七年级数学寒假专题代数式3.docx
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七年级数学寒假专题代数式3
七年级数学寒假专题——代数式
【本讲教育信息】
一.教学内容：
寒假专题——代数式
1．理解字母表示数的重要意义以及代数式的意义，会根据实际问题列代数式，会求代数式的值，能解释代数式的值所表示的实际意义。
2．理解同类项、合并同类项的意义，掌握合并同类项的法则，并能正确合并同类项、根据合并同类项化简求值。
3．掌握去括号的法则，并能根据去括号的法则进行代数式的化简与求值。
4．进一步熟悉计算器的使用，能借助计算器探索数量关系，解决某些实际问题。
5．会用代数式表示简单问题中的数量关系，能用合并同类项、去括号等法则验证所探索的规律。
二.学习重难点：
1．重点：
列代数式，根据代数式化简求值，根据图形进行规律探索。
2．难点：
根据代数式说出它所表示的实际意义，利用去括号法则去括号以及探索图形中的规律问题。
3．主要考点：
（1）根据实际问题列代数式；
（2）代数式的化简求值；（3）探索规律
三.知识要点讲解：
（一）明确代数式的特征
代数式是一个非常重要的概念，它贯穿于初中代数的始终，我们可以看出代数式的三个特征：
1．代数式是用运算符号把数和表示数的字母连结而成的。
如：
3a、a+b等。
2．单独一个数或一个字母也是代数式。
如：
7、x等。
3．代数式中是不含等号的。
运算律、公式，它们都是以等号形式出现的，应该说，这些等式的左、右两边，各是一个代数式。
如：
S=ab，它是用等号把代数式S与ab连结起来而成为公式，所以S=ab不是代数式，而是公式。
（二）注意代数式的书写格式
1．代数式中出现的乘号，通常简记作“·”或省略不写。
数字和数字相乘，乘号不能省略；数字和字母相乘，可以省略乘号，但数字必须写在字母前面，如：
a×2可记作2a，不能写成a2；字母和字母相乘时，除可省略乘号外，
一般习惯按英文字母表示的自然顺序来书写，如：
y×x×2，可简记为2xy。
2．带分数和字母相乘时，若要省略乘号，须把带分数化成假分数，如：
x×
，记作
，不能写成
，另外，当一个因数是1时，通常省略不写，如1×a，不能写成1a，而应记作a。
3．代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写，如：
s÷t应记作
，ah÷2记作
。
4．写代数式的答案时，若是乘、除关系的，单位名称直接写在式子的后面，如：
正方形面积是12a平方厘米，无需加括号；若是加减关系时，必须把式子用括号括起来，再写单位，如：
三角形的周长是（a+b+c）米。
（三）掌握列代数式的要点
列代数式就是把问题中与数量关系相关的语句，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来。
首先弄清问题中的数量关系，如：
和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、增加到、减少到、增加了、减少了等，并把这些语言转化为算式。
其次是弄清问题中的运算顺序，特别是注意括号的运用。
最后要明确列代数式与小学的算术列式类似，所不同的是把数改为表示数的字母来列式。
例1.设甲数为x，用代数式表示乙数
（1）乙数比甲数的2倍小3；
（2）乙数比甲数大16％，
解：
（1）中的甲数转化为“x”，“小”转化为运算符号“－”，先表示甲数的2倍2x，再表示比2x小3的数是2x－3。
（2）中甲数的16％即为：
16％·x，“大”转化为运算符号“+”，即“x+16％·x或（1+16％）x。
例2.设甲数为x，乙数为y，用代数式表示
（1）甲乙两数的平方和（即平方的和）。
（2）甲乙两数的和与甲乙两数的差的积。
解：
（1）中就是：
甲数的平
方+乙数的平方，注意先平方后和，即x2+y2。
（2）中就是：
（甲数+乙数）×（甲数－乙数），注意先算和、差，再相乘，和、差要添括号，即（x+y）（x－y）。
（四）准确求出代数式的值
一般地，把用数值代替代数式里的字母，按照
代数式中指明的运算，计算出的结果，叫做代数式的值，在这个概念中，实际上也指出了求代数式的值的方法，即一是代入、二是计算，当代数式中有多个字母时，代入值不要混淆，式中的同一个字母其值应该是相同的，在进行运算时，既要分清运算的种类，又要注意运算顺序。
某些求代数式的值的题目，没有直接给出代数式中相关字母的值，而是给出某种关系，这时要认真仔细观察题目特征，运用整体代换的方法来进行求值。
例3.若代数式2x+3y+7的值是8，那么4x+6y+10的值是多少?
