圆心角和圆周角.docx

1、圆心角和圆周角授课日期及时段1、 理解圆心角的概念，并掌握圆心角定理。教学目的2、 掌握圆心角定理的逆定理这一圆的性质。3、 理解圆周角的概念及相关性质，并能运用相关性质解决有关问题。教学内容一、课前检测1、 下列说法不正确的是（C ）A.过一点可作无数个圆，那是因为圆心不确定，半径也不确定B.过两个点可以画无数个圆，圆心在这两点连线段的中垂线上C.过不在同一直线上的三个点只能画一个圆，圆心是这三点构成的三角形的三内角平分线的交点, 叫做内心D.过不在同一直线上的三个点只能画一个圆，圆心是这三点构成的三角形的三边中垂线的交点， 叫做外心2、 在RtAABC中，AB=6 . BC=8,那么这个三

2、角形的外接圆直径是（D ）A. 5 B.10 C.5 或 4 D.10 或 83、 如图，己知00的半径为5,弦AB二6, M是AB上任意一点，则线段0H的长可能是（C ）4、AB为G0的直径，C为0O一点，过C作CD丄AB于点D,延长CD至E,使DE=CD,那么点5、 如图，AB是半圆OO的直径，E是EC的中点，OE交弦EC于点D. 已知 EC=8cm,DE=2cm ,则 AB 的长为 10 cm.6、 填空：如图，在。O中，直径CD交弦AE （不是直径）于点E.（1） 若 CD丄AB,则有 AE=EE 、AD=BD AC=EC ；（2） 若 AE = EB,则有 CD丄AE 、 AD=BD

3、 . AC=BC :（3） 若 AC=BC,则有 CD丄 AB 、AD=ED 、AE=EE 二、知识梳理（一）圆心角把圆绕圆心旋转180,所得的像与原图形重合，所以圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心。 由于圆上所有的点到圆心的距离都相等，所以把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的像都喝原图形重合。圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等。 因为在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以我们把1圆心角所对的弧叫做1的弧。这样，的 圆心角所对的弧就是的弧。圆心角定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两

4、条弦，两个圆心距中有一对量相 等，那么它们所对应的其余各对量都相等。 A(二)圆周角如右图，ZBAC的顶点在圆上，它的两边都和圆相交，像这样的角叫做圆周角。圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。 丫 |圆周角定理推论一：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90“的圆周角所对的弦是直径。圆周角定理推论二：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。3.重难点突破例1、圆心角定理的证明已知在同一个圆中，有两条弦，弦AB和弦CD,圆心角厶OS和/妙之间的关系，肚ZA0B二ZC0D例2、如图，等边三角形ABC内接于00,连结0A, OB, 0C.(1)ZA0B

5、、厶COB、ZA0C分别为多少度？延长A0,分别交BC于点P,弧BC于点D,连结BD, CD.判断三角形O B.D 是哪一种特殊三角形,？(3)判断.四边形BDCO是哪一种特殊四边形，并说明理由。.若00的半*径为r,求等边ABC三角形的边长？若等边三角形ABC的边长r,求00的半径为多少？当r二2石时求圆的半径？解：(1) TAB二BC=CA AB 二 CD, AB 与 CD 重合。两条圆弧相等。记作：“AB二CD”/. ZAOB =厶 COB 二 ZA0C= 120 (圆心角定理)(2)ZB0D二 180ZAOB二 180120 =60 ,又 VOB=OD,A aobd为等边三角形.(3)

6、ZC0D二 180 ZAOC二 180 120 =60 OCD也为等边三角形0B二0C二0D二CD,即四边形BDCO是菱形.OP =丄OD =丄厂(4)由菱形的性质，可得 2 2 ,BP = 4oBr-OPT =BC = 2BP亠号朋答：等边三角形AEC的边长为屈.（5）由（4）问中求得信息知，等边三角形边长和00半径之比为d：】 等边三角形AEC的边长为广，_L=邑 G）o半径为石 3 .例3、如图，顺次连结00的两条直径AC和BD的端点，所得的四边形是什么特殊四边形？如呆要把直径为30cm的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？最大横截面面积是多少？如果这根

