七年级数学寒假专题代数式3.docx

1、七年级数学寒假专题代数式3七年级数学寒假专题代数式【本讲教育信息】一. 教学内容： 寒假专题代数式1理解字母表示数的重要意义以及代数式的意义，会根据实际问题列代数式，会求代数式的值，能解释代数式的值所表示的实际意义。2理解同类项、合并同类项的意义，掌握合并同类项的法则，并能正确合并同类项、根据合并同类项化简求值。3掌握去括号的法则，并能根据去括号的法则进行代数式的化简与求值。4进一步熟悉计算器的使用，能借助计算器探索数量关系，解决某些实际问题。5会用代数式表示简单问题中的数量关系，能用合并同类项、去括号等法则验证所探索的规律。二. 学习重难点： 1重点：列代数式，根据代数式化简求值，根据图形进

2、行规律探索。2难点：根据代数式说出它所表示的实际意义，利用去括号法则去括号以及探索图形中的规律问题。3主要考点：（1）根据实际问题列代数式；（2）代数式的化简求值；（3）探索规律三. 知识要点讲解：（一）明确代数式的特征代数式是一个非常重要的概念，它贯穿于初中代数的始终，我们可以看出代数式的三个特征：1代数式是用运算符号把数和表示数的字母连结而成的。如：3a、a+b等。 2单独一个数或一个字母也是代数式。如：7、x等。 3代数式中是不含等号的。运算律、公式，它们都是以等号形式出现的，应该说，这些等式的左、右两边，各是一个代数式。如：S=ab，它是用等号把代数式S与ab连结起来而成为公式，所以S

3、=ab不是代数式，而是公式。（二）注意代数式的书写格式 1代数式中出现的乘号，通常简记作“”或省略不写。数字和数字相乘，乘号不能省略；数字和字母相乘，可以省略乘号，但数字必须写在字母前面，如：a2可记作2a，不能写成a2；字母和字母相乘时，除可省略乘号外，一般习惯按英文字母表示的自然顺序来书写，如：yx2，可简记为2xy。2带分数和字母相乘时，若要省略乘号，须把带分数化成假分数，如：x，记作，不能写成，另外，当一个因数是1时，通常省略不写，如1a，不能写成1a，而应记作a。3代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写，如：st应记作，ah2记作。4写代数式的答案时，若是乘、除关系的，单位名

4、称直接写在式子的后面，如：正方形面积是12a平方厘米，无需加括号；若是加减关系时，必须把式子用括号括起来，再写单位，如：三角形的周长是（a+b+c）米。（三）掌握列代数式的要点列代数式就是把问题中与数量关系相关的语句，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来。 首先弄清问题中的数量关系，如：和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、增加到、减少到、增加了、减少了等，并把这些语言转化为算式。 其次是弄清问题中的运算顺序，特别是注意括号的运用。 最后要明确列代数式与小学的算术列式类似，所不同的是把数改为表示数的字母来列式。例1. 设甲数为x，用代数式表示乙数（1）乙数比甲数的2倍小3；（2）乙数比甲数

5、大16，解：（1）中的甲数转化为“x”，“小”转化为运算符号“”，先表示甲数的2倍2x，再表示比2x小3的数是2x3。 （2）中甲数的16即为：16x，“大”转化为运算符号“+”，即“x+16x 或（1+16）x。例2. 设甲数为x，乙数为y，用代数式表示（1）甲乙两数的平方和（即平方的和）。（2）甲乙两数的和与甲乙两数的差的积。解：（1）中就是：甲数的平方+乙数的平方，注意先平方后和，即x2+y2。（2）中就是：（甲数+乙数）（甲数乙数），注意先算和、差，再相乘，和、差要添括号，即（x+y）（xy）。（四）准确求出代数式的值一般地，把用数值代替代数式里的字母，按照代数式中指明的运算，计算出的

6、结果，叫做代数式的值，在这个概念中，实际上也指出了求代数式的值的方法，即一是代入、二是计算，当代数式中有多个字母时，代入值不要混淆，式中的同一个字母其值应该是相同的，在进行运算时，既要分清运算的种类，又要注意运算顺序。某些求代数式的值的题目，没有直接给出代数式中相关字母的值，而是给出某种关系，这时要认真仔细观察题目特征，运用整体代换的方法来进行求值。例3. 若代数式2x+3y+7的值是8，那么4x+6y+10的值是多少?解：本题没有给出x、y的值，而是已知2x+3y+7=8，这时易知2x+3y=1，然后再观察4x+6y+10这个代数式，其式中的4x+6y正好是2x+3y的2倍，即4x+6y=2

