圆心角和圆周角.docx
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圆心角和圆周角
授课日期及时段
1、・理解圆心角的概念，并掌握圆心角定理。
教学目的
2、掌握圆心角定理的逆定理这一圆的性质。
3、理解圆周角的概念及相关性质，并能运用相关性质解决有关问题。
教学内容
一、课前检测
1、下列说法不正确的是（C）
A.过一点可作无数个圆，那是因为圆心不确定，半径也不确定
B.过两个点可以画无数个圆，圆心在这两点连线段的中垂线上
C.过不在同一直线上的三个点只能画一个圆，圆心是这三点构成的三角形的三内角平分线的交点,叫做内心
D.过不在同一直线上的三个点只能画一个圆，圆心是这三点构成的三角形的三边中垂线的交点，叫做外心
2、在RtAABC中，AB=6.BC=8,那么这个三角形的外接圆直径是（D）
A.5B.10C.5或4D.10或8
3、如图，己知00的半径为5,弦AB二6,M是AB上任意一点，则线段0H的长可能是（C）
4、AB为G>0的直径，C为0O±一点，过C作CD丄AB于点D,延长CD至E,使DE=CD,那么点
5、如图，AB是半圆OO的直径，E是EC的中点，OE交弦EC于点D.已知EC=8cm,DE=2cm,则AB的长为10cm.
6、填空：
如图，在。
O中，直径CD交弦AE（不是直径）于点E.
（1）若CD丄AB,则有AE=EE、AD=BDAC=EC；
（2）若AE=EB,则有CD丄AE、AD=BD.AC=BC:
（3）若AC=BC,则有CD丄AB、AD=ED、AE=EE・
二、知识梳理
（一）圆心角
把圆绕圆心旋转180°,所得的像与原图形重合，所以圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心。
由于圆上所有的点到圆心的距离都相等，所以把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的像都喝原图形重
合。
圆心角定义：
顶点在圆心的角叫做圆心角。
圆心角定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等。
因为在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以我们把1°圆心角所对的弧叫做1°的弧。
这样，€的圆心角所对的弧就是的弧。
圆心角定理的推论：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦，两个圆心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等。
A
（二）圆周角
如右图，ZBAC的顶点在圆上，它的两边都和圆相交，像这样的角叫做圆周角。
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。
丫\|
圆周角定理推论一：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90“的圆周角所对的弦
是直径。
圆周角定理推论二：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。
3.重难点突破
例1、圆心角定理的证明
已知在同一个圆中，有两条弦，弦AB和弦CD,圆心角厶OS和/妙之间的关系，肚ZA0B二ZC0D
例2、如图，等边三角形ABC内接于00,连结0A,OB,0C.
（1）ZA0B、厶COB、ZA0C分别为多少度？
⑵延长A0,分别交BC于点P,弧BC于点D,连结BD,CD.判断三角形OB.D是哪一种特殊三角形,？
・（3）判断.四边形BDCO是哪一种特殊四边形，并说明理由。
.⑷若00的半*径为r,求等边ABC三角形的边长？
⑸若等边三角形ABC的边长r,求00的半径为多少？
当r二2石时求圆的半径？
解：
（1）TAB二BC=CA
•••AB二CD,AB与CD重合。
两条圆弧相等。
记作：
“AB二CD”・
/.ZAOB=厶COB二ZA0C=120°（圆心角定理）
（2）ZB0D二180°—ZAOB二180°—120°=60°,
又VOB=OD,
Aaobd为等边三角形.
（3）ZC0D二180°—ZAOC二180°—120°=60°・
•••△OCD也为等边三角形
・•・0B二0C二0D二CD,即四边形BDCO是菱形.
OP=丄OD=丄厂
（4）由菱形的性质，可得22,
BP=4oBr-OPT=
BC=2BP亠号朋
答：
等边三角形AEC的边长为屈.
（5）由（4）问中求得信息知，等边三角形边长和00半径之比为d：
】等边三角形AEC的边长为广，
_L「=邑・・・G）o半径为石3.
例3、⑴如图，顺次连结00的两条直径AC和BD的端点，所得的四边形
是什么特殊四边形？
⑵如呆要把直径为30cm的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材，并
使截面尽可能地大，应怎样锯？
最大横截面面积是多少？
如果这根原木长15m,问锯出地木材地体枳为多少立方米（树皮等损耗略
去不计）？
解：
如左图，所得的四边形是矩形，理由如下：
VAC,BD是00的两条直径，
•••A0二0C二0B二0D,
・•・四边形ABCD是平行四边形.
又VAC=BD,
/.皿BCD是矩形.