7、原木长15m,问锯出地木材地体枳为多少立方米（树皮等损耗略去不计）？解：如左图，所得的四边形是矩形，理由如下：VAC, BD是00的两条直径，A0 二 0C 二 0B 二 0D,四边形ABCD是平行四边形.又 VAC=BD,/.皿BCD是矩形.设原木的横截面为00,如右图，在00中作两条互相垂直的直径AC和BD,依次连结AB,BC,CD,DA,则 四边形ABCD是正方形.沿正方形ABCD的四条边，就可以锯出截面为正方形的木材。当原木的直径为30cm时，A0二B0二15cm,4x x 40x30 = 4x-x 15x15 = 450(c) 正方形ABCD的面积为 2 2= 4.50x107(讦)

8、所以木材的体积为450 X10- x 15 = 0.675()答：锯出木材的体积为675屛。例4、已知：ZBOC, ZBAC分别是同一条弧所对的圆心角和圆周角.求证：ZBAC=- ZBOC.2分析由于圆心有在圆周角内、圆周角外和圆周角的一条边上三类情况，因此需分别对三类不同情况 给出证明.证明：（1）当圆心0在圆周角ZBAC的一条边AB上时（如下左图）VOA=OC,ZDAC= - ZDOC, ZDAB= - ZD0B,2 2:.ZDAC-ZDAB二二-(ZDOC-ZDOB),2即 ZBAC=丄 ZBOC.例5、已知：如图，在ABC中，AB二AC,以AB为直径的圆交BC于点D,交AC于点E.求证

9、：BD二DE分析 要证明BD二DE,只要证明ZBAD=ZCAD,即AD是ZBAC的平分线，因此问题就化归为证明AD是BC边上的高，这可由AB是圆的直径得到.证明：连结ADTAB是圆的直径，点D在圆上,： ZADB是直角，AD是/（：的边BC上的高.ABC是等腰三角形，AD也是ZBAC的平分线， ZBAD二ZCAD,BD二DE （在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等）.例6、船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁.如下图，月、&表示灯塔，暗 礁分布在经过人S两点的一个圆形区域内，6表示一个危险临界点，ZEd就是“危险角”.当船与两 个灯塔的夹角人于“危险角”时，就有可能触

10、礁；当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时，就能避 免触礁.（1） 当船与两个灯塔的夹角Z。大于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？（2） 当船与两个灯塔的夹角Z a小于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？分析：这是一个有实际背景的问题.由题意可知：“危险角” Z/1少实际上就是圆周角.船尸与两 个灯塔的夹角为乙S尸有可能在00外，尸有可能在00内，当乙a乙C时，船位于暗礁区域内；当 乙*乙C时，船位于喑礁区域外，我们可采用反证法进行论证.解：（1）当船与两个灯塔的夹角Z a大于“危险角”乙C时，船位于暗碓区域内（即00内）.理由 是：连结庞，假设船在00上，则有Za=ZG这与矛盾，所以船不

11、可能在00上；假设 船在00外，则有Z aZC矛盾，所以船不可能在00外.因此， 船只能位于00内.（2）当船与两个灯塔的夹角Z a小于“危险角” ZQ时，船位于暗礁区域外（即00外）.理由是：假设船在00上，则有Za = ZG这与ZaZAEB,即ZaZC这与乙*乙C矛盾，所以船不可能在00内，因此，船只能位于。 0外.四、课堂练习1、若00的弦AB的长为8cm,O到AB的距离为43 cm,则弦AB所对的圆心角为 _2、如图，在半径为2cm的O0中有长为2羽cm的弦AE,则弦AB所对的圆心角的度数为（C ）A. 60 B. 90C. 120 D. 1503、如图，在)0中，已知AE=EC,且A

12、B:A111C=3:4求ZAOC的度数.解：VAB=BC.*.AB=AC又 VAB:AinC=3:4,4:.AmC=360 X 二 1443 + 4 + 34、如图，已知AB是00的直径，M,N分别是AO.B O的中点，CM丄AB.DN丄AE求证:.AC=BD证明：连接OC、OD,AE是OO的直径，/ AO=EO,VM, N分别为AO、EO的中点，AOM=ON,/CM丄AB, DN丄AB,/. ZCMO=ZDNO=90 ,A AOCM tjAODN都是直角三角形, 又 VOC=OD.AAOCMAODN (HL), ZAOC=ZBOD,AAC=BD（圆心角定理）.5、如图，己知0O的半径为1,

13、OA=2, OB=2,若直线AB与OO相切，求ZAOB的度数解：设AB与OO相切于点C, 连接OC,则OC丄AB.VOC=1, OB=2,/. ZBOC=45 .同理，ZAOC=60 :.ZAOB=105 6、如图，OO是AABC的外接圆，AO丄BC于F, D为品的中点，E是BA延长线 上一点，ZDAE = 114,则 ZCAD 等于（B ）A. 57 B. 38 C. 33 D. 28.57、如图，己知AB是半圆O的直径，ZBAC=20. D是ac上任意一点，则ZD的度数是（C ）（第2題）8、如图，BC为半圆O的直径，AD丄EC,垂足为D,过点E作弦BF交AD于点E,交半圆O于点F, 弦A