解：
本题没有给出x、y的值，而是已知2x+3y+7=8，这时易知2x+3y=1，然后再观察4x+6y+10这个代数式，其式中的4x+6y正好是2x+3y的2倍，即4x+6y=2（2x+3y），所以4x+6y=2，此时4x+6y+10的值就是2+10=12了。
（五）会应用代数式解决实际问题
应用数学知识解决实际问题是学习数学的目的，灵活应用代数式，可以解决许多实际问题。
例4.用a米长的篱笆材料，在空地上围成一个绿化场地。
现有两种设计方案：
一种是围成正方形的场地；另一种是围成圆形的场地。
试问选用哪一种方案，围
成的场地面积较大?
并说明理由。
解：
设S1、S2分别表示围成的正方形场地和圆形场地的面积，则
∵π＜4，∴
∴S2＞S1，故应选用围成圆形场地的方案，它的面积较大。
例5.暑假里父亲、儿子、女儿准备外出旅行，咨询时了解到，甲旅行社规定：
大人买一张全票，两个孩子的费用可按全票价的一半优惠；乙旅行社规定：
三人旅行可按团体票计价，即按原价的60％收费。
已知两个旅行社的原价相同，问选择哪个旅行社，能多省钱?
解：
设两个旅行社的原票价为a（a>0）元，则甲旅行社的收费为a+2×0.5a=2a（元），乙旅行社的收费为3×60％a=1.8a（元）。
因为2a>1.8a，所以选择乙旅行社能多省钱。
（六）在列代数式中培养创新能力
“创新是一个民族的灵魂。
”我们每个中学生都应具有创新意识，在数学学习中创新，就是要对自然界和社会中的数学现象具有好奇心，会从数学的角度发现和提出问题，并加以探索和解决。
例6.给出下列算式：
32－12=8=8×1，52－32=16=8×2
72－52=24=8×3，92－72=32=8×4
观察上面一系列等式，你能发现什么规律?
用代数式表述这个规律。
分析：
观察可知左边是连续奇数的平方差（大数减小数），右边是8的倍数，其规律可用代数式表述为（2n+1）2－（2n－1）2=8n（n为自然数）。
例7.问题：
你能很快算出19952吗?
为了解决这个问题，我们考察个位数为5的自然数的平方，
任意一个个位数为5的自然数可用代数式表示为10n+5，问题即转化求（10n+5）2的值（n为自然数），试分析n=1，n=2，n=3，…这些简单情况，从中探索其中的规律，并归纳、猜想出结论（在下面横线上填上你的探索结果）。
（1）通过计算，探索规律：
152=225，可写成100×1×（1+1）+25，
252=625，可写成100×2×（2+1）+25，
352=1225，可写成100×3×（3+1）+25，
452=2025，可写成100×4×（4+1）+25，
752=5625，可写成_____________。
852=7225，可写成_____________。
……
（2）从第
（1）题的结果，归纳、猜想得：
（10n+5）2=_____________。
（3）根据上面的归纳、猜想，请算出：
19952=______
解：
（1）l00×7×（7+1）+25，100×8×（8+1）+25；
（2）100n（n+1）+25，n为自然数；
（3）100×199×（199+1）+25=398002
5。
本例的实质是先用代数式表示出一般情况，再求特殊情况下代数式值的计算规律，归纳出一般性结论，再求这个一般性结论中代数式的值，体现了“特殊——一般——特殊”的思想方法，这正是用字母代数（从特殊到一般）后再求代数式的值（从一般到特殊）这种思想方法的反复应用。
发现是创新的前提，以上两例要求同学们从具体、特殊的事例中探究其存在的规律，并把潜藏在现象中的本质挖掘出来，并用代数式加以表示。
规律被找出，即是完成了一个创新过程。
四.思想方法
1．代数思想：