设原木的横截面为00,如右图，在00中作两条互相垂直的直径AC和BD,依次连结AB,BC,CD,DA,则四边形ABCD是正方形.
沿正方形ABCD的四条边，就可以锯出截面为正方形的木材。
当原木的直径为30cm时，A0二B0二15cm,
4x—x40x30=4x-x15x15=450（c"）正方形ABCD的面积为22
=4.50x107（讦）
所以木材的体积为4・50X10-x15=0.675（"）
答：
锯出木材的体积为°・675屛。
例4、已知：
ZBOC,ZBAC分别是同一条弧所对的圆心角和圆周角.
求证：
ZBAC=-ZBOC.
2
分析由于圆心有在圆周角内、圆周角外和圆周角的一条边上三类情况，因此需分别对三类不同情况给出证明.
证明：
（1）当圆心0在圆周角ZBAC的一条边AB上时（如下左图）
VOA=OC,
ZDAC=-ZDOC,ZDAB=-ZD0B,
22
:
.ZDAC-ZDAB二二-（ZDOC-ZDOB）,
2
即ZBAC=丄ZBOC.
例5、已知：
如图，在△ABC中，AB二AC,以AB为直径的圆交BC于点D,交AC于点E.求证：
BD二DE
分析要证明BD二DE,只要证明ZBAD=ZCAD,即AD是ZBAC的平分线，因此问题就化归为证明AD是
BC边上的高，这可由AB是圆的直径得到.
证明：
连结AD・
TAB是圆的直径，点D在圆上,
：
•ZADB是直角，
••・AD是△/（：
的边BC上的高.
•••△ABC是等腰三角形，
・・・AD也是ZBAC的平分线，
・•・ZBAD二ZCAD,
・・・BD二DE（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等）.
例6、船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁.如下图，月、&表示灯塔，暗礁分布在经过人S两点的一个圆形区域内，6•表示一个危险临界点，ZEd就是“危险角”.当船与两个灯塔的夹角人于“危险角”时，就有可能触礁；当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时，就能避免触礁.
（1）当船与两个灯塔的夹角Z。
大于“危险角”时，船位于哪个区域？
为什么？
（2）当船与两个灯塔的夹角Za小于“危险角”时，船位于哪个区域？
为什么？
分析：
这是一个有实际背景的问题.由题意可知：
“危险角”Z/1少实际上就是圆周角.船尸与两个灯塔的夹角为乙S尸有可能在00外，尸有可能在00内，当乙a>乙C时，船位于暗礁区域内；当乙*乙C时，船位于喑礁区域外，我们可采用反证法进行论证.
解：
（1）当船与两个灯塔的夹角Za大于“危险角”乙C时，船位于暗碓区域内（即00内）.理由是：
连结庞，假设船在00上，则有Za=ZG这与矛盾，所以船不可能在00上；假设船在00外，则有ZaZC矛盾，所以船不可能在00外.因此，船只能位于00内.
（2）当船与两个灯塔的夹角Za小于“危险角”ZQ时，船位于暗礁区域外（即00外）.理由是：
假设船在00上，则有Za=ZG这与ZaZAEB,即Za>ZC这与乙*乙C矛盾，所以船不可能在00内，因此，船只能位于。
0外.
四、课堂练习
1、若00的弦AB的长为8cm,O到AB的距离为4^3cm,则弦AB所对的圆心角为_・
2、如图，在半径为2cm的O0中有长为2羽cm的弦AE,则弦AB所对的圆心角的度数为（C）
A.60°B.90°
C.120°D.150°
3、如图，在€）0中，已知AE=EC,且AB:
A111C=3:
4求ZAOC的度数.
解：
VAB=BC
.*.AB=AC
又VAB:
AinC=3:
4,
4
:
.AmC=360°X二144°
3+4+3
4、如图，已知AB是00的直径，M,N分别是AO.BO的中点，CM丄AB.DN丄AE・
求证:
.AC=BD
证明：
连接OC、OD,
•••AE是OO的直径，
/•AO=EO,
VM,N分别为AO、EO的中点，
AOM=ON,
•/CM丄AB,DN丄AB,
/.ZCMO=ZDNO=90°,
AAOCMtjAODN都是直角三角形,又VOC=OD.
AAOCM^AODN（HL）,
•••ZAOC=ZBOD,
AAC=BD（圆心角定理）.
5、如图，己知0O的半径为1,OA=2,OB=2,若直线AB与OO相切，求ZAOB的度数
解：
设AB与OO相切于点C,连接OC,则OC丄AB.
VOC=1,OB=2,
/.ZBOC=45°.
