轴对称学案1.docx

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轴对称学案1

一：

新课内容

八年级第十三章轴对称

二：

新知识点回顾

1、轴对称和轴对称图形

（1）轴对称定义：

把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴。

（2）轴对称性质：

①关于某条直线对称的两个图形是全等形。

②如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。

③两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。

（3）轴对称判定：

如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

（4）轴对称图形：

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.

（5）轴对称与轴对称图形的区别：

轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．

2、线段垂直平分线（中垂线）

（1）定义：

垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。

（2）性质定理：

线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。

（3）逆定理：

和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

3、用坐标表示轴对称

（1）点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y）

（2）点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y）

补充：

（3）点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y）

（4）点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y＝x对称的点的坐标是（y，x）

（5）点P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y＝－x对称的点的坐标是（－y，－x）

（6）点P（x，y）关于直线x＝m对称的点的坐标是（2m－x，y）

（7）点P（x，y）关于直线y＝n对称的点的坐标是（x，2n－y）

4、作对称轴和轴对称图形

（1）作对称轴：

①找出轴对称图形的任意一组对称点，连结对称点。

②画对称点所连线段的垂直平分线，就得到该图形的对称轴。

（2）作轴对称图形：

①找到关键点

②画出关键点的对应点

③按照原图顺序依次连接各点。

5、等腰三角形

等腰三角形性质

等腰三角形判定

角

等边对等角

等角对等边

边

底的一半<腰长<周长的一半

两边相等的三角形是等腰三角形

中线

1、等腰三角形底边上的中线垂直底边，平分顶角；

2、等腰三角形两腰上的中线相等，并且它们的交点与底两端点距离相等。

1、两边上中线相等的三角形是等腰三角形；

2、如果一个三角形的一边中线垂直这条边（平分这个边的对角），那么这个三角形是等腰三角形

角平分线

1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边；

2、等腰三角形两底角平分线相等，并且它们的交点到底边两端点的距离相等。

1、如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的对边（平分对边），那么这个三角形是等腰三角形；

2、三角形中两个角的平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形。

高线

1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边；

2、等腰三角形两腰上的高相等，并且它们的交点和底边两端点距离相等。

1、如果一个三角形一边上的高平分这条边（平分这条边的对角），那么这个三角形是等腰三角形；

2、有两条高相等的三角形是等腰三角形。

6、等边三角形（正三角形）

（1）定义：

等边三角形：

三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。

（2）性质：

①等边三角形三个内角都相等

②等边三角形的三边都相等

③等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴。

④具有等腰三角形的所有性质。

（3）判定：

①三边都相等的的三角形是等边三角形；

②三个角都相等的三角形是等边三角形；

③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

7、含30°角的直角三角形

在直角三角形所中，30°对的直角边是斜边的一半

三：

例题剖析

例1、下面给出的每幅图中的两个图案是轴对称的吗？

如果是，试着找出它们的对称轴，并找出一对对称点．

例2、有些轴对称图形的对称轴只有一条，但有的轴对称图形的对称轴却不止一条，有的轴对称图形的对称轴甚至有无数条。

你能找出它们的对称轴吗？

例3、判断下面每组图形（如图14－7所示）是否关于某条直线成轴对称.

例4、下列图形中，是轴对称图形的为（　　）

Ａ　　　　　　　B　　　　　　　　　C　　　　　　　Ｄ

例5、如图所示，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称.

例6、在锐角△ABC内一点P满足PA=PB=PC，则

P是△ABC（）

A、三条角平分线的交点B、三条中线的交点

C、三条高的交点D、三条垂直平分线的交点

例7、某石油公司计划修建一加油站，到A、B、C三地的距离相等。

你认为该加油站应建于何处？

A

BC

例8、已知，D是直角

斜边AC的中点，

于D交BC于E，

，求：

的度数。

例9、如图在△ABC中，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D，且△AEC的周长为13，又AB-AC=3，求AB、AC的长.

例10．已知：

如图2－4，∠ABC及两点M、N．

求作：

点P，使得PM＝PN，且P点到∠ABC两边的距离相等．

作法：

【同步练习一】

1.下列图形中，是轴对称图形的为（）

A　　　　　B　　　　　　　C　　　D

2.剪纸艺术是我国文化宝库中的优秀遗产，在民间广泛流传，下面的一组剪纸作品，属于轴对称图形的是（）

3.下列说法中，正确的个数是（　　）

（1）轴对称图形只有一条对称轴，

（2）轴对称图形的对称轴是一条线段，（3）两个图形成轴对称，这两个图形是全等图形，（4）全等的两个图形一定成轴对称，（5）轴对称图形是指一个图形，而轴对称是指两个图形而言。

（A）1个　　（B）2个　　（C）3个　　（D）4个

4.下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）

A.两条相交直线B.线段

C.有公共端点的两条相等线段D.有公共端点的两条不相等线段

5.到三角形的三个顶点距离相等的点是（　　）

A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点

C.三条高的交点D.三条边的垂直平分线的交点

6.在△ABC中，AB=AC，BC=5cm，作AB的中垂线交另一腰AC于D，连结BD，如果△BCD的周长是17cm，则腰长为（）

   A．12cmB6 cm  C 7cm D5cm

7.如果⊿ABC与⊿A/B/C/关于直线l对称，且∠A＝50°，∠B/＝70°，那么∠C/＝____。

8.成轴对称的两个图形的对应线段______，对应角______。

9.如果两个图形关于某直线对称，那么连结__________的线段被_________垂直平分

10．如图，∠MON内有一点P，PP1、PP2分别被OM、ON垂直平分，P1P2与OM、ON分别交于点A、B.若P1P2=10厘米，则△PAB的周长为（）

A6厘米B8厘米C10厘米D12厘米

11．已知如图，四边形ABCD关于直线MN对称，其中A，C是对称点，则直线MN与线段AC的关系是__________.

