离散数学与网络分析与综合的联系.docx
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离散数学与网络分析与综合的联系
离散数学与网络分析与综合的联系
班级：
通信1103姓名：
张悦学号：
0909111903
一、引言：
离散数学（Discretemathematics）是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。
其内容包含：
数理逻辑、集合论、代数结构、图论、组合学、数论等。
随着信息时代的到来，工业革命时代以微积分为代表的连续数学占主流的地位已经发生了变化，离散数学的重要性逐渐被人们认识。
离散数学课程所传授的思想和方法，广泛地体现在计算机科学技术及相关专业的诸领域，从科学计算到信息处理，从理论计算机科学到计算机应用技术，从计算机软件到计算机硬件，从人工智能到认知系统，无不与离散数学密切相关。
本文将详细的介绍离散数学在信息科学中的应用。
信息科学专业主要学习电子信息科学与技术的基本理论和技术，受到科学实验与科学思维的训练，具有本学科及跨学科的应用研究与技术开发的基本能力。
本专业培养具备物理电子、光电子与微电子学领域内宽广理论基础、实验能力和专业知识，能在该领域内从事各种电子材料、元器件、集成电路、乃至集成电子系统和光电子系统的设计、制造和相应的新产品、新技术、新工艺的研究、开发等方面工作的高级工程技术人才。
它以电子器件及其系统应用为核心，重视器件与系统的交叉与融合，面向微电子、光电子、光通信、高清晰度显示产业等国民经济发展需求，培养在通信、电子系统、计算机、自动控制、电子材料与器件等领域具有宽广的适应能力、扎实的理论基础、系统的专业知识、较强的实践能力、具备创新意识的高级技术人才和管理人才，并掌握一定的人文社会科学及经济管理方面的基础知识，能从事这些领域的科学研究、工程设计及技术开发等方面工作。
主要课程：
电子线路、计算机语言、微型计算机原理、电动力学、量子力学、理论物理、固体物理、半导体物理、物理电子与电子学以及微电子学等方面的专业课程。
《离散数学》作为一个单独的分枝，在世界上出现的时间并不久，不过几十年，但它的各部分内容中有相当一部分却早已出现在数学中。
为什么将各个数学分支中的一些内容集中起来加以研究，并且冠上一个新的名称——离散数学呢？
这主要是因为计算机科学的产生和发展。
正如恩格斯所说：
“……科学的状况还更多的从属于技术的状况和需要。
倘若社会上有了一种技术上的需要，那就比十个大学还更能推动科学前进。
”
二、摘要
网络图论在布局和布线中有指导作用，把构成具有一定功能的电路所需的半导体、电阻、电容等元件及它们之间的连接导线全部集成在一小块硅片上，然后焊接封装在一个管壳内，使电子元件向着微小型化、低功耗和高可靠性方面迈进。
在缩小电子系统体积的同时，保持并提高系统的速度与性能成为摆程设计者面前的一个重要课题。
进行电路分析时,利用网络图论的方法,能简化运算过程,能把节点方程直接写出,使电路分析的系统化更加便捷。
最后根据平面图定理,通过对图的回路矩阵B进行检测,以判定图的平面性作了基本说明。
三、相关概念
集成电路（integratedcircuit,简称IC）是一种微型电子器件或部件。
采用一定的工艺，把一个电路中所需的晶体管、二极管、电阻、电容和电感等元件及布线互连一起，制作在一小块或几小块半导体晶片或介质基片上，然后封装在一个管壳内，成为具有所需电路功能的微型结构；其中所有元件在结构上已组成一个整体，使电子元件向着微小型化、低功耗和高可靠性方面迈进了一大步。
集成电路发明者为杰克·基尔比（基于硅的集成电路）和罗伯特·诺伊思（基于锗的集成电路）。
当今半导体工业大多数应用的是基于硅的集成电路。
集成电路是20世纪60年代初期发展起来的一种新型半导体器件。
它是经过氧化、光刻、扩散、外延、蒸铝等半导体制造工艺，把构成具有一定功能的电路所需的半导体、电阻、电容等元件及它们之间的连接导线全部集成在一小块硅片上，然后焊接封装在一个管壳内的电子器件。
其封装外壳有圆壳式、扁平式或双列直插式等多种形式。
集成电路技术包括芯片制造技术与设计技术，主要体现在加工设备，加工工艺，封装测试，批量生产及设计创新的能力上。
图论〔GraphTheory〕是数学的一个分支。
它以图为研究对象。
图论中的图是由若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用点代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有这种关系。
四、知识迁移（网络分析与综合）
1、基本概念
网络图论又称为网络拓扑学，适应用图的理论,对电路的结构及其连接性质进行分析和研究。
网络的图又称为拓扑图，它是这样定义的：
一个图G（Gragh）是节点（点）和支路（线段）的集合，每条支路的两端都联到相应的节点上。
每一条支路代表一个电路元件，或者代表某些元件的组合。
如上图（a）、（b）分别画出了两个具体的电路图及与它们对应的拓扑图，如果给出支路电流和电压的参考方向，可以看出虽然（a）、（b）图中的支路内容或元件性质不一样，但拓扑图是一样的，也就是说列出的KCL,KVL方程是一样的。