7、（2x+3y），所以4x+6y=2，此时4x+6y+10的值就是2+10=12了。（五）会应用代数式解决实际问题 应用数学知识解决实际问题是学习数学的目的，灵活应用代数式，可以解决许多实际问题。例4. 用a米长的篱笆材料，在空地上围成一个绿化场地。现有两种设计方案：一种是围成正方形的场地；另一种是围成圆形的场地。试问选用哪一种方案，围成的场地面积较大?并说明理由。解：设S1、S2分别表示围成的正方形场地和圆形场地的面积，则4，S2S1，故应选用围成圆形场地的方案，它的面积较大。例5. 暑假里父亲、儿子、女儿准备外出旅行，咨询时了解到，甲旅行社规定：大人买一张全票，两个孩子的费用可按全票价的一半

8、优惠；乙旅行社规定：三人旅行可按团体票计价，即按原价的60收费。已知两个旅行社的原价相同，问选择哪个旅行社，能多省钱?解：设两个旅行社的原票价为a（a0）元，则甲旅行社的收费为a+20.5a=2a（元），乙旅行社的收费为360a=1.8a（元）。因为2a1.8a，所以选择乙旅行社能多省钱。（六）在列代数式中培养创新能力“创新是一个民族的灵魂。”我们每个中学生都应具有创新意识，在数学学习中创新，就是要对自然界和社会中的数学现象具有好奇心，会从数学的角度发现和提出问题，并加以探索和解决。例6. 给出下列算式：3212=8=81，5232=16=827252=24=83，9272=32=84观察上面

9、一系列等式，你能发现什么规律?用代数式表述这个规律。分析：观察可知左边是连续奇数的平方差（大数减小数），右边是8的倍数，其规律可用代数式表述为 （2n+1）2（2n1）2=8n（n为自然数）。例7. 问题：你能很快算出19952 吗?为了解决这个问题，我们考察个位数为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可用代数式表示为10n+5，问题即转化求（10n+5）2 的值（n为自然数），试分析n=1，n=2，n=3，这些简单情况，从中探索其中的规律，并归纳、猜想出结论（在下面横线上填上你的探索结果）。（1）通过计算，探索规律：152=225，可写成1001（1+1）+25，252=625，可写

10、成1002（2+1）+25，352=1225，可写成1003（3+1）+25，452=2025，可写成1004（4+1）+25，752=5625，可写成_。852=7225，可写成_。（2）从第（1）题的结果，归纳、猜想得：（10n+5）2=_。（3）根据上面的归纳、猜想，请算出：19952=_解：（1）l007（7+1）+25，1008（8+1）+25；（2）100n（n+1）+25，n为自然数；（3）100199（199+1）+25=3980025。本例的实质是先用代数式表示出一般情况，再求特殊情况下代数式值的计算规律，归纳出一般性结论，再求这个一般性结论中代数式的值，体现了“特殊 一般

11、特殊”的思想方法，这正是用字母代数 （从特殊到一般）后再求代数式的值（从一般到特殊）这种思想方法的反复应用。发现是创新的前提，以上两例要求同学们从具体、特殊的事例中探究其存在的规律，并把潜藏在现象中的本质挖掘出来，并用代数式加以表示。规律被找出，即是完成了一个创新过程。 四. 思想方法1代数思想：用字母表示数，并让字母和数一样参加运算是数学中重要的思想方法.在解决一些实际问题时，通过用字母表示某些量进行计算，可使运算非常简捷。2分类思想：字母可以表示正数，也可以表示负数或0，在具体的求值中，如果没有明确字母的具体取值，则需要对字母的取值分类讨论。在求代数式的值或比较代数式的值的大小时，应注意分

