版高中数学 第二章 统计 221 频率分布表 222 频率分布直方图与折线.docx
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版高中数学第二章统计221频率分布表222频率分布直方图与折线
2．2.1 频率分布表2．2.2 频率分布直方图与折线图
（一）
学习目标
1.体会分布的意义和作用；2.学会用频率分布表，画频率分布直方图表示样本数据；3.能通过频率分布表或频率分布直方图对数据做出总体统计．
知识点一 用样本估计总体
思考 还记得我们抽样的初衷吗？
梳理 用样本估计总体的两种情况：
（1）用样本的____________估计总体的频率分布．
（2）用样本的数字特征估计总体的数字特征．
知识点二 频率分布表
思考 通过抽样获得的数据有什么缺点？
梳理 一般地，制作频率分布表的步骤如下：
（1）求全距，决定组数和组距，组距＝________；
（2）分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；
（3）登记频数，计算频率，列出频率分布表．
知识点三 频率分布表与频率分布直方图
思考 表格与图形，哪个更直观？
梳理 一般地，
（1）在频率分布直方图中，纵轴表示________，数据落在各小组内的频率用__________________来表示，各小长方形的面积的总和等于______．
（2）将频率分布直方图中各相邻的矩形的______底边的______点顺次连结起来，就得到频率分布折线图．
（3）当样本容量足够______时，组距足够______时，频率分布折线图就趋近于总体分布的密度曲线．
类型一 利用原始数据绘制频率分布表
例1 从某校高一年级的1002名新生中用系统抽样的方法抽取一个容量为100的身高样本，如下（单位：
cm）．作出该样本的频率分布表，并估计身高不小于170（cm）的同学所占的百分率．
168
165
171
167
170
165
170
152
175
174
165
170
168
169
171
166
164
155
164
158
170
155
166
158
155
160
160
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156
162
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168
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165
179
163
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180
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175
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167
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164
166
反思与感悟 分组时先找到最大值和最小值，以便于确定分组的起点和终点．组距的选择应力求“取整”．区间端点要不重不漏，以便每个数据进且只进一个组．
跟踪训练1 有100名学生，每人只能参加一个运动队，其中参加足球队的有30人，参加篮球队的有27人，参加排球队的有23人，参加乒乓球队的有20人．
（1）列出学生参加运动队的频率分布表；
（2）画出频率直方图．
类型二 根据频率分布表绘制频率分布直方图
例2 下表给出了在某校500名12岁男孩中，用随机抽样得出的120人的身高（单位：
cm）．
区间
界限
[122，
126）
[126，130）
[130，134）
[134，
138）
[138，
142）
人数
5
8
10
22
33
区间
界限
[142，146）
[146，150）
[150，154）
[154，
158]
人数
20
11
6
5
（1）列出样本频率分布表；
（2）画出频率分布直方图；
（3）估计身高小于134cm的人数占总人数的百分比．
反思与感悟 频率分布表和频率分布直方图之间的密切关系是显然的，它们只不过是相同的数据的两种不同的表达方式，是通过各小组数据在样本容量中所占比例大小来表示数据的分布规律，它可以让我们更清楚地看到整个样本数据的频率分布情况，并由此估计总体的分布情况．
跟踪训练2 从某校高三学生中抽取50名参加数学竞赛，成绩分组（单位：
分）及各组的频数如下：
[40，50），2；[50，60），3；[60，70），10；[70，80），15；[80，90），12；[90，100]，8.
（1）列出样本的频率分布表（含累积频率）；
（2）画出频率分布直方图；
（3）估计成绩在[60，90）分的学生比例．
类型三 频率分布表及频率分布直方图的应用
例3 为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.
（1）第二小组的频率是多少？
样本容量是多少？
（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？
反思与感悟 在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1.
跟踪训练3 在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如下表：
分组
频数
频率
[1.30，1.34）
4
[1.34，1.38）
25
[1.38，1.42）
30
[1.42，1.46）
29
[1.46，1.50）
10
[1.50，1.54]
2
合计
100
（1）完成频率分布表，并画出频率分布直方图；
（2）估计纤度落在[1.38，1.50）内的可能性及纤度小于1.42的可能性各是多少？
1．有一个容量为45的样本数据，分组后各组的频数如下：
[12.5，15.5），3；[15.5，18.5），8；[18.5，21.5），9；[21.5，24.5），11；[24.5，27.5），10；[27.5，30.5]，4.由此估计，不大于27.5的数据约为总体的________．
2．某校为了解学生的睡眠情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自的睡眠时间的数据，结果用下面的频率直方图表示，根据频率直方图可得这50名学生这一天平均每人的睡眠时间为________h.
3．下列命题正确的是________．（填序号）
①频率分布直方图中每个小矩形的面积等于相应组的频数；
②频率分布直方图中所有小矩形的面积之和等于1；
③频率分布直方图中各小矩形的高（平行于纵轴的边）表示频率与组距的比．
4.
