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消元
§8.2消元——二元一次方程组的解法
教材分析
“8．2消元——二元一次方程组的解法”的标题点出了这一节的核心。
二元一次方程组含有两个未知数，如果消去其中一个未知数，由两个方程得出一个方程，就得到前面已学习过的一元一次方程。
由它可以先解出一个未知数，然后再设法求另一个未知数。
这是解二元一次方程组的基本思想。
这一节首先从讨论解方程组的需要出发，引导学生从解决问题的基本策略的角度认识消元思想。
然后，结合实例依次讨论了两种通过消元解方程组的常用方法——代入法和加减法，并结合具体问题用框图形式表示了这两种解法的一般过程。
同时通过解决实际问题让学生感悟到一元二次方程组应用的广泛与解法的重要，以及要根据方程组的特点选择恰当的解法。
本节内容是在学生会解一元一次的方程的基础上学习二元一次方程组的解法，知道了为什么多元方程要消元化归为一元方程，这样，二元一次方程组的解法又为解三元一次方程组奠定了基础，同时为利用方程组解决实际问题作好了准备。
本节的重点是掌握方程组的两种解法，并能根据方程组的特点灵活选择解方程组的方法，发展学生的观察分析能力与计算技能技巧.所以在分别学习两种方法后，应结合实例对两种方法进行比较，明确两种方法各自的特点，根据题目条件做出恰当的选择.不论是代入消元还是加减消元，都必须让学生认识到每一步做法的目的.
本节的难点是学生对消元化归思想的理解.方程组中含有多个未知数，消元思想——解方程组时“化多为少，由繁至简，各个击破，逐一解决”的基本策略，是产生具体解法的重要基础，而代入法和加减法则是落实消元思想的具体措施。
在有关方程组解法的讨论中，先使学生了解消元的基本思想，然后在其指导下寻求解决问题的具体方法，从而使具体解法的合理性凸现出来。
考虑到二元一次方程组解法和应用内容较多，为便于学生掌握，第97页例2与101页例4安排到第三课时中学习。
这样先分别学习代入消元法与加减消元法，最后是应用：
一方面是列方程组解应用题，另一方面实在应用的过程中训练解方程组的技能技巧。
【课时分配】3课时
§8.2消元——二元一次方程组的解法（第一课时）
【教学重点与难点】
教学重点：
熟练地用代入法解二元一次方程组。
教学难点：
探索如何用代入法将“二元”转化为“一元”的消元过程。
【教学目标】
1.会用代入法解二元一次方程组；
2.体会解二元一次方程组的“消元思想”，“化未知数为已知”的化归思想。
3.通过对方程中未知数特点的观察和分析，明确解二元一次方程组的主要思路是“消元”，从而促成未知向已知的转化，培养观察能力和体会化归的思想。
设计方案
（一）
【教学方法】
通过一个实际问题，探究二元一次方程组的解法.从解决问题需要出发的探究目的明确，学生的探索交流更为具体.在具体问题解决之后，教师引导学生进一步思考：
为人么要消元?
怎样达到消元的目的?
先让学生尝试去做，思考交流之后再尝试着说，初步领会之后接着应用，经过这样的循环之后，教师最后引导学生归纳提炼就是水到渠成的事了.因此，设计适当的问题，留给学生足够的时间，引导学生从大处着眼想，从小处入手做，达到思路清晰，计算准确的目的.整个课堂以学生的自主探究、合作交流活动为中心，教师主要起组织引导作用。
【教学过程】
一、创设情境提出问题
（设计说明：
利用这个问题，复习回顾二元一次方程组及其解的意义，同时开始探究二元一次方程组的解法.）
问题：
买2支钢笔和3个笔记本共需16元，买2支钢笔的钱恰好可以买5个笔记本。
求钢笔和笔记本的价格.
思考：
若设钢笔每只x元，笔记本每个y元，你能列出怎样的方程组?
能求出方程组的解吗?