四：

综合技能运用

1．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数．

2．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE，求证BD＝CE

3、如图，AD∥BC，BD平分∠ABC．求证：

AB=AD．

4.如图，∠A＝∠B，CE∥DA，CE交AB于E，求证△CEB是等腰三角形

5.（l）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE//BC，交AB于点D，交AC于E．问图中哪些三角形是等腰三角形？

（2）上题中，若AB=10㎝，AC=12㎝，求△ADE的周长？

6.已知：

如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AB、BC上两点，且AD=BE。

求证：

AE=CD。

7.如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，求证：

BE＝DC。

8.如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，求∠DBC的度数。

9已知：

如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°．求证：

BD=

AB．

10．已知：

在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=2∠C，BD是∠ABC的平分线．

求证：

CD=2AD．

11．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°,AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．求证：

BF＝2CF．

五：

能力拓展延伸

例1、已知：

如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AB、BC上两点，且AD=BE。

求证：

AE=CD。

例2、如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，求证：

BE＝DC。

例3已知：

在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=2∠C，BD是∠ABC的平分线．

求证：

CD=2AD．

例4、在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°,AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．求证：

BF＝2CF．

1．已知：

如图，RtΔABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，AE＝BF．

求证：

（1）DE＝DF；

（2）ΔDEF为等腰直角三角形．

2．已知：

如图6－6，ΔABC中，AB＝AC，E在CA的延长线上，ED⊥BC．

求证：

AE＝AF.

3．如图在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线，

求证：

BQ＋AQ＝AB＋BP．

4．已知：

如图在ΔABC中，CE是角平分线，EG∥BC，交AC边于F，交∠ACB的外角（∠ACD）的平分线于G，探究线段EF与FG的数量关系并证明你的结论．

5、已知△ABC为正三角形，点M是射线点BC上任意一点，点N是射线CA任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于Q点，就下面给出的三种情况（如图1，2，3），先用量角器分别测量∠BQM的大小，然后猜测∠BQM等于多少度？

利用图3证明你的结论。

图1图2图3

6、如图，将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落到点B'的位置，AB'与CD交于点E。

求证：

（1）ΔAEC是等腰三角形；

（2）若P为线段AC上一动点，作PG⊥AB'于G、PH⊥DC于H。

求证：

PG+PH=AD。

六：

知识小结

类型一、构造等腰三角形证全等

类型二、利用轴对称求最短距离

七：

巩固练习

一、选择题（每题3分，共24分）

1、下列图案中，不是轴对称图形的是（）

　ABC　D

2、下列长度的三线段,能组成等腰三角形的是（）

A.112B.225C.335D.345

3.如图，已知AC∥BD，OA=OC，则下列结论不一定成立的是（）

A.∠B=∠DB.∠A=∠BC.AD=BCD.OA=OB

4．下列说法正确的是（）

A．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合

B．顶角相等的两个等腰三角形全等

C．等腰三角形一边不可以是另一边的二倍

D．等腰三角形的两个底角相等

5、如图，

与

关于直线l对称，且

，则∠B的度数为（）

A．48°B．54°C．74°D．78°

6、如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED′等于

A.70°B.65°　C.50°D.25°

7、已知M（a,3）和N（4，b）关于y轴对称，则

的值为（　　　）

A.1　　　B、－1　　　C.

　　　D.

8、如图,∠BAC=110°若MP和NQ分别垂直平分AB和AC,则∠PAQ的度数是（　　　）

A.20°B.40°C.50°D.60°

二、填空题（每题3分，共24分）

9．轴对称是指____个图形的位置关系;轴对称图形是指____个具有特殊形状的图形.

10、有一条对称轴的三角形是_______三角形,有三条对称轴的三角形是______三角形.

11.如图，在

ABC中，

，BD是

ABC的平分线，DE是BC的垂直平分线，则

C=____.

12、在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B等于_____________度．

13、如图，在

ABC中，AB=AC，

，P是

ABC内一点，且

PBC=

PCA，则

BPC=_____.

14、如图，△ABC中,∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC,DE∥BC,则图中等腰三角形有____个.

15、如图,△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=3cm,△ABD的周长为13cm,则△ABC的周长为____________.

16．如图，点P在∠AOB的内部，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN交OA、OB于点E、F，若△PEF的周长是20cm，则线段MN的长是___________．

三、解答题（17－20题每题10分，21题12分）

17、右图（实线部分）补成以虚线L为对称轴的轴对称图形，你会得到一只美丽蝴蝶的图案（不用写作法、保留作图痕迹）．请用一句话说明你的画图思路

18、如图，写出△ABC的各顶点坐标，并画出△ABC关于Y轴对称的△A1B1C1，写出△ABC关于X轴对称的△A2B2C2的各点坐标。

19、如图所示，∠BAC＝∠ABD,AC＝BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE和AB的位置关系,并给出证明．

20阅读下题及证明过程：

已知：

如图，D是△ABC中的BC边上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE．

求证：

∠BAE=∠CAE．证明：

在△AEB和△AEC中，

∴△AEB≌△AEC．…第一步．∴∠BAE=∠CAE．…第二步．

问上面的证明过程是否正确，若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程．

21．等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，问△APQ是什么形状的三角形？

试说明你的结论．