用字母表示数，并让字母和数一样参加运算是数学中重要的思想方法.在解决一些实际问题时，通过用字母表示某些量进行计算，可使运算非常简捷。
2．分类思想：
字
母可以表示正数，也可以表示负数或0，在具体的求值中，如果没有明确字母的具体取值，则需要对字母的取值分类讨论。
在求代数式的值或比较代数式的值的大小时，应注意分类思想的应用。
3．整体思想：
代数式的化简，有时可以从整体的角度思考问题，即将局部放在整体中去观察分析探究问题的解决方法，从而使问题得以简捷巧妙解决。
在代数式的化简中应注意这种数学思想的应用。
【典型例题】
1．列代数式
和列代数式有关的题目主要包含以下几点：
①根据实际问题列代数式；②用代数式解决实际问题；③已知代数式，从实际问题角度出发说出代数式所能表示的实际问题。
解决问题的关键是理解题目中的数量关系，注意一些公式的应用。
例1.如图1，某长方形广场的四个角都有一块半径相同的四分之一圆形的草地，若圆形的半径为r米，长方形的长为a米，宽为b米.则空地面积用代数式表示为_____。
图1
分析：
本题是一道数形结合题，要用代数式表示空地的面积，观察图形可知：
空地的面积等于长方形的面积减去四个四分之一圆的面积，也就是长方形的面积减去一个半径为r米的圆的面积.因为长方形的面积为ab平方米，圆的面积为
平方米，所以空地的面积为（ab－
）平方米。
解：
（ab－
）
评注：
根据图形中的数量关系列代数式也是一个重要类型，解决此类问题需要了解图形的一些特征，如长方形的面积的公式，圆的面积的公式等。
例2.代数式
的两个实际意义是：
，。
分析：
此类问题的答案较多，只要能用代数式表达出实际意义即可.如：
大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，大正方形与小正方形的面积差是多少.再如，摩托车每辆m元，自行车每辆n元，m辆摩托车比n辆自行车贵多少钱
。
解：
略
评注：
说出代数式的实际意义，一定要注意所写的实际问题要有意义.能够和代数式相吻合。
2.代数式的化简
与代数式的化简有关的题目主要涉及先去括号，再合并同类项.解决问题的关键是正确使用去括号法则以及合并同类项的法则，并注意乘法分配律的使用。
例3.化简（8xy－3x2）－5xy－3（xy－2x2+3）
分析：
本题是一道综合化简题，首先要根据去括号法则去括号，然后再根据合并同类项的法则合并同类项。
解：
（8xy－3x2）－5xy－3（xy－2x2+3）
=8xy－3x2－5xy－3xy+6x2－9
=3x2－9.
评注：
使
用乘法分配律注意不要漏乘括号内的项，括号前是“－”时，去括号应注意变号。
例4.化简3（x－y）－2（x+y）－5（x－y）+4（x+y）+3（x－y）
分析：
此题的一般解法是去括号，然后合并同类项，若按常规的方法，需去5个括号，计算较繁琐，若将（x+y），（x－y）各看作一整体，进行整体合并，则化简快捷方便。
解：
3（x－y）－2（x+y）－5（x－y）+4（x+y）+3（x－y）
=3（x－y）－5（x－y）+3（x－y）－2（x+y）+4（x+y）
评注：
整体思想是一种重要的数学思想，解题时应注意这种思想的应用。
3.代数式的求值
和求代数式的值有关的题目主要分两类：
一是直接代入求值，这类问题比较简单，常以选择或填空题的形式出现；二是先化简，后求值.这类问题比较常见。
例5.先化简，再计算：
（3a2－ab+7）－（5ab－4a2+7），其中a=2，b=
分析：
本题主要考查去括号及合并同类项.解决问题的基本步骤是先去括号，后合并同类项.去括号时，应注意去括号法则的应用。
解：
（3a2－ab+7）－（5ab－4a2+7）=3a2－ab+7－5ab+4a2－7=7a2－6ab
当a=2，b=
时，原式=28－4=24.