2x＋3y=16
2x=5y
（教学说明：
对教师提出的问题，学生在上一节学习的基础上，会很快列出方程组，至于如何求方程组的解，可能会出现分歧，有的同学会沿用上节课的方法尝试观察找出方程组的解，有的同学可能会发现另外的方法，由此展开讨论，进入新课学习）
二、探索新知解决问题
（设计说明：
本环节设计的问题引导学生从探究方程组的解法开始，逐步得出用代入消元法解方程组的一般步骤，理解消元思想的意义，并在解决问题的过程中体会到了二元一次方程组的用途，提高了分析问题的能力及运算技能）
问题1解方程组
2x＋3y=16①
2x=5y②
（设计说明：
由具体问题的解答引导学生开始探究二元一次方程组的解法，结合具体问题的解答，先从总体上把握解二元一次方程组的方向，然后研究具体的做法.）
（1）由学生介绍自己求出方程组解的过程.（学生最容易想到的可能是整体代入，如果没有别的方法，教师不必补充，只要让生生体会到解二元一次方程组要想办法转化成一元一次方程即可）
（2）在学生讲解的基础上，教师简要归纳：
解二元一次方程组时，可以想办法把其中的一个未知数消去，将二元一次方程组转化成一元一次方程，这样我们就能顺利解答了.这节课我们重点研究如何完成这一步转化.
（教学说明：
以学生独立解答、讨论交流为主，教师简要点拨）
问题2篮球联赛中，每场比赛都要分胜负，每队胜一场得2分，负1场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部20场比赛中得到38分，那么这个队胜负场数分别是多少?
（设计说明：
选择学生较熟悉的问题情景，让学生进一步体会二元一次方程组的应用，重点放在如何解方程组上，以便于归纳出解方程组的方法）
解：
设胜的场数是x，负的场数是y
由方程x＋y＝20得y＝20－x，将2x＋y＝38的y换为20－x，这个方程就化为一元一次方程
，解得x=18
把x=18代入方程x＋y＝20，得y=2
所以，方程组的解是
x=18
y=2
答：
这个队胜18场，负2场
（教学说明：
本题要求学生先独立解决.学生解答完毕之后，再让他们充分交流、讨论，弄清楚每一步是怎样做的，为什么这样做?
）
问题3消元思想与代入消元法的意义
（设计说明：
结合实例进一步体会解二元一次方程组的基本思想----消元，并归纳代入消元的意义与步骤，将归纳得出的思想方法应用于新的问题解决过程，逐步形成清晰地思路、方法）
（1）结合学生解答过程，教师指出：
将未知数的个数由多化少、逐一解决的想法是消元思想，而根据一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程的方法是代入消元法。
（2）用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤
①将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.
②将这个代数式代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程式.
③解这个一元一次方程.
④把求得的一次方程的解代入方程中，求得另一个未知数值，组成方程组的解.
（教学说明：
在学生充分感悟之后，教师引导学生进一步提炼，归纳出消元思想的实质，及代入消元法的具体步骤，体会思想与方法之间的关系
问题4.用代入法解方程组
（设计说明：
利用这个问题使学生进一步熟悉用代入法解方程组的步骤，规范书写格式，训练运算的速度与准确度.）
x－y＝3①2x＋3y=16①
（1）3x－8y＝14②
（2）x＋4y=13②
解：
（1）由①得x=y＋3③
把③代入②，得3（y＋3）-8y=14
解这个方程，得y=-1
把y=-1代入③，得x=2
所以这个方程组的解是x=2
y=-1
（2）由②，得x=13-4y
将③代入①，得2（13-4）S＋3y=16
26-8y＋3y=16
-5y=-10
y=2
将代入③，得x=5
所以原方程组的解是x=5
y=2
（教学说明：
独立完成，两生板演，结合板演订正.）
三、巩固训练熟练技能
（设计说明：
通过形式不同的练习，训练学生解方程组的技能）
1.把方程
化成含x的代数式表示x的形式y=答案：
y=2x-5
2.方程组
的解是
A.
；B.
C.
D.