同理，ZAOC=60°•
:
.ZAOB=105°•
6、如图，OO是AABC的外接圆，AO丄BC于F,D为品的中点，E是BA延长线上一点，ZDAE=114°,则ZCAD等于（B）
A.57°B.38°C.33°D.28.5°
7、如图，己知AB是半圆O的直径，ZBAC=20°.D是ac上任意一点，则ZD的度数是（C）
（第2題）
8、如图，BC为半圆O的直径，AD丄EC,垂足为D,过点E作弦BF交AD于点E,交半圆O于点F,弦AC与EF交于点H,且AE=BE.
求证：
（1）AB=AF：
（2）AH・EC=2AB・EE・
证明：
（1）VAE=BE,
AZBAD=ZABE,
VBC是直径，AD丄BC,
AZADB=ZBAC=90°,
AZABD+ZBAD=ZABC+ZC=90M,AZBAD=ZC.
•••ZC=ZABF,/•AB=AF；
（2）VZC=ZABF,
RtAABH^RtAACB.
/.AH：
AB=EH：
EC,即AH・EC=AB・EH,
VZEAH+ZBAD=ZAHB-ZABH=90°,ZBAD=ZABE,AZEAH=ZAHB,
AAE=EH=BE=12BH,
•••AH・EC=2AB・EE・
五、课堂小结
这节课主要学习了圆心角和圆周角的相关知识，对圆心角和圆周角的概念有了一个掌握，也学习了二者之间的关系，其中的重难点就是圆心角和圆周角定理以及它们的推论，学生在做题中遇到关于圆心角、圆周角的问题，要明确题中给出了哪些有用条件，观察符合定理、推论中的哪些条件组，进行联系然后解题。
对圆心角及其推论、圆周角及其推论要分清，下面就是这些定理及推论的具体表述。
圆心角定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
圆心角定理推论：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦，两个圆心距中有一对量相等,那么它们所对应的其余各对量都相等。
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。
推论一：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90。
的圆周角所对的弦是直径。
推论二：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等
六、课后作业
1.顶点在圆心的角叫做圆心角角.
2.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,所对的弦
的弦心距相等.
3.弧的度数和圆心角的度数相等.
4.以菱形ABCD的一个顶点A为圆心，以边AB长为半径画图，被菱形截得的ED是40。
，则菱形的一个钝角是（A）
A.140°B.160°C.1000D.150°
5•如图，在AABC中，ZBAC=90°,以AB为直径画圆，交EC于点D・
如果CD=ED,则AD等于（D）
A.30°B.45°C.60°D.90°
6•如图，AB、AC为OO的两条弦，延长CA到D,使AD=AE,如果ZADB=35°,则ZBOC=度
解析：
AABD中，AB=AD,贝叽ZABD=ZD=35°:
AZBAC=2ZD=70°；
AZBOC=2ZBAC=140°.
7•如图，Z\ABC是G>O的内接三角形，ZB=55°,P点在弧AC上移动,
从点C开始运动到点A停止，设ZPOC=a,则a的变化范围是
解析：
连接OA；
则：
ZAOC=2ZB=HO<>:
故a的变化范围是0°WaW110。
8.M为的直径,C、D为半圆M上两点，且弧JC、弧6、弧仍的度数的比为3:
2:
5,则ZAOO
乙C0X0,乙DO出°
答案：
54,36',90'.
9.己知，A.B.C是0O上的三点，ZAOC=100°,则ZABC=50°
10.如图，在OA=AB=^BC.且防丄况；则弧助和弧必的度数分别是（）
A.15°、15°B.15°、30°
C.30°、15°D.22°307、22°30’
答案：
C.
11.如图，A.B、C、D、醐是。
吐的点，AB^BOCD.ZBCM30。
求ZAEM度数.
答栗：
A氏BUCD、故AB=BC=CD,Z56Ztl3O0，故BAD的度数为260°
12・如图，四边形月磁内接于OQ若Z567MOO0,则乙BO瞎于（
A.100°B.160°C.80°D.120°
答案：
80,100°.
13.
在0O中，己知ZAOE=10（）0,C为AE的中点，D在圆上，则ZADC=25°
14.如图，AB,AC是G）O的两条弦，且AB=AC・延长CA到点D・使AD=AC,连结DE并延长，交
G»O于点E.求证：
CE是OO的直径・
证明：
连接CE,AB,
•・•点C为劣弧AB上的中点，
ACE平分ZAED.
/.CB=CA»
VCD=CA,
•••△ABD是直角三角形
•••即ZABE=90°,
・・・AE是0O的直径；
15.如图，AB,AC是＜90的两条弦，且AB=AC,D是BC上一点，P是
AC上一点，若ZEDC=150。
，则ZAPC=105°
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