12、类思想的应用。3整体思想：代数式的化简，有时可以从整体的角度思考问题，即将局部放在整体中去观察分析探究问题的解决方法，从而使问题得以简捷巧妙解决。在代数式的化简中应注意这种数学思想的应用。【典型例题】1列代数式和列代数式有关的题目主要包含以下几点：根据实际问题列代数式；用代数式解决实际问题；已知代数式，从实际问题角度出发说出代数式所能表示的实际问题。解决问题的关键是理解题目中的数量关系，注意一些公式的应用。例1. 如图1，某长方形广场的四个角都有一块半径相同的四分之一圆形的草地，若圆形的半径为r米，长方形的长为a米，宽为b米.则空地面积用代数式表示为_。图1 分析：本题是一道数形结合题，要用代

13、数式表示空地的面积，观察图形可知：空地的面积等于长方形的面积减去四个四分之一圆的面积，也就是长方形的面积减去一个半径为r米的圆的面积.因为长方形的面积为ab平方米，圆的面积为平方米，所以空地的面积为（ab）平方米。 解：（ab）评注：根据图形中的数量关系列代数式也是一个重要类型，解决此类问题需要了解图形的一些特征，如长方形的面积的公式，圆的面积的公式等。 例2. 代数式的两个实际意义是： ， 。 分析：此类问题的答案较多，只要能用代数式表达出实际意义即可.如：大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，大正方形与小正方形的面积差是多少.再如，摩托车每辆m元，自行车每辆n元，m辆摩托车比n辆自行车贵

14、多少钱。 解：略 评注：说出代数式的实际意义，一定要注意所写的实际问题要有意义.能够和代数式相吻合。2. 代数式的化简 与代数式的化简有关的题目主要涉及先去括号，再合并同类项.解决问题的关键是正确使用去括号法则以及合并同类项的法则，并注意乘法分配律的使用。例3. 化简（8xy3x2）5xy3（xy2x2+3）分析：本题是一道综合化简题，首先要根据去括号法则去括号，然后再根据合并同类项的法则合并同类项。 解：（8xy3x2）5xy3（xy2x2+3）=8xy3x25xy3xy+6x29=3x29.评注：使用乘法分配律注意不要漏乘括号内的项，括号前是“”时，去括号应注意变号。例4. 化简3（xy）

15、2（x+y）5（xy）+4（x+y）+3（xy）分析：此题的一般解法是去括号，然后合并同类项，若按常规的方法，需去5个括号，计算较繁琐，若将（x+y），（xy）各看作一整体，进行整体合并，则化简快捷方便。解：3（xy）2（x+y）5（xy）+4（x+y）+3（xy）=3（xy）5（xy）+3（xy）2（x+y）+4（x+y）评注：整体思想是一种重要的数学思想，解题时应注意这种思想的应用。3. 代数式的求值 和求代数式的值有关的题目主要分两类：一是直接代入求值，这类问题比较简单，常以选择或填空题的形式出现；二是先化简，后求值.这类问题比较常见。例5. 先化简，再计算： （3a2ab+7）（5ab

16、4a2+7），其中a=2，b=分析：本题主要考查去括号及合并同类项.解决问题的基本步骤是先去括号，后合并同类项.去括号时，应注意去括号法则的应用。解：（3a2ab+7）（5ab4a2+7）=3a2ab+75ab+4a27=7a26ab当a=2，b=时，原式=284=24. 评注：化简求值，一定要保证化简的正确性，否则，代入求值做的就是无用功了。4. 探索规律探索规律型问题是考试的一个重点，常见的探索规律型问题与图案中的规律探索有关.解决规律探索问题，一般可采用归纳猜想的方法求解，然后进行特殊验证。例6. 如图2，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第个图案中白色瓷砖的块数为_块图2分析：观察第1个图

17、案中白色瓷砖的块数为1+3+1=5块，第2个图案中白色瓷砖的块数为2+4+2=8块，第3个图案中白色瓷砖的块数为3+5+3=11块，依此规律可以得到第n个图案中白色瓷砖的块数为n+（n+2）+n=3n+2块。解：3n+2评注：探索规律型问题的解法有时比较多，可以从不同的角度思考问题，但结果都是一样的。本题也可以从5，8，11，数字之间的关系发现规律。5. 探究说理题探究型问题是在代数式化简的基础上，通过对题目的变式提问等方式设计出来的一种题目，解决这类题目的关键还是代数式的化简。 例7. 有一道题“先化简，再求值：17x2（8x2+5x）（4x2+x3）+（5x2+6x+2006）3，其中x=