答案：
D
3.（2007湖北宜宾）某班共有学生49人.一天，该班某男生因事请假，当天的男生人数恰为女生人数的一半.若设该班男生人数为x，女生人数为y，则下列方程组中，能正确计算出x、y的是（）
A．eq\b\lc\{（\a\al（x–y=49,y=2（x＋1）））B．eq\b\lc\{（\a\al（x＋y=49,y=2（x＋1）））C．eq\b\lc\{（\a\al（x–y=49,y=2（x–1）））D．eq\b\lc\{（\a\al（x＋y=49,y=2（x–1）））
答案：
D
4.教材98页练习1，2
（教学说明：
学生独立完成，教师巡视，重点关注有困难的学生，学生做完后简要订正）
四、反思总结情意发展
（设计说明：
围绕三个问题，师生以谈话交流的形式，共同总结本节课的学习收获。
）
问题1：
本节课你学习了什么?
问题2：
本节课你有哪些收获?
问题3：
通过今天的学习，你想进一步探究的问题是什么?
（教学说明：
以上设计再次通过对三个问题的思考引导学生回顾自己的学习过程，畅所欲言，加强反思、提炼及知识的归纳，纳入自己的知识结构）
五、课堂小结
1．本节主要学习用代入消元法解二元一次方程组
2．主要用到的思想方法是消元思想。
3．注意的问题:
（１）用代入法解二元一次方程组时，常选用系数较简单的方程变形，这有利于正确、简捷的消元.
（2）由一个方程变形得到的一个含有一个未知数的代数式必须代入另一个方程中去，否则会出现一个恒等式。
（3）方程组的解的表示方法，应用大括号把一对未知数的值连在一起，表示同时成立，不要写成x=?
y=?
六、布置作业
1、课本103页1，2；课本99页练习3，4，
（教学说明：
及时作业是巩固课堂学习知识的重要环节，练习题主要训练用代入法解二元一次方程组）
七、拓展练习
（设计说明：
将复习巩固与灵活运用相结合，开拓学生视野，提高学生的学习兴趣，同时第4题可以引导学生探究不同的解法，为下节课学习做准备）
1.（2007四川东山）某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工上市销售．该公司的加工能力是：
每天可以精加工6吨或粗加工16吨．现计划用15天完成加工任务，该公司应按排几天精加工，几天粗加工?
设安排
天精加工，
天粗加工．为解决这个问题，所列方程组正确的是（）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
答案：
D
2.小明在解方程组时，遇到了“做不下去”的题目，你能根据他的解题过程，帮他找出原因吗?
解方程组104x-3y=7①
6x＋y=1②
解：
由=2\*GB3②得
，=3\*GB3③将=3\*GB3③代入=2\*GB3②得
（由于x消失，无法继续）.
答案：
由一个方程变形得到的一个含有一个未知数的代数式必须代入另一个方程中去，否则会出现一个恒等式，所以由②得到的③应该代入①中。
等级
票价（元/张）
A
500
B
300
C
150
3.
2008海南）根据北京奥运票务网站公布的女子
双人3米跳板跳水决赛的门票价格（如表1），小明预
定了B等级、C等级门票共7张，他发现这7张门票的
费用恰好可以预订3张A等级门票.问小明预定了B等
级、C等级门票各多少张?
解：
设小明预订了B等级，C等级门票分别为x张和y张.
依题意，得
解这个方程组得
答：
小明预订了B等级门票3张，C等级门票4张.
4.解方程组
提示：
本题既可以用一般代入发求解，也可以用整体代入发求解，还可以用加减法求解.
答案：
x=5
y=3
【评价与反思】
1.应用意识关穿始终：
从问题的提出，到最后的练习，多处环节以实际问题为背景：
为解决问题的需要而学习，最后回归到用新知识解决实际问题.既解决了为什么要学习二元一次方程组的解法的问题，同时，由于目标明确具体，学生探究时容易把握方向，在一定程度上分解了难点，提高了学生学习的兴趣.