14、C与EF交于点H,且AE=BE.求证：(1) AB=AF： (2) AHEC=2ABEE证明：(1) VAE=BE,AZBAD=ZABE,VBC是直径，AD丄BC,A ZADB=ZBAC=90 ,A ZABD+ZBAD=ZABC+ZC=90M , AZBAD=ZC. ZC=ZABF, / AB=AF；(2) VZC=ZABF,RtAABHRtAACB./.AH： AB=EH： EC,即 AHEC=ABEH,V ZEAH+ZBAD=ZAHB-ZABH=90 , ZBAD=ZABE, AZEAH=ZAHB,AAE=EH=BE= 12BH,AHEC=2ABEE 五、课堂小结这节课主要学习了圆心角和圆

15、周角的相关知识，对圆心角和圆周角的概念有了一个掌握，也学习了二 者之间的关系，其中的重难点就是圆心角和圆周角定理以及它们的推论，学生在做题中遇到关于圆心 角、圆周角的问题，要明确题中给出了哪些有用条件，观察符合定理、推论中的哪些条件组，进行联 系然后解题。对圆心角及其推论、圆周角及其推论要分清，下面就是这些定理及推论的具体表述。 圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.圆心角定理推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦，两个圆心距中有一对量相等, 那么它们所对应的其余各对量都相等。圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。推论一：半圆（或直

16、径）所对的圆周角是直角；90。的圆周角所对的弦是直径。推论二：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等六、课后作业1.顶点在圆心的角叫做 圆心角 角.2.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦 相等,所对的 弧相等,所对的弦的弦心距 相等.3.弧的度数和圆心角 的度数相等.4.以菱形ABCD的一个顶点A为圆心，以边AB长为半径画图，被菱形截得的ED是40。，则菱形的一 个钝角是（A ）A. 140 B. 160 C.1000 D. 1505如图，在AABC中，ZBAC = 90,以AB为直径画圆，交EC于点D如果CD=ED,则AD等于（D ）A.30 B. 45 C

17、. 60 D. 906如图，AB、AC为OO的两条弦，延长CA到D,使AD=AE,如果ZADB=35 ,则ZBOC= 度解析：AABD 中，AB=AD,贝叽 ZABD=ZD=35 :A ZBAC=2ZD=70 ；A ZBOC=2ZBAC=140 .7如图，ZABC是GO的内接三角形，ZB=55 , P点在弧AC上移动,从点C开始运动到点A停止，设ZPOC= a ,则a的变化范围是 解析：连接OA；则：ZAOC=2ZB=HO :故a的变化范围是0 Wa W110。8.M为的直径,C、D为半圆M上两点，且弧JC、弧6、弧仍的度数的比为3 : 2 : 5,则ZAOO 乙 C0X 0 ,乙 DO出 答

18、案：54 , 36, 90.9.己知，A.B.C 是0O 上的三点，ZAOC=100,则ZABC = 5010.如图，在OA=AB=BC.且防丄况；则弧助和弧必的度数分别是 ( )A. 15 、 15 B. 15 、 30C. 30 、 15 D. 22 307 、 22 30答案：C.11.如图，A. B、C、D、醐是。吐的点，ABBOCD. ZBCM30。 求ZAEM度数.答栗：A氏BUCD、故 AB = BC = CD , Z56Ztl3O0，故 BAD 的度数为 26012如图，四边形月磁内接于OQ若Z567MOO0 ,则乙BO瞎于(A. 100 B. 160 C. 80 D. 120答案：80 ,100.13.在0O中，己知ZAOE=10()0,C为AE的中点，D在圆上，则ZADC=2514.如图，AB, AC是G)O的两条弦，且AB=AC延长CA到点D使AD=AC,连结DE并延长，交GO于点E.求证：CE是OO的直径证明：连接CE, AB,点C为劣弧AB上的中点，ACE 平分ZAED./. CB=CAVCD=CA,ABD是直角三角形即 ZABE=90 ,AE是0O的直径；15.如图，AB, AC是90的两条弦，且AB=AC,D是BC上一点，P是AC上一点，若ZEDC=150。，则ZAPC=105