重积分及其计算和多重积分.docx
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重积分及其计算和多重积分
重积分和多重积分方法
n维空间中去.同样可以给出一列类似的结论
在第三节中我们讨论了二重积分，本节将之推广到一般的
类似于第三节,我们先定义一个R3中集合的可求体积性读者自己推广.这里将不再赘述.
引例
设一个物体在空间R3中占领了一个有界可求体积的区域
V，它的点密度为
x,y,z，
现在要求这个物体的质量．假设密度函数是有界的连续函数，可以将区域V分割为若干个
可求体积的小区域V1,V2,...,Vn，其体积分别是y,V2,…，Vn，直径分别是d1,d2,...,dn,即disup{|WQ||W,QVi},（i=1,2,…，n）,|WQ|表示W,Q两点的距离.设
max{d1,d2,...,dn}，则当很小时，fx,y,z在V上的变化也很小.可以用这个小区域上的任意一点xi,yi,zi的密度fxi,yi,zi来近似整个小区域上的密度，这样我们可以求得这个小的立体的质量近似为fXj,yj,ZjVi，所有这样的小的立体的质量之和即为这个物体的质量的一个近似值.即
n
Mfxi,yi,ziVi.
i1
当0时，这个和式的极限存在，就是物体的质量.即
n
Mlim0fxi,yi,ziVi.
0i1
从上面的讨论可以看出，整个求质量的过程和求曲顶柱体的体积是类似的，都是先分割，再求和，最后取极限.所以我们也可以得到下面一类积分.
二、三重积分的定义
设fx,y,z是空间R3中的一个有界可求体积的闭区域V上的有界函数，将V任意分割为若干个可求体积的小闭区域Vj’Vz,…,Vn，这个分割也称为V的分划，记为P:
V1,V2,...,Vn.Vi0Vjo（空，ij）,其体积分别是Vi,V2,…，Vn，直径分别是di,d2,…，dn.设
max{di,d2,…，dn},或记为||P||.在每个小区域中任意取一点Xi,yi,ZiV，作和
n
fxi,yi,ziVi（称为Riemann和），若当0时，这个和式的极限存在，则称其极
限为函数fx,y,z在区域V上的三重积分，记为fx,y,zdV.并称函数fx,y,z在
V
区域V上可积.fx,y,z称为被积函数,x,y,z称为积分变量.,V称为积分区域.
特别地，在直角坐标系下，可以记为fx,y,zdxdydz.
V
我们同样可以引入Darboux大,小和来判别可积,也有同样的结论（略）.
1•若fx,y,z是有界闭区域V上的连续函数，则函数fx,y,z在区域V上可积.
2.若fx,y,z=1时，dxdydzV的体积.
V
3.若fx,y,z在有界闭区域V上的间断点集合是0体积时，fx,y,z在V可积.
三重积分有着与二重积分类似的性质•下面简单叙述一下.
1.可积函数的和（或差）及积仍可积.和（差）的积分等于积分的和（差）.
2•可积函数的函数k倍仍可积.其积分等于该函数积分的k倍.
3•设是可求体积的有界闭区域，fx,y,z在上可积，分为两个无共同内点的
可求体积的闭区域1,2之并，则fx,y,z在仆2上可积，并有
fx,y,zdVfx,y,zdVfx,y,zdV.
12
三、三重积分的计算
方法同二重积分一样，我们这里给出三重积分的计算方法，理论上的证明读者自己完成
1.利用直角坐标系计算三重积分
先给一个结论.
定理12.14若函数fx,y,z
是长方体V=[a,b]x[c,d]x[e,h]上的可积，记D=[c,d]x[e,h],
也存在，且fx,y,zdV
V
b
dxfx,y,zdydz
aD
bd
dx
ac
h
dyfx,y,zdz.
e
对任意x€[a,b],二重积分
这时右边称为三次积分或累次积分，即三重积分化为三次积分证明分别中[a,b],[c,d],[e,h]插入若干个分点
ax0x1x2
Xnb;
cyoyiy2
ym
eZoZiZ2Zsh
作平面xXj,yyj,zZk,（i=0,1,2,…，n;,ji=0,1,2,…,m;k=0,1,2,…，s,）得到V的一个分
划P.令Vijk[Xi1,Xi][yj1,yj][Zk1,Zk],（i=1,2，…，n;,ji=1,2,-,m;k=1,2,…,s,）,Mjk,mOk分别是fx,y,z在v*上的上，下确界•那么在Djk[yj1,yj][Zk1,Zk]上有
mjkyjZkf（i,y,z）dydzM咏yjZk
Djk
其中△Xi,=X-Xi-i,△yj,=yj-yj-1,△zk,=zk-zk-i,（i=1,2,…,n;,ji=1,2，…,m;k=1,2,…,s,）.
f（i,y,z）dydzf（i,y,z）dydz1（J
j，kDjkD
n
mijkXiyjZkI（i）XiMjkXiyjZk
i,j,ki1i,j,k
h
若函数fx,y,z在V上的可积，那么fx,y,zdVdzfx,y,zdxdy.
