第三章及本体及其表面交线.docx

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第三章及本体及其表面交线

第三章基本体及其表面交线

第一节基本体

一、平面立体

常见的平面立体有棱柱、棱锥。

棱住的侧面不集中,而棱锥的侧面集中于一点.

棱柱和棱锥的表面都是平面多边形,表面和表面的交线为直线,称为棱线.绘制平面立体的投影,实际上就是要把平面和棱线的投影表达出来.

（一）棱柱

棱柱有三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱等。

下面以六棱柱为例，说明棱柱的投影特性及其表面上取点的方法。

1.棱柱的投影分析和画法

图3-2正六棱柱的投影

水平投影积聚成水平线段，侧面投影积聚成铅垂线段。

其余几个侧棱面均为铅垂面，它们的水平投影积聚成直线段，重合在正六边形的边上，正面和侧面投影均为矩形的类似形。

因此，正六棱柱的水平投影为一正六边形，正面投影为三个可见的矩形，侧面投影为两个可见的矩形，如图3-2（b）所示。

画图时先画出各投影的对称中心线，然后画出反映实形为正六边形的水平投影，再按投影关系画出它的正面投影和侧面投影。

2.棱柱表面上取点

在棱柱表面上取点时可利用各表面的积聚性作图。

如图3-3所示。

（二）棱锥

常见的棱锥有三棱锥和四棱锥等。

下面以三棱锥为例说明棱锥的投影特性及其表面上取点的方法。

1.棱锥的投影分析和画法

画图时，一般先画反映实形的底面三角形的水平投影，再画出具有积聚性的面的另两个投影；然后画出锥顶的三个投影；最后将锥顶和底面三个顶点的同面投影连接起来，即得正三棱锥的三面投影。

图3-3正三棱锥的投影

2.棱锥表面上取点

如果是一般位置面上的点，则利用平面上取辅助线的方法求得。

由于E点在一般位置面△SAB上，故可以利用在面内取线的方法求出E点的另一投影e，然后再求出e″，方法有以下三种：

①过点E和棱锥顶S作辅助直线SⅠ（参阅图3-3a所示），其正面投影s′1′必过e′，求出SⅠ的水平投影s1和侧面投影s″1″，则点E的水平投影e必在s1上，侧面投影e″也必在s″1″上。

图3-5正三棱锥表面上取点

②也可过点E作底棱AB的平行线ⅡⅢ，则2′3′∥a′b′且通过e′，求出ⅡⅢ的水平投影23（23∥ab）和侧面投影2″3″（2″3″∥a″b″），则点E的水平投影e必在23上，侧面投影e″也必在2″3″上。

③也可过欲求点在该点所在的棱面上作任意直线。

先求出该辅助直线的投影，再求出点的投影。

（读者可自己分析）

判断可见性，由于棱锥面△SAB在左边，其侧面投影可见，所以E的侧面投影e″可见；棱面△SAB水平投影可见，故点E的水平投影e可见。

因为F点在棱面△SAC上，棱面△SAC为侧垂面，故可利用其积聚性，直接求出f″即f″必在s″a″c″的直线上，再由f和f″求出f′。

由于棱面△SAC正面投影不可见，故点F的正面投影f′不可见。

二、回转体

工程上常见的曲面立体有圆柱、圆锥、圆球和圆环等.由回转和平面或完全由回转面围成。

回转面是由一条线（称为母线）绕一不动的直线（称为轴线）旋转一周而形成的.

（一）圆柱

圆柱是由圆柱面和两端圆平面围成的，圆柱面的形成可以看作是一条直母线绕与其平行的轴线旋转而成的。

如图3-6所示。

图3-6圆柱的投影

①圆柱的投影分析和画法

如图3-6（b）、（c）所示圆柱体的轴线垂直于H面，两端圆平面平行于H面，圆柱面垂直于H面，故两端圆平面的水平投影反映实形，圆柱面的水平投影积聚为一圆周，且与两端面圆周轮廓线重合。

圆柱体的正面投影为矩形，上、下两条边为两端圆平面的正面投影；左右两条边a′a′0和b′b′0为圆柱面上最左和最右两条素线AA0和BB0的正面投影。

AA0和BB0是圆柱面正面投影可见与不可见的分界线，称为圆柱面对正面的转向轮廓素线，其正面投影a′a′0和b′b′0称为圆柱正面投影的外形轮廓线。

圆柱的侧面投影是与正面投影完全相同的矩形，上、下两条边为圆柱两端圆平面的投影，前、后两条边c″c″0和d″d″0是圆柱面上最前和最后两条素线CC0和DD0的投影。