2.循序渐进原则的运用：
学生对消元思想的理解很难一步到位，所以采用结合具体问题逐步渗透、感悟，然后提炼升华的方式学习.类似的，对二元一次方程组的解法，经历了从特殊到一般、从简单到复杂的循环上升过程，学生对数学思想方法的理解随之加深.
设计者：
任秀英
设计方案二
【教学方法】
采取合作、探究的方法，引导学生积极参与学习活动。
【教学过程】
一．创设情景，导入新课
（设计说明：
通过创设情景，让学生深层次体会消元的思想，同时，为问题的引出，做好铺垫）
问题1：
什么叫做二元一次方程、二元一次方程组、二元一次方程组的解?
问题2：
你见过商品交换吗?
学生回答，教师引导，同时出示一下图片，让学生谈是如何进行交换的?
由此导入新课，板书课题。
（教学说明：
问题1可由学生直接回答，问题2要让学生深层次体会消元的思想，要多留出时间，让学生交流）
二．探索二元一次方程组的解法---代入消元法
（设计说明：
在牛和羊的商品交换中，体会代入消元的思想）
问题1：
你能说出牛和羊是怎样交换的吗?
学生：
一头牛换5只羊。
问题2：
若一头牛和1只羊的价格是2400元，你能求出一头牛和1只羊的价格吗?
学生首先列二元一次方程组，然后尝试解决，让一生板书。
解：
x=5y①
X＋y=2400②
将①代入②得：
5y＋y=2400
∴y=400
将y=400代入①得：
x=2000
∴原二元一次方程组的解为：
x=2000
y=400
答：
一头牛2000元，1只羊的400元。
师生订正，并归纳：
上面的解法，是把二元一次方程组中一个方程的一个未知数永汉陵一个未知数的式子表示出来，在代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
（教学说明：
要让学生先自主探索，然后再合作交流，最后，由教师总结出代入消元的基本思路）
三．典例解析
（设计说明：
通过典型例题，让学生进一步体会二元一次方程组的解法）
例1解方程组:
解由①得
③.
将③代入②,得
.
即
.
将
代入③,得
.
所以二元一次方程组的解为：
.
例2把下列方程写成用含
的代数式表示
的形式:
（1）
；
（2）
分析即将方程作适当的变形,把含有y的项放在方程的一边,其他的项移到方程另一边,再把y的系数化1.
解
（1）
；
（2）
.
例3：
根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500克）和小瓶装（250克）两种产品的销售数量比（按瓶计算）为2﹕5。
某厂每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分别装大、小瓶装两种产品多少瓶?
解：
设这些消毒液应分装X大瓶和Y小瓶，
根据题意列方程组得，
5X=2Y①
500X＋250Y=22500000②
解得：
Y=5/2X③
把③代②入，得
500X＋250×5/2X=22500000
解这个方程，得
X=20000
把X=20000代入③，得
Y=50000
这个方程组的解是
X=20000
Y=50000
答：
这个工厂一天应生产20000大瓶和50000小瓶消毒液。
（教学说明：
例1、2可让学生自主完成，例3是应用问题，要先让学生经历数学建模的过程，然后用本节所学知识解决）
四．应用拓展
（设计说明：
通过一组练习题，加深学生对所学知识的理解）
练习1：
用代入法解下列方程组:
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
.
练习2：
甲、乙两人相距300米，如果两人同时相向面行，那么3分钟相遇；如果两人同时同向而行，那么半小时后甲追上乙。
求甲乙两人的速度。
（教学说明：
要让学生自主完成）
五．畅谈收获，情意发展
（设计说明：
通过一个问题，梳理知识，并将知识纳入知识系统）
问题：
通过这节课的学习，你学习了什么?
有什么收获?
六．知识
1．本节课主要学习用代入消元法解二元一次方程组。
2．主要的思想方法：
消元法
3．注意的问题：
（1）用一个未知数表示另一个未知数时，要表示正确。
（2）注意解题步骤要规范。
七．布置作业：
p98页1、2、3、4题
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