评注：
化简求值，一定要保证化简的正确性，否则，代入求值做的就是无用功了。
4.探索规律
探索规律型问题是考试的一个重点，常见的探索规律型问题与图案中的规律探索有关.解决规律探索问题，一般可采用归纳猜想的方法求解，然后进行特殊验证。
例6.如图2，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第
个图案中白色瓷砖的块数为_________块．
图2
分析：
观察第1个图案中白色瓷砖的块数为1+3+1=5块，第2个图案中白色瓷砖的块数为2+4+2=8块，第3个图案中白色瓷砖的块数为3+5+3=11块，依此规律可以得到第n个图案中白色瓷砖的块数为n+（n+2）+n=3n+2块。
解：
3n+2
评注：
探索规律型问题的解法有时比较多，可以从不同的角度思考问题，但结果都是一样的。
本题也可以从5，8，11，…数字之间的关系发现规律。
5.探究说理题
探究型问题是在代数式化简的基础上，通过对题目的变式提问等方式设计出来的一种题目，解决这类题目的关键还是代数式的化简。
例7.有一道题“先化简，再求值：
17x2－（8x2+5x）－（4x2+x－3）+（－5x2+6x+2006）－3，其中x=2006。
”小芬做题时把“x=2006”错抄成了“x=2060”。
但她计算的结果却是正确的，请你说明这是什么原因？
分析：
本题可通过将多项式进行去括号，合并同类项再进行说理。
实际上，当x=2006和x=2060时，多项式的值不变，说明合并同类项后，结果与x无关。
解：
17x2－（8x2+5x）－（4x2+x－3）+（－5x2+6x+2006）－3
=17x2－8x2－5x－4x2－x+3－5x2+6x+2006－3
=（17－8－4－5）x2+（－5－1+6）x+（3+2006－3）
=2006
由计算的结果不含字母x，可知此多项式的值与字母x的取值无关.所以小芬将x=2006错抄成x=2060时，计算的结果不变。
评注：
与代数式有关的说理型问题，主要是通过代数式的化简进行说理的.正确的化简是说理的基础。
6.用字母表示数的实际应用
对于有关的实际问题，可以通过用字母表示数，得到有关代数式，通过代数式的化简来解决问题。
例8.扑克牌游戏：
小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：
第一步：
分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌现有的张数相同；
第二步：
从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；
第三步：
从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；
第四步：
左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆.
这时，小明准确说出了中间一堆牌现有的张数.你认为中间一堆牌现有的张数是张。
分析：
因为第一步各堆牌的张数相同，所以可设为n张，则第二步后左边一堆为（n－2）张，中间一堆为（n+2）张；第三步后，中间有（n+2+1）张；第四步，中间一堆为（n+3）－（n－2）=5（张）。
解：
5
评注：
本题是字母表示数的思想方法应用的重要展现，在解决实际问题时注意对这种思想方法的应用。
【模拟试题】（答题时间：
70分钟）
考点1：
列代数式
一.选择题
1.下面的代数式中，书写表达符合要求的是（）.
A．ab3B．
C．4
xy2D．x+y克
2．如果a是有理数，则下面的代数式始终有意义的是（）.
A．
B．
C．
D．
3．用代数式表示“x的2倍与y的平方的差”正确的是（）.
A．（2x－y）2B．x－2y2C．2x2－y2D．2x－y2
4．a是一个两位数，b是一个一位数，如果把b放在a的左边组成一个三位数，则这个三位数表示为（）.
A．100b+aB．100a+bC．10b+aD．10a+b
5．从山顶到山脚共s千米，某人上山用了a小时，下山用了b小时，那么这人在往返过程中的平均速度表示为（）.
A．
千米/小时B．
千米/小时
C．
（
+
）千米/小时D．（
+
）千米/小时
二．填空题
6．两个数之和为100，其中一个用x表示，那么另一个数表示为______，它们的积表示为___________。
7．体育用品商店的老板进了某种型号的篮球10个，另一种型号
的足球20个，已知这种篮球的进价是a元/个，足球的进价是b元/个，那么老板共用去了________元钱。
8．小明家去年总收入为x元，今年的总收入比去年提高了20％，则今年总收入是________元。
9.如图1，阴影部分的面积表示为__________。
图1
10．一棵小树苗，刚栽下时高1.5米，以后每年长0.6米，则n年后树高为________米。
三．解答题
11．将左边的语句与右边的式子用线连接起来。
①a与b的平方和A.
②a与b和的倒数B.a2－b2
③a与b的差的平方C.（a+b）2
④a与b的和的平方D.
⑤a与b的倒数的和E.a2+b2
⑥a与b的平方差F.（a－b）2
12．某生活小区有一块长为am，宽为bm的长方形绿地，现打算在绿地中建两条小径，如图2所示，那么建好小径后，陆地的面积用代数式表示为多少？
13.某一个电影院内共有50排座位，第一排座位有25个，以后每一排比它的前一排多一个座位。
（1）请求出第10排有多少个座位？
（2）请表示出第n排（n是不超过50的正整数）的座位数。
考点2：
求代数式的值
一.选择题
1.已知x的相反数是－2，y的倒数是2，那么代数式x2+y2+2xy的值是（）.
A.0B.16C.
D.
2.下列说法：
①代数式a2+b2的值一定是非负数，②代数式（a+b）2的值一定是非负数；③a2－b2的值一定是非负数，其中正确的有（）.
A.①②B.①③C.②③D.①②③
3.当x分别等于1和－1时，多项式x4+2x2+5的值（ ）.
A.互为相反数B.互为倒数
C.相等D.异号
4.已知|x|=5，|y|=4，且x+y＜0，那么xy的值等于（）.