②圆柱表面上取点

在圆柱体表面上取点，可利用圆柱面和两端面投影的积聚性作图

图3-7在圆柱表面上取点

（二）．圆锥

1.圆锥的形成

圆锥是由圆锥面和底圆平面围成。

圆锥面可以看作是一条直母线绕与它相交的轴线旋转而成的。

3-8圆锥的投影

2.圆锥的投影分析和画法

画图时，应先画出各投影的对称中心线和轴线，然后画反映为圆的投影及其另两投影；再按圆锥的高度画顶点的投影和圆锥面另两投影的外形轮廓线。

3.圆锥表面上取点

①辅助素线法：

过点E连接SE并延长与圆锥底圆交于Ⅰ，则SⅠ即为一素线，求出SⅠ的三投影，则E点的三投影即在SⅠ的同面投影上。

所以过e′作s′1′，再求出s1和s″1″，则根据直线上点的投影特性由e′求出e和e″。

判断可见性：

因圆锥面水平投影可见，故E点的水平投影e可见，又因E点在圆锥面的右前部，故E点的侧面投影（e″）不可见，如图3-9所示。

②辅助纬圆法：

过点E作垂直于轴线的纬圆，则点E的投影必在该纬圆的同面投影上。

过点e′作水平线2′3′，线段2′3′为纬圆的正面投影。

由2′求出2，以s为圆心，以s2为半径画圆，即为纬圆的水平投影。

过e′作垂线交纬圆水平投影点e，再由e′、e即可求出e″，如图3-9所示。

图3-9圆锥表面上取点

（三）．圆球

圆球体是由圆球面围成，圆球面可以看作由一圆为母线，绕其过圆心且在同一平面的轴线旋转而形成的.

图3-10圆球的投影

（1）圆球的投影分析和画法

画圆球的三面投影时，先画出三个投影的中心轴线，交点即为球心的三个投影，再以球心为圆心，分别画出三个与圆球直径相等的圆。

（2）圆球表面上取点

因为圆球面没有积聚性，所以在圆球面上取点，只能用纬圆法。

如图3-11所示，已知圆球面上点E、F、G的正面投影e′、f′、（g′），求其另两个投影。

①求e、e″：

由于e′可见，且为圆球面上的一般位置点，故可作纬圆（正平圆、水平圆和侧平圆）求解。

例如过e′作水平线，与圆球正面投影交于1′、2′，则以1′2′为直径在水平投影上作水平圆，点E的水平投影e必在该纬圆上，再由e、e′求出e″。

因点E位于上半个圆球面上，故e可见；又因点E在左半个球面上，故e″也可见。

②求f、f″和g、g″由于点F、G是圆球面上特殊位置的点，故可直接作图求出。

由于f′可见，且在圆球正面投影的最大圆上，故水平投影f在水平中心线上，侧面投影在垂直中心线上。

因点F在上半个球面上，故f可见，又因点F在右半个球面上，故（f″）为不可见。

由于（g′）不可见，且在垂直中心线上，故点G在圆球侧面投影最大圆上的后面，可由（g′）求出g″，再求出g，因G点在下半球面上，故（g）不可见。

3．圆环

圆环面是由圆母线ABCD绕其属于圆平面但不过圆心的轴线OO1旋转而形成的。

内半圆ADC形成内环面，外半圆ABC形成外环面，如图3-12（a）所示

图3-12圆球表面取点

图3-13圆环表面取点

水平投影中最大和最小两个圆（圆环面水平投影的外形轮廓线）是圆环面上最大和最小两个纬圆的投影。

也是圆环水平投影可见与不可见的分界线。

它们的正面投影和圆环正面投影的上、下对称线重合，不必画出。

画圆环时，先画各投影的对称中心线和轴线，然后画圆环的正面投影，再按投影关系画出水平投影。

（2）在圆环面上取点

在圆环面上取点必须作纬圆。

如图3-12（b）所示，已知圆环面上点K的正面投影k′（图3-12b）。

欲求其水平投影k。

可先过k′作水平线段m′n′，这就是圆环面上过K点纬圆的正面投影。

由m′求m，以o为圆心，以om为半径画圆，即为纬圆的水平投影。

再由k′向下作铅垂线，与其相交得到两个交点k和k1，由于k′可见，所以k是圆环面上K点的水平投影，而k1不是K点的水平投影。

第二节截交线

一、截交线的概念

 常见的机件大都由若干基本体组成，由于机件的功能需要，有些基本体都被切去一部分或几部分，于是，在机件的表面产生了一些交线，如图3-13所示。

为了完整、清晰地表达机件的形状，其表面的交线，在投影图中，一般都应正确的画出来。

图3-13机件表面产生交线示例

基本体被平面截切后的部分称为切割体，截切基本体的平面称为截平面，截平面与基本体表面的交线称为截交线，截交线所围成的图形称为截断面，如图3-13所示。

截平面完全截切立体所产生的截交具有以下性质:

（1）封闭性截交线为一个封闭的平面图形.