18、2006。”小芬做题时把“x=2006”错抄成了“x=2060”。但她计算的结果却是正确的，请你说明这是什么原因？分析：本题可通过将多项式进行去括号，合并同类项再进行说理。实际上，当x=2006和x=2060时，多项式的值不变，说明合并同类项后，结果与x无关。解：17x2（8x2+5x）（4x2+x3）+（5x2+6x+2006）3=17x28x25x4x2x+35x2+6x+20063=（17845）x2+（51+6）x+（3+20063）=2006由计算的结果不含字母x，可知此多项式的值与字母x的取值无关.所以小芬将x=2006错抄成x=2060时，计算的结果不变。评注：与代数式有关的说理

19、型问题，主要是通过代数式的化简进行说理的.正确的化简是说理的基础。6. 用字母表示数的实际应用对于有关的实际问题，可以通过用字母表示数，得到有关代数式，通过代数式的化简来解决问题。例8. 扑克牌游戏：小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：第一步：分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌现有的张数相同；第二步：从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；第三步：从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；第四步：左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆.这时，小明准确说出了中间一堆牌现有的张数.你认为中间一堆牌现有的张数是 张。分析：因为第一步各堆牌的张数相同，所以可设为n张，则第二步后左边一堆

20、为（n2）张，中间一堆为（n+2）张；第三步后，中间有（n+2+1）张；第四步，中间一堆为（n+3）（n2）=5（张）。 解：5评注：本题是字母表示数的思想方法应用的重要展现，在解决实际问题时注意对这种思想方法的应用。【模拟试题】（答题时间：70分钟）考点1：列代数式一. 选择题1. 下面的代数式中，书写表达符合要求的是（ ）. Aab3 B C4xy2 Dx+y克2如果a是有理数，则下面的代数式始终有意义的是（ ）. A B C D3用代数式表示“x的2倍与y的平方的差”正确的是（ ）. A（2xy）2 Bx2y2 C2x2y2 D2xy24a是一个两位数， b是一个一位数，如果把b放在a的

21、左边组成一个三位数，则这个三位数表示为（ ）. A100b+a B100a+b C10b+a D10a+b 5从山顶到山脚共s千米，某人上山用了a小时，下山用了b小时，那么这人在往返过程中的平均速度表示为（ ）. A千米/小时 B千米/小时C（ +）千米/小时 D（ +）千米/小时二填空题6两个数之和为100，其中一个用x表示，那么另一个数表示为_，它们的积表示为_。7体育用品商店的老板进了某种型号的篮球10个，另一种型号的足球20个，已知这种篮球的进价是a元/个，足球的进价是b元/个，那么老板共用去了_元钱。8小明家去年总收入为x元，今年的总收入比去年提高了20，则今年总收入是_元。9. 如

22、图1，阴影部分的面积表示为_。图110一棵小树苗，刚栽下时高1.5米，以后每年长0.6米，则n年后树高为_米。三解答题11将左边的语句与右边的式子用线连接起来。a与b的平方和 A. a与b和的倒数 B. a2b2a与b的差的平方 C. （a+b）2a与b的和的平方 D. a与b的倒数的和 E. a2+b2a与b的平方差 F. （ab）212某生活小区有一块长为am，宽为bm的长方形绿地，现打算在绿地中建两条小径，如图2所示，那么建好小径后，陆地的面积用代数式表示为多少？13. 某一个电影院内共有50排座位，第一排座位有25个，以后每一排比它的前一排多一个座位。（1）请求出第10排有多少个座位？

23、 （2）请表示出第n排（n是不超过50的正整数）的座位数。考点2：求代数式的值一. 选择题1. 已知x的相反数是2，y的倒数是2，那么代数式x2+y2+2xy的值是（ ）.A. 0 B. 16 C. D. 2. 下列说法：代数式a2+b2的值一定是非负数，代数式（a+b）2的值一定是非负数；a2b2的值一定是非负数，其中正确的有（ ）. A. B. C. D. 3. 当x分别等于1和1时，多项式x4+2x2+5的值（）.A. 互为相反数 B. 互为倒数 C. 相等 D. 异号4. 已知|x|=5，|y|=4，且x+y0，那么xy的值等于（ ）. A. 20 B. 20 C. 20或20 D.