A.20B.－20C.20或－20D.以上答案都不对
5.已知y=ax5+bx3+cx，当x=2时，y=100；则当x=－2时，y的值为（）.
A.－100B.－98C.－102D.98
二.填空题
6.当代数式3x2－2x－4的值为2时，
的值为_________。
7.小明今年m岁，他爷爷的岁数是他的5倍，那么5年后，爷爷的年龄是______岁。
8.12世纪，数学家斐波拉契提出了有名的“兔子繁殖问题”，经研究得到一列数：
1，1，2，3，5，8，13，x，34，55，y，z，…，根据你的观察，计算出2y+x－z=____。
9.两个圆的直径之和为10㎝，其中一个圆的半径为r㎝，则另一个圆的周长为__________㎝。
10.已知a+b=10，ab=－11，那么5a+5b－2ab的值为_________。
三.解答题
11.用火柴棒搭了如图3的一些图形。
（1）填表
第n个图形
①
②
③
火柴棒根数
（2）用含有n的代数式表示第n个图形中火柴棒的根数。
12.某商店出售一批水果，最初以每箱a元的价格出售m箱；后来每箱降价了b元，又售出m箱；最后剩下的30箱以c元每箱的价格售完。
（1）用代数式表示这批水果共卖了多少元？
（2）如果这批水果每箱的进价为20元，试计算当m=20，a=35，b=7，c=22时，该店共赚了多少元？
考点3：
合并同类项及去括号法则
一.选择题.
1.下列式子中正确的是（）.
A.3ab－2ba=abB.3xy2－2xy2=1
C.15x+5x3=20x4D.a2+a2=a4
2.下列各组整式中，不是同类项的是（）.
A.3a2b与－2ba2B.22a3b与22b3a
C.ab2c3与104ab2c3D.－3a2b与23ba2
3.下列各式中去括号正确的是（）.
A.a－2（2b－3c+d）=a－4b－3c+d
B.a－2（2b－3c+d）=a－2b+3c－d
C.a－2（2b－3c+d）=a－4b+6c+2d
D.a－2（2b－3c+d）=a－4b+6c－2d
4.若多项式3x2+
xy与3y2－3axy+5的和中不再会有xy的项，则a的值为（）。
A.1B.－1C.
D.－
5.一个长方形的一边长是2a+3b，另一边长是a+b，则这个长方形的周长是（）.
A.12a+16bB.6a+8bC.3a+4bD.以上都不对
二.填空题：
6.代数式－5xy2z3的系数是______，次数是________。
7.若－2x
y6与3xy
是同类项，则m=_______，n=_________。
8.代数式a－2b－3c的相反数是_________。
9.若M=－5a+3b，N=2a－7b，则M+N=_________，M－N=__________。
10.在下面的括号内填入适当的式子，使从左到右的变形是正确的：
x－2y+3z－4p=x+（_________）=x－（_________）=x－2（_________）。
三.解答题
11.先化简，再求值：
（8a2－9a）－2（1－5a+4a2），其中a=－2。
12.三角形的一边长为（2x2－3x－4）㎝，另一边长是（x2+x+1）㎝，第三边长是这两边差的2倍，求这个三角形的周长。
考点4：
整式的加减法及应用
一.选择题：
1.一个多项式减去x2—2y2等于x2+y2，则这个多项式是（）。
A.2x2－y2B.－2x2－y2C.x2－2y2D.－x2+2y2
2.已知－x+2y=3，则3（x－2y）2－4（x－2y）－1的值为（）。
A．24B．25C．38
D．39
3.
与A的和是x，则A表示的式子是（）.
A.
B.－
C.
D.－
4.如果用a、b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，交换这个两位数的十位数字和个位数字后，得到一个新的两位数，这两个两位数的差一定能够（）。
A.被6整除B.被9整除C.被10整除D.被11整除
5.要使（ax2－2xy+y2）－（－x2+bxy+4y2）=5x2—6xy+cy2始终成立，则a、b、c的值分别是（）。
A.4，4，3B.－4，4，－3C.4，－4，－3D.4，4，－3
二.填空题
6.某个学习小组中12岁的学生有a人，13岁的学生有b人，14岁的
学生有c人，那么这个小组的平均年龄是_________。
7.一个三位数，十位数字为x，百位数字比十位数字的2倍少3，个位数字比十位数字多2，那么这个三位数表示为_________。
8.如果A=m－n，B=n－p，并且A+B+C=0，则C=_________。
9.图4中阴影部分的面积为_________。
10.已知甲、乙两
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