（2）共有性截交线是截平面与基本体表面的共有线.

共有性是求作截交线的依据

图3-13截交线的基本概念

2.截交线的几何性质

由于立体表面性质不同和截平面的位置不同,产生的截交线也表现不同的形状，但是,任何形状的截交线都具有下列两个基本的几何性质:

（1）由于立体都有一定的范围,所以任何基本体的截交线都是一个封闭的平面图形（平面折线、平面曲线或两者的组合）。

（2）截交线是截平面与基本体表面的共有线.。

由以上性质可以看出,求截交线的实质就是求截平面与基本体表面的一系列共有点的问题。

3.3.2平面立体的截切

例3-1求四棱锥被正垂面截切后的截交线。

（a）（b）

图3-15斜切四棱锥

分析：

如图3—15所示，根据截平面与四棱锥的相对位置可以看出，截平面与棱锥的四个棱面相交，故截交线必是四边形，其四个顶点分别是截平面P与四条侧棱的交点。

因此，只要求出这四个点的投影，然后依次连接各点的同面投影，即得截交线的投影。

作图：

（1）因截平面是正垂面，所以截交线的正面投影积聚成直线，截交线上四个顶点的正面投影1′、2′、3′、3′可直接得到。

（2）根据直线上点的投影规律，可求出四个点的水平投影1、2、3、3和侧面投影

1″、2″、3″、3″。

（3）.依次连接各点的水平、侧面投影，即完成截交线的投影，如图3—15（b）所示。

例3-2完成带切口正六棱柱的水平投影和侧面投影。

作图：

（1）求水平投影。

由两侧平面的正面投影向下引垂线可得到其水平投影afgh和cdnm。

abcdef即为水平面的水平投影。

（2）求侧面投影。

根据点和直线的投影规律，由各点的正面、水平投影可求出其侧面投影。

水平面的AF、CD边侧面投影不可见，故画成虚线。

（3）因棱柱前后两棱线已被水平面截去一段，故侧面投影应与正面投影高平齐，如图3-16（b）所示。

（a）（b）

图3-16截切六棱柱

三、回转体的截切

曲面立体的表面是由曲面或曲面和平面所组成，它们切割后的截交线一般是封闭的平面曲线或平面曲线和直线围成的平面图形。

因此，求曲面立体的截交线，就是求出截平面与曲面立体上被截各素线的交点，然后依次光滑连接各点即可得到截交线。

（一）圆柱的截交线

根据截平面与圆柱体轴线的相对位置不同，其截交线的形状有圆、椭圆和矩形三种，如表3-1所示。

（1）当截平面与圆柱轴线垂直相交时，其截交线为圆；

（2）当截平面与圆柱轴线倾斜相交时，其截交线为椭圆；

（3）当截平面与圆柱轴线平行相交时，其截交线为矩形（其中两对边为圆柱面的素线）

例3-3求正垂面截切圆柱后的截交线。

例3-2完成带切口正六棱柱的水平投影和侧面投影。

作图：

（1）求水平投影。

由两侧平面的正面投影向下引垂线可得到其水平投影afgh和cdnm。

abcdef即为水平面的水平投影。

（2）求侧面投影。

根据点和直线的投影规律，由各点的正面、水平投影可求出其侧面投影。

水平面的AF、CD边侧面投影不可见，故画成虚线。

（3）因棱柱前后两棱线已被水平面截去一段，故侧面投影应与正面投影高平齐，如图3-16（b）所示。

（a）（b）

图3-16截切六棱柱

三、回转体的截切

曲面立体的表面是由曲面或曲面和平面所组成，它们切割后的截交线一般是封闭的平面曲线或平面曲线和直线围成的平面图形。

因此，求曲面立体的截交线，就是求出截平面与曲面立体上被截各素线的交点，然后依次光滑连接各点即可得到截交线。

（一）圆柱的截交线

根据截平面与圆柱体轴线的相对位置不同，其截交线的形状有圆、椭圆和矩形三种，如表3-1所示。

（4）当截平面与圆柱轴线垂直相交时，其截交线为圆；

（5）当截平面与圆柱轴线倾斜相交时，其截交线为椭圆；

（6）当截平面与圆柱轴线平行相交时，其截交线为矩形（其中两对边为圆柱面的素线）

例3-3求正垂面截切圆柱后的截交线。

图3-17斜切圆柱

作图：

（1）先求特殊点。

特殊点是指截交线上最高、最低、最前、最后、最左、最右点以及能决定截交线形状特性的点，如椭圆长短轴端点等。

由图3—17a可知，ⅠⅡ为椭圆的长轴，ⅢⅣ为椭圆的短轴，点Ⅰ和点Ⅱ分别位于圆柱的最左、最右素线上，Ⅰ为最低点，Ⅱ为最高点。

点Ⅲ和点Ⅳ分别位于圆柱最前和最后素线上。

它们的正面投影1′、2′、3′、3′和水平投影1、2、3、3可直接标出来。

由两投影便可求出侧面投影1″、2″、3″、3″。

（2）求一般点。

在特殊点之间再找几个一般点如Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ，根据它们的正面投影5′、6′、7′、8′和水平投影5、6、7、8即可求出侧面投影5″、6″、7″、8″。

