要求学生检验，不仅是培养良好的习惯，还要通过“结果是正确的”，确认解稍复杂方程的“策略与方法是正确的”。

例9把原来的方程x+3x=290化简成4x＝290以后，安排学生先算出x的值，再算出3x表示的值。

这是因为72.5米和217.5米是实际问题的两个答案。

以前列方程解决的实际问题，一般只有一个答案，现在遇到有两个答案的情况，需要完整呈现解题过程，在解题步骤和书写格式上作出必要的规范。

另外，这道例题在检验上也有拓展。

列方程解决实际问题，不只是检验解方程是否正确，还要检验列出的方程是不是符合现实的数量关系。

由于答案是通过解方程得到的，而方程是依据实际问题的数量关系列出的，所以我们在教学时通常把答案直接放到实际问题的数量关系里检验。

这道例题给出的数量关系有两个，分别是颐和园占地（即陆地和水面一共占地）290公顷、水面面积是陆地面积的3倍。

解题得到的水面面积和陆地面积符合这两个数量关系，才是正确的。

例10把列出的方程3x+95×3=540改写成3x+285＝540，这就把原方程化归成了例8教学的方程，把继续解方程和检验方程的解留给学生完成是很自然的安排。

如果根据“速度和×时间＝总路程”，列出（x+95）×3＝540，则又是一种未见过的方程。

可以让学生尝试着解这个方程，应用等式性质，等号两边同时除以3，先算出x+95＝180，再得出未知数的值。

这样做，仍然应突出化简方程的思想方法。

（六）列方程解决较复杂实际问题的关键——找到相等关系

1.灵活开展寻找相等关系的思维活动。

较复杂的问题之所以复杂，在于它的数量关系复杂。

例8里大雁塔的高度“比小雁塔高度的2倍少22米”，其中既有倍数关系，又有相差关系。

例9里给出两个并列的条件：

颐和园水面面积与陆地面积一共290公顷、水面面积大约是陆地面积的3倍，从“和”与“倍”两个角度分别揭示水面面积和陆地面积的关系。

例10是四年级教学的相遇问题，涉及的数量比较多，包括客车行驶的速度与时间、货车行驶的速度与时间、两车行驶的总路程等。

因此，寻找复杂问题的相等关系，要仔细梳理数量关系，分清事件发生与发展过程的主次和先后。

例8要求学生找出“大雁塔与小雁塔高度之间有什么相等关系”，可以利用已有的倍数概念和相差概念，通过推理把“比小雁塔高度的2倍少22米”改写成数学式子“小雁塔高度×2-22”，从而得到相等关系“小雁塔高度×2-22=大雁塔的高度”。

为了突出相等关系，教材在它上面加了色块，让教学注意相等关系是怎样找到、怎样表达的，加强得出相等关系的过程。

学生中有可能出现“小雁塔高度×2-大雁塔高度＝22”这样的相等关系，也能列方程解题。

事实上，我们大多喜欢依据“小雁塔高度×2-22=大雁塔的高度”列方程解决问题。

教学时可以让学生知道应用“小雁塔高度×2-大雁塔高度＝22”也能列出方程。

例9列方程求颐和园的陆地面积与水面面积，设哪一个数量为x，另一个数量怎样表示，涉及如何合理利用两个并列的已知条件。

为此，教材选择了线段图。

通常先画表示一倍数（陆地面积）的线段，再画表示三倍数（水面面积）的线段，显然设陆地面积为x公顷，把水面面积表示为3x公顷是很自然的。

再根据陆地面积与水面面积相加的和是颐和园的总面积，就能找到解决这个问题的相等关系。

例10是相遇问题。

教学时我曾经把画示意图作为解决问题的一种策略。

学生已经能画线段图表示相遇问题的题意，也能理解相遇问题里的数量关系。

2.加强写出含有字母式子的练习，进一步把握数量关系，为列方程打基础。

练习二第6题写出表示梨树棵数的式子3x+15，表示鳊鱼尾数的式子4x-80，都是解答有关“几倍多几”或“几倍少几”等数量关系的实际问题所需要的基本技能。

例9后面的“练一练”第1题是配合例题的专项练习，要求根据黄花x朵和红花朵数是黄花的3倍，先想到红花有3x朵，然后用式子x+3x（或4x）表示黄花和红花一共的朵数，用式子3x-x（或2x）表示红花比黄花多的朵数，发展按数量关系联想的能力。

联想到的含有字母的式子，正是列方程解答“和倍”或“差倍”问题的核心部分。

3.列方程解答有些变化的问题，拓展对相等关系的认识。

练习二第14题可以通过列表或者画图，弄懂这张发票上购买了两种物品，一共用去25.10元：

一种是文件夹，单价3.50元，数量1个；另一种是墨水，单价不知道，数量12瓶。

上述的这些整理，有助于找到实际问题里的相等关系，有利于顺利列出方程。

练习三第15题，学校舞蹈队为女同学购买上衣和裙子的问题，数量关系是（上衣价钱+裙子价钱）×购买套数=一共用的钱。

已知一共用去1520元，求上衣价钱，或者求裙子价钱、购买套数，都可以根据这个相等关系列出方程。

练习二第10题，根据三角形的面积公式，如果已知三角形的底和高，可以列算式求面积；如果已知三角形的面积和底（或高）时，可以列方程求高（或底）。

第16题给出了华氏温度与摄氏温度的换算公式，把已知的摄氏温度换算成华氏温度，只要列算式计算；把已知的华氏温度换算成摄氏温度，列方程解答比较方便。

还有单元《整理与练习》里的“探索与实践”，设计了在画图操作、探索规律、猜数游戏等活动中应用本单元教学的方程知识。

第13题把给定的一条线段分成两段，使其中一段的长度是另一段的4倍。

这是一个“和倍”问题，给定线段的长度是已知的“和”，可以测量得到。

解决这个分割线段的问题，应该先列方程求出分成的两段各长多少厘米，然后画图。

第14题连续的三个自然数中，每相邻两个数相差1，如果中间的数是x，那么它前面的数是x-1，后面的数是x+1；这三个数的和就是（x-1）+x+（x+1），化简得到3x。

如果三个连续自然数的和是99，很容易先求得中间那个数是33，再求得相邻的两个数分别是32和34。

写出字母表示的三个相邻自然数，要进行比较深入的数学思考，分析能力和概括能力都能得到很好的锻炼。

下面谈几点我在教学中遇到的问题:

如何处理形如a-x=b,a÷x=b这样的方程？

教材的目的是坚持用等式的性质来解。

如例7，教材给出了根以往不同的方程。

根据“今年的体重-去年的体重=25”可以列成方程36-x=2.5，可以运用减法的性质来做，但还是可以利用等式的性质来解决，例：

36-x=2.5

解：

36-x+x=2.5+x

2.5+x=36

X=36-2.5

X=33.5

如果列成36÷x=4，这一方程我们教材中是完全回避这个问题，不需要学生解决此类问题，遇到则要引导学生列出4x=36，在考试时也尽量避免。

但不能列出20-12=x、16.8÷4=x这样的方程。

因为后者仍然是过去列算式的思路，不利于学生体会数量间的相等关系，对以后的教学也是有弊无利的。

另外在列方程解决实际问题时要引导学生通过列表，画图等手段辅助思考。