VeDz
设函
F面给出一般三重积分的具体计算方法，理论证明读者可参照二重积分自己完成.
图12-4-2
.V=矽
Jz
数f（x,y,z）在有界闭区域上连
续，我们先讨论一种比较特殊的情况.{xy,z|x,yD,Z|x,yzz>x,y}，其中
Dxy为在xoy平面上的投影，且Dxy{x,y|axb,ydx）yy2x}.如图12.
我们现在z轴上做积分，暂时将x,y看成是常数•把函数fx,y,z看作是z的函数，
将它在区间［乙x,y,Z2x,y］上积分得到
zx,y
fx,y,zdz.
Zix,y
显然这个结果是x,y的函数，再把这个结果在平面区域Dxy上做二重积分
Z2x,y
fx,y,zdzdxdy.
Zix,y
Dxy
Dxy可以用不等式
在利用二重积分的计算公式便可以得到所要的结果•若平面区域
axb,yixyy?
x表示，则
by2xZ2x,y
fx,y,zdVdxdyfx,y,zdz.
yixZix,y
a
这个公式也将三重积分化为了三次积分.
如果积分区域是其他的情形，可以用类似的方法计算.
例1计算三重积分xdV，其中是由三个坐标面和平面xyz1所围的立体区
域.
解积分区域如图所示，可以用不等式表示为
0x1,0
y1
x,0
z
1xy,
1M
所以积分可以化为
1/
-bV+—1
11
x1
xy
x
xdVdx
00
dy
J0
xdz
X
11
x
/1
dx
00
x1
xydy
1丫
11,
2
dx
/
-x1
02
x
1
AJf
图12-4-3
14
13
12
1
-x
-x
—x
—
8
3
4
0
24
四、三重积分的积分变换
和二重积分的积分变换一样，有如下的结果：
定理12.15设V是uvw空间R3中的有界可求体积的闭区域，T:
x=x（u,v,w）,y=y（u,v,w）,
z=z（u,v,w），是V到xyz空间R3中的一一映射，它们有一阶连续偏导数，并且
uvzy_yyuvzzzz
如果f（x,y,z）是T（V）上的可积函数，那么
在R3中有两种重要的变换柱面坐标和球面坐标
1.利用柱面坐标计算三重积分
前面我们可以看到，由于积分区域与被积函数的特点，二重积分可以用极坐标来计算.同
样对于三重积分可以用柱面坐标和球面坐标计算•我们先讨论用柱面坐标来计算三重积分.
设空间中有一点Mx,y,z，其在坐标面xoy上的投影点M'的极坐标为r,，这样
三个数乙r,就称为点M的柱面坐标（如图12-4-4）.
这里规定三个变量的变化范围是
0r
0
注意到，当r常数时，表示以z轴为中心轴的一个柱面.
当=常数时，表示通过z轴，与平面xoy的夹角为的半平面.
当z常数时，表示平行于平面xoy，与平面xoy距离为z的平面.
空间的点的直角坐标与柱面坐标之间的关系
即是
R3到R3的映射
x
rcos
y
rsin.
zz
（x,y,z）
cos
rsin
0
所以其
崖Jacobi为-
sin
rcos
0
r,
（r,,z）
0
0
1
故容易得到：
如果f（x,y,z）是R3中的有界可求体积的闭区域V上的可积函数，则
fx,y,zdVfrcos,rsin,zrdrddz,
VV
其中，变换前后区域都用V表示.
我们也可以从几何直观的意义来描述这个公式的由来
用三组坐标面rCi,Ci,zC3将积分区域划分为若干个小区域，考虑其中有代
表性的区域，如图12-4-5所示的区域可以看成是由底面圆半径为r和rdr两个圆柱面，极
角为和d的两个半平面，以及高度为z和zdz的两个平面所围成的.它可以近似的看作一个柱体，其底面的面积为rdrd，高为dz.所以其体积为柱面坐标下的体积元素，
即
dVrdrddz.
再利用两种坐标系之间的关系，可以得到
fx,y,zdVfrcos,rsin,zrdrddz.
VV
在柱面坐标下的三重积分的计算也是化为三次积分.
例2计算三重积分x2y2dV，其中是由椭圆抛物面z4x2y2和平面
z4所围成的区域.
解如图所示，积分区域
在坐标面xoy上的投影是一个圆心在原点的单位圆.所
角.为向量0M与z轴的夹角.如图12-4-7.规定三个变量的变化范围是
由一般的重积分变换公式容易得到：
如果f（x,y,z）是R3中的有界可求体积的闭区域V上的可积函数，则
2
fx,y,zdVfrsincos,rsinsin,rcosrsindrdd,
VV
其中，变换前后区域都用V表示.
用几何直观的意义可以如下理解：
已知f（x,y,z）闭区域V上的可积函数.