一般点布点要均匀，点数要适中。

（3）依次光滑连接各点的侧面投影，即得截交线的侧面投影，如图3—1（b）所示。

（a）（b）

图3-18开槽圆柱体

作图：

（1）P1、P2和Q面的正面投影具有积聚性，因此可直接标出它们的正面投影，如图3-18（b）所示。

（2）由正面投影可直接求出侧面投影。

1″2″7″8″、3″3″5″6″为两水平面的侧面投影，2″3″6″7″为侧平面的侧面投影。

（3）根据点的投影规律可求出各点的水平投影。

（7）连点并判断可见性，因ⅡⅦ、ⅢⅥ边水平投影不可见，故27（36）画成虚线，如图3-18（b）所示。

根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，其截交线的形状有五种，如表3—2所示。

（1）当截平面与圆锥轴线垂直截切时，其截交线为圆；

（2）当截平面与圆锥轴线倾斜截切时，其截交线为椭圆；

（3）当截平面与圆锥轴线倾斜且与圆锥素线平行截切时，其截交线为抛物线；

（3）当截平面与圆锥轴线平行截切时，其截交线为双曲线；

（5）当过锥顶截切时，截交线为三角形。

圆锥面的投影没有积聚性，但当截平面垂直于某一投影面时，仍可利用截平面积聚性的投影和在圆锥面上取点的方法，求出截交线的另两投影。

例3-5求正垂面截切圆锥后的截交线

（a）（b）

图3-19正垂面截切圆锥作图：

（1）求特殊点。

截交线椭圆长轴两端点Ⅰ、Ⅱ在圆锥面的最左、最右素线上，它们的正面投影1′、2′可直接标出，其水平和侧面投影利用点在直线的从属性求出。

椭圆短轴Ⅲ、Ⅳ的正面投影积聚为一点，且等分1′2′，据此可得到3′、3′。

利用纬圆法由3′、3′可求出3、3和3″、3″。

Ⅴ、Ⅵ点是最前、最后素线上的点，由正面投影5′、6′可先求得侧面投影5″、6″，然后求得水平投影5、6。

（2）求一般点。

利用纬圆法可求得几个一般点，如Ⅶ、Ⅷ等点的水平和侧面投影。

（3）依次连接各点的同面投影即得截交线的投影，如图3-19（b）所示。

（四）球的截交线

平面截切圆球时，无论截平面与圆球处于何种位置，其截交线均为圆，根据截平面对投影面的相对位置不同，截交线圆的投影可能是反映实形的圆、椭圆或直线段。

例3-8完成开槽半圆的水平和侧面投影。

（a）（b）（c）

图3-22开槽半圆球

分析：

半圆球上的开槽是由两个侧平面P和一个水平面Q截切后形成。

两个P平面左右对称，其截交线为完全相同的两段侧平圆弧，侧面投影重合并反映实形；Q平面的截交线为同一水平圆上的两段圆弧，水平投影反映实形，侧面投影积聚为水平线段。

两P面与Q面的交线都是正垂线，如图3-22所示。

作图：

（1）求两侧平面P的侧面投影和水平投影；如图3-22（b）所示。

（2）求水平面Q的水平投影和侧面投影，如图3-22（c）所示。

因P、Q面交线的侧面投影不可见，故用虚线画出。

第三节相贯线

立体与立体相交有平面立体与平面立体相交，平面立体与曲面立体相交以及两曲面立体相交三种情况，如图3—25所示。

本节主要介绍，两回转体相交的情况。

图3-25两立体相交

由于相交两回转体的几何形状和相对位置不同，其相贯线的形状也有区别，但它们都具有以下共同的性质。

1.相贯线是两回转体表面的共有线，也是两回转体表面的分界线；相贯线上的点都是两回转体表面的共有点。

2.因回转体都是有一定范围的，所以相贯线一般是封闭的空间曲线。