24、以上答案都不对5. 已知y=ax5+bx3+cx，当x=2时，y=100；则当x=2时，y的值为（ ）. A. 100 B. 98 C. 102 D. 98二. 填空题6. 当代数式3x22x4的值为2时，的值为_。7. 小明今年m岁，他爷爷的岁数是他的5倍，那么5年后，爷爷的年龄是_岁。8. 12世纪，数学家斐波拉契提出了有名的“兔子繁殖问题”，经研究得到一列数：1，1，2，3，5，8，13，x，34，55，y，z，根据你的观察，计算出2y+ xz=_。9. 两个圆的直径之和为10，其中一个圆的半径为r，则另一个圆的周长为_。10. 已知a+ b=10，ab=11，那么5 a+5 b2 a

25、b的值为_。三. 解答题11. 用火柴棒搭了如图3的一些图形。（1）填表第n个图形火柴棒根数（2）用含有n的代数式表示第n个图形中火柴棒的根数。12. 某商店出售一批水果，最初以每箱a元的价格出售m箱；后来每箱降价了b元，又售出m箱；最后剩下的30箱以c元每箱的价格售完。（1）用代数式表示这批水果共卖了多少元？（2）如果这批水果每箱的进价为20元，试计算当m=20，a=35，b=7，c=22时，该店共赚了多少元？考点3：合并同类项及去括号法则 一. 选择题.1. 下列式子中正确的是（ ）. A. 3ab2ba= ab B. 3xy22xy2=1C. 15x+5x3=20x4 D. a2+a2=

26、a4 2. 下列各组整式中，不是同类项的是（ ）. A. 3a2b与2ba2 B. 22a3b与22b3a C. ab2c3与104ab2c3 D. 3a2b与23ba23. 下列各式中去括号正确的是（ ）. A. a2（2b3c+d）=a4b3c+dB. a2（2b3c+d）=a2b+3cdC. a2（2b3c+d）=a4b+6c+2dD. a2（2b3c+d）=a4b+6c2d4. 若多项式3x2+xy与3y23axy+5的和中不再会有xy的项，则a的值为（ ）。A. 1 B. 1 C. D. 5. 一个长方形的一边长是2a+3b，另一边长是a+b，则这个长方形的周长是（ ）.A. 12a

27、+16b B. 6a+8b C. 3a+4b D. 以上都不对二. 填空题：6. 代数式5xy2z3的系数是_，次数是_。7. 若2xy6与3xy是同类项，则m=_，n=_。8. 代数式a2b3c的相反数是_。9. 若M=5a+3b，N=2a7b，则M+N=_，MN=_。10. 在下面的括号内填入适当的式子，使从左到右的变形是正确的：x2y+3z4p=x+（_）=x（_）=x2（_）。三. 解答题11. 先化简，再求值：（8a29a）2（15a+4a2），其中a=2。12. 三角形的一边长为（2x23x4），另一边长是（x2+x+1），第三边长是这两边差的2倍，求这个三角形的周长。考点4：整式

28、的加减法及应用一. 选择题：1. 一个多项式减去x22y2等于x2+y2，则这个多项式是（ ）。A. 2x2y2 B. 2x2y2 C. x22y2 D. x2+2y22. 已知x+2y=3，则3（x2y）24（x2y）1的值为（ ）。A24 B25 C38 D393. 与A的和是x，则A表示的式子是（ ）. A. B. C. D. 4. 如果用a、b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，交换这个两位数的十位数字和个位数字后，得到一个新的两位数，这两个两位数的差一定能够（ ）。A. 被6整除 B. 被9整除 C. 被10整除 D. 被11整除5. 要使（ax22xy+y2）（x2+bxy+4y2）=5x26xy+cy2始终成立，则a、b、c的值分别是（ ）。A. 4，4，3 B. 4，4，3 C. 4，4，3 D. 4，4，3二. 填空题6. 某个学习小组中12岁的学生有a人，13岁的学生有b人，14岁的学生有c人，那么这个小组的平均年龄是_。7. 一个三位数，十位数字为x，百位数字比十位数字的2倍少3，个位数字比十位数字多2，那么这个三位数表示为_。8. 如果A=mn，B=np，并且A+B+C=0，则C=_。9. 图4中阴影部分的面积为_。10. 已知甲、乙两