为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为12，则抽取的学生总人数是________．
1．频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小，总体分布是指总体取值的频率分布规律，我们通常用样本的频率分布表或频率分布直方图去估计总体的分布．
2．频率分布表和频率分布直方图，是对相同数据的两种不同表达方式，用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式，可展示数据的分布情况．通过作图既可以从数据中提取信息，又可以利用图形传递信息．
3．样本数据的频率分布表和频率分布直方图，是通过各小组数据在样本容量中所占比例大小来表示数据的分布规律，它可以让我们更清楚地看到整个样本数据的频率分布情况，并由此估计总体的分布情况．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 用样本去估计总体，为决策提供依据．
梳理
（1）频率分布
知识点二
思考 多而杂乱，无法从中提取信息，交流传递．因而，当总体很大或不便于获得时，可以用样本的频率分布估计总体的频率分布，我们把反映总体频率分布的表格称为频率分布表．其中，我们将整个取值区间的长度称为全距，分成的区间的长度称为组距．
梳理
（1）
知识点三
思考 图形．
梳理
（1）
小长方形的面积 1
（2）上 中 （3）大 小
题型探究
例1 解
（1）在全部数据中找出最大值180与最小值151，它们相差（极差）29，决定组距为3；
（2）将区间[150.5，180.5]分成10组；分别是[150.5，153.5），[153.5，156.5），…，[177.5，180.5）；
（3）从第一组[150.5，153.5）开始分别统计各组的频数，再计算各组的频率，列频率分布表；
分组
频数累计
频数
频率
[150.5，153.5）
4
0.04
[153.5，156.5）
8
0.08
[156.5，159.5）
8
0.08
[159.5，162.5）
11
0.11
[162.5，165.5）
22
0.22
[165.5，168.5）
19
0.19
[168.5，171.5）
14
0.14
[171.5，174.5）
7
0.07
[174.5，177.5）
4
0.04
[177.5，180.5]
3
0.03
合计
100
1
身高不小于170（cm）的同学所占的百分率为
×100%＝23%.
跟踪训练1 解
（1）参加足球队记为1，参加篮球队记为2，参加排球队记为3，参加乒乓球队记为4，得频率分布表如下：
试验结果
频数
频率
参加足球队（记为1）
30
0.30
参加篮球队（记为2）
27
0.27
参加排球队（记为3）
23
0.23
参加乒乓球队（记为4）
20
0.20
合计
100
1.00
（2）由上表可知频率直方图如下：
例2 解
（1）样本频率分布表如下：
分组
频数
频率
[122，126）
5
0.04
[126，130）
8
0.07
[130，134）
10
0.08
[134，138）
22
0.18
[138，142）
33
0.28
[142，146）
20
0.17
[146，150）
11
0.09
[150，154）
6
0.05
[154，158]
5
0.04
合计
120
1
（2）其频率分布直方图如下：
（3）由样本频率分布表可知，身高小于134cm的男孩出现的频率为0.04＋0.07＋0.08＝0.19，所以我们估计身高小于134cm的人数占总人数的19%.
跟踪训练2 解
（1）频率分布表如下：
成绩分组
频数
频率
累积频率
[40，50）
2
0.04
0.04
[50，60）
3
0.06
0.1
[60，70）
10
0.2
0.3
[70，80）
15
0.3
0.6
[80，90）
12
0.24
0.84
[90，100]
8
0.16
1.00
合计
50
1.00
（2）频率分布直方图如图所示：
（3）成绩在[60，90）分的学生比例，即学生成绩在[60，90）分的频率为0.2＋0.3＋0.24＝0.74＝74%.所以估计成绩在[60，90）分的学生比例为74%.
例3 解
（1）由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，因此第二小组的频率为
＝0.08；
又因为频率＝
，
所以样本容量＝
＝
＝150.
（2）由图可估计该学校全体高一学生的达标率约为
×100%＝88%.
跟踪训练3 解
（1）频率分布表如下：
分组
频数
频率
[1.30，1.34）
4
0.04
[1.34，1.38）
25
0.25
[1.38，1.42）
30
0.30
[1.42，1.46）
29
0.29
[1.46，1.50）
10
0.10
[1.50，1.54]
2
0.02
合计
100
1.00
频率分布直方图如图所示：
（2）纤度落在[1.38，1.50）的可能性即为纤度落在[1.38，1.50）的频率，即为0.3＋0.29＋0.10＝0.69＝69%.
纤度小于1.42的可能性即为纤度小于1.42的频率，即为0.04＋0.25＋0.30＝0.59＝59%.
当堂训练
1．91.1%
解析 不大于27.5的样本数为3＋8＋9＋11＋10＝41，所以约占总体的百分比为
×100%≈91.1%.
2．6.4
解析 由题意可知这50名学生这一天平均每人的睡眠时间为（5.5＋7＋7.5）×0.1＋6×0.3＋6.5×0.4＝6.4（h）．
3．②③
解析 在频率分布直方图中，横轴表示样本数据；纵轴表示
.由于小矩形的面积＝组距×
＝频率，所以各小矩形的面积等于相应各组的频率，因此各小矩形面积之和等于1.综上可知②③正确．
4．48
解析 因为第2小组的频数为12，且前3个小组的频率之比为1∶2∶3，
所以前3个小组的频数分别为6，12，18，共6＋12＋18＝36，
第4，5两小组的频率和为5×0.0375＋5×0.0125＝5×0.05＝0.25，
所以前3个小组的频率和为1－0.25＝0.75，
所以抽取的学生总人数是
＝48.
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