3.相贯线的形状取决于曲面的形状、大小以及两曲面之间的相对位置。

一般情况下是空间曲线，在特殊情况下可以是直线或平面曲线。

由上述性质可知，求相贯线的实质就是求两回转体表面一系列共有点。

常用的方法有积聚性法和辅助平面法两种。

一、利用积聚性法求相贯线

当圆柱与其它回转体相交时，若圆柱的轴线为投影面垂直线时可利用圆柱面的积聚性投影，运用在立体表面上取点的方法，求出两回转体表面若干共有点的投影，依次连接各点即为相贯线。

例3-11求正交两圆柱表面的相贯线。

作图：

（1）先求特殊点。

点Ⅰ、Ⅱ为最左、最右点，也是最高点，同时是正面投影可见与不可见的分界点；点Ⅲ、Ⅳ是最前、最后点，也是相贯线侧面投影可见与不可见的分界点。

根据水平投影1、2、3、3求出对应的侧面投影1″、2″、3″、3″，再利用投影规律可求出其正面投影1′、2′、3′、3′。

（２）再求一般点。

为了使相贯线光滑准确，需要求一定数量的一般点。

由水平投影5、6、7、8点和对应的侧面投影5″、6″、7″、8″点，可求出正面投影5′、6′、7′、8′。

（３）将所求各点的正面投影依次光滑连接即得相贯线的正面投影。

因两圆柱轴线正交，故两圆柱前后、左右对称，其相贯线也必定前后、左右对称，

所以相贯线的正面投影可见与不可见部分完全重合，侧面投影也是如此。

又因两圆柱前、后对称，故两圆柱正面投影的转向轮廓线必定相交，即1′、2′可直接标出，不必再由水平投影１、２向上引线。

图3-27正交两圆柱

二、利用辅助平面法求相贯线

 辅助平面法，是利用三面共点的原理，求两回转体表面一系列共有点，若选一恰当的辅助平面与两回转体都相交，则两回转体与辅助平面的截交线也必定相交，其交点即为相贯线上的点。

为了作图简便，辅助平面一般选为投影面平行面或投影面垂直面，使与两回转体表面的截交线简单易画。

例3-13求圆柱和圆锥正交时的相贯线。

作图：

（1）求特殊点。

因两立体前后对称，所以两立体正面投影的外形轮廓线必定相交，故在正面投影上和侧面投影上可直接得到1′、2′和1″、2″，由两点的两投影可求出水平投影1、2。

（2）求一般点。

在适当位置作辅助平面PⅡ，便可求出一般点Ⅴ、Ⅵ。

同法可再求几点。

（3）将所求各点的正面投影依次光滑连接即得相贯线的正面投影。

图3-32圆柱和圆锥正交

三、相贯线的特殊情况

 复杂的机件，由若干个基本体组成，因此在工程实践中经常会遇到多个立体彼此相交，它们表面的交线比较复杂，既有相贯线，又有截交线。

作图时，首先要进行形体分析，明确参与相交的都是什么立体及其相对位置和投影特点，然后应用前面有关相贯线、截交线的作图方法，逐一作出每条交线。

第四节基本体的尺寸标注

任何立体都有长、宽、高三个方向的尺寸。

在视图上标注立体的尺寸时，应将其三个方向的尺寸标注齐全，但每一尺寸在图上只应注一次。

一、基本体的尺寸标注

图3-37常见基本体的尺寸注法

二、截断体的尺寸标注

切割体除了要标注基本体的尺寸外，还要标注切口（截切）位置尺寸。

因为截平面与立体的相对位置确定后，截交线已完全确定，所以不需标注截交线形状大小的尺寸。

图3-38切割体的尺寸注法

三相贯体的尺寸标注

两立体相贯，除了要标注出两立体的大小尺寸外，还要标注出两立体相对位置尺寸。

但不要标注相贯线形状大小尺寸

（a）（b）（c）

图3-39相贯体的尺寸注法