用三组坐标r常数，常数，常数，将积分区域V划分为若干个小的区域.考
虑其中有代表性的区域，此小区域可以看成是有半径为r和rdr的球面，极角为和
d的半平面，与中心轴夹角为和d的锥面所围成，它可以近似的看作边长分别
是dr,rd,rsind的小长方体，从而得到球面坐标系下的体积元素为
2
dVrsindrdd.
再由直角坐标系与球面坐标之间的关系，可以得到下面的公式
2
fx,y,zdVfrsincos,rsinsin,rcosrsindrdd
VV
围成的区域.
解在球面坐标下，积分区域可以表示为
{0ra,0,0}
所以
x2y2dVr2sin2r2sindrdd
d
a
d
4・3
rsindr
00
0
a
15
d
・3
sin
rd
00
50
5
13
45
a
cos
cos
a
5
30
15
与二重积分，三重积分一样可以定义一般n重积分•我们这里只是简单介绍.
当V是Rn中的有界闭区域.依照可求面积的方法定义V的可求“体积”或可测（略）.设
f（X1,X2,,…,xn,）是Rn中的有界可测闭区域V上的函数，任取V的分划P,,即把分成若干个
可测小区域V1,V2,,Vm,它们的”体积”或测度分别记为VV2,,Vm,当令
f（xi,X2,,…,xn,）在V上的n重积分，记为
f（Xi,X2,,Xn）dV或
V
特别当V=[ai,bi]x[a2,b2]x-x[an,bn]时,
n
f（Xi,X2,,Xn）dXidX2dXn.
V
f（Xi,X2,,Xn）dXidX2dXn
bib2bn
dXidX2f（Xi,X2,,Xn）dXn.
aia2an
V
nn
若V上有一一映射T
XiXi（Ui,U2,
Un）
T:
X2X2（Ui,U2,
Un），其每个分量的函数有连续偏导数,
XnXn（Ui,U2,
Un）
当V是有界可测区域，
f（xi,X2,,…,xn,）在T（V）上可积，并且Jacobi
那么
n
f（Xi,X2,,Xn）dXidX2dXn
Un）,,Xn（Ui,U2,
Un））
T（V）
f（Xi（Ui,U2,,Un）,X2（Ui,U2,
V
（Xi,X2,—,Xn）dUidU2dUn
（Ui,U2,,Un）
特别是Rn中的球坐标变换
T:
x1rcos1,x2rsin1cos
2,X3
rsin1sin
2cos
xn1rsin1sin
2sin3
sin
n2cosn1,
xnrsin
1sin
2sin3
sinn
2sinn1,
在Rn中，0r
01
2,3
n2
0n1
2.
这时的Jacobi是
X1
X1
X1
r
1
n1
（X1,X2,,Xn）
X2
X2
X2
n1・n2
・n
（r,1,,n1）
r
1
n1
rsin
1sin
Xn
Xn
Xn
r
1
n1
3,
3
2
同样可以得到相应的公式
n
sin
4求
X12
dX1dx2
dXn.
2
X2
Xn2R2
用球坐标.这时,0
R,0
0
2
X1
2
X2
2
Xn
dX1dx2
R2
dXn
R
drd
00
从而有
Rn
2
X1
其中
2
X2
2
Xn
R2
dx1dx2dxn
sin
R2m
m!
2R2m1
（2m1）!
sin
n
sin
sinn2dn1
xdx,k
1,2,
n
2m
（2）m
n
2m
习题12-4
1•设有物体占有空间V:
0x,y,z的密度是
x,y,z
xyz,求该物质量.
2.计算
xy2z3dxdydz,其中V是曲面zxy与平面y
x,xa和z0所围成的闭
区域.
3.计算
严爲，其中V是平面X
o,y
0,z0,xyz1所围成的
四面体.
4.计算
xyzdxdydz,其中V是球面x
2
z1及坐标面所围成的第一卦限内的
闭区域.
5.计算
xyzdxdydz,其中V是平面x
0,z
y,y1以及抛物柱面yx2所围成的
闭区域.
6.
计算
zdxdydz,其中V是曲面z
x2y2及z
X2y2所围成的闭区域.
7.
计算
（x2
y2）dv,其中V是x2
2z及平面z
2所围成的闭区域.
8.
计算
（x2
y2z2）dv,其中
V是球面
X2
z2
1所围成的闭区域.
9.
计算
zdv,其中V是由不等式
x2
a2
x2
z2所围成的闭
区域.
10.用三重积分计算下面所围体的体积
（1）
22j
z6xy及z,x
2
2az及x
z（含z轴部分）
11.计算
2yb2
2
勺dv,V：
c
2
x
2
a
2yb2
12.计算
（笃
V&1
2
X2
2
a2
2
—）dx1dx2an
dXn,V：
2
X1
2
◎
2
X2
2
a2
2
Xn1
21.an
13计算
（X1X2
V
xn）dx1dx2dxn,
V：
xi0,（i1,2,,n）,x1
X2
Xn
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