即
i1=i2+i3
u1=u2+u3
u2=u3
这说明网络的图只与连接结构有关，而与支路元件性质无关。
网络图中所用的几个名词：
（1） 支路：
每个元件用一条线段表示，每条线段就是一个支路。
也可以将电压源与电阻串联，电流源与电阻并联，作为一条复合支路，即也用一条线段表示。
（2） 节点：
线段的端点叫节点。
（3） 图：
线段与点的集合即为网络的图。
（4） 有向图:
对图中的支路电流指定出参考方向，即为有向图。
（5） 连通图:
图中任意两点间至少有一条路径。
就叫连通图。
（6） 非连通图:
从一点到另一点无路径可走就叫非连通图。
（7） 子图:
若图G1的每个节点和支路也是图G的节点和某些支路，则称图G1是图G的一个子图。
在图的定义中节点和支路各自是一个整体，因此，允许有孤立节点存在。
所以有时会说把一条支路移去，但这并不意味着同时把它所连接的节点也移去；反之，如果把一个节点移去，则应当把它连接的全部支路同时移去。
（8） 自环:
图中一条支路连接于一个节点，就叫自环。
（9） 关连:
任一支路恰好连接在二个节点上，称此支路与这二个节点彼此关联。
2、回路、树、割集
1、回路-----有图的支路所构成的闭合路径叫回路，但任一回路中的每个节点所关联的支路树应当是2。
2、树-----满足三点构成树：
1）包含图的全部节点；2）不包含回路；3）连通的。
树的支路叫树支，其余的支路叫连支。
3、割集-----割集的定义如下：
对一个连通图切割一组支路应满足拿掉这组支路后（保留节点），原来的图分成两部分，如果少拿掉任意一条支路，图仍然是连通的，则称这组支路为割集。
如下面连通图所示，在上面画一个闭合面（高斯面）如虚线所示，3，4，6支路就是一组割集。
3、关联，回路、割集矩阵的概念和求法
（1）、 关联矩阵A
关联矩阵A表示图G中节点与支路的关联关系，它可以根据网络的有向图直接写出。
设有向图的节点数为n支路数为b，并且把全部节点和支路分别编号。
关联矩阵A可用一个
的矩阵来描述。
它的行对应于节点，它的列对应于支路，它的每一元素
定义如下：
对于同一网络，由于选择不同的参考节点，可以得到不同的关联矩阵A，但公式Ai=0总是成立的。
（a） （b）
例：
（b）的关联矩阵A
解 图（b）的关联矩阵A
A=
（2）、回路矩阵B
基本回路
树包含图的全部节点，不包含回路，可见对任意一个树，每加一个连支便形成一个回路。
由这个单连支构成的回路就是基本回路，而且这组基本回路又是独立的，因为每一个其它回路包含了一条其它回路所没有的支路。
基本回路是单连支回路，但独立回路并不一定是基本回路。
基本回路矩阵B表示图G中回路与支路的关联关系，它可以根据网络的有向图直接写出。
如果回路中包含某一支路，则称此回路与支路有关联，其基本回路数就是连支数。
将图中的回路和支路分别编号，基本回路矩阵B可用一个
的矩阵来表示。
它的行对应回路，它的列对应支路，它的每一元素
定义如下：
例：
列写上图（a）的回路矩阵B，以3、4、5为树支，则1、2、6是连支，单连支回路为基本回路，方向与连支同方向。
B=
（3）、割集矩阵Q
基本割集
单树支割集就是基本割集。
其基本割集个数就是树支个数。
正如独立回路不一定是基本回路一样，独立割集也不一定是基本割集。
因此说基本割集是独立割集，但独立割集不一定是基本割集。
基本割集矩阵
表示图G割集与支路的关联关系，它也可以根据网络的有向图直接写出，基本割集数就是树支数，将图中的割集和支路分别编号，基本割集矩阵
可用一个
的矩阵来表示。
它的行对应割集，列对应支路，
的任一元素
定义如下：
关联矩阵A，回路矩阵B，割集矩阵Q之间的关系
如果前面讲的三种矩阵A，B和Q都是属于同一个拓扑图，而且支路编号及选树都一样，可以得到下列几个主要的关系式
ABT=0 BQT=0
BAT=0 QBT=0
五、应用图论进行集成电路布局的设计
当前集成电路产业向深亚微米工藏不断摧进，正力图突破45nm甚至15nm大
关。
现有EDA工具难以应付复杂度呈指数增长的诸多VLSI电路设计难题，也缺乏
对深亚微米工艺下一系列新问题的考虑。
另一方面，在计算智能领域，各种优化技术日新月异，为解决非NP和NP复杂度的大规模、超大规模问题展示了广阔的前景。
研究通道布线和单元上通道布线在深亚微米工艺下VLSI生产工序中关键环节——物理设计中的应用。
随着VLSI电路的工艺向深亚微米的推进，由于问题规模的急剧增大，电路物理设计中的布线问题，都迫切需要更有效的优化算法解决方案。
同时，由于近年来IC工艺的发展，使得其速度越来越高。
由此可见，国IC芯片构成的电予系统是朝着大规模、小体积、高速度的方向飞速发展的，而且发震速度越来越快。
在缩小电子系统体积的同时，保持并提高系统的速度与性能成为摆程设计者面前的一个重要课题。
集成电路设计流程
集成电路设计的流程一般先要进行软硬件划分，将设计基本分为两部分：
芯片硬件设计和软件协同设计。
芯片硬件设计包括：
1．功能设计阶段。
设计人员产品的应用场合，设定一些诸如功能、操作速度、接口规格、环境温度及消耗功率等规格，以做为将来电路设计时的依据。
更可进一步规划软件模块及硬件模块该如何划分，哪些功能该整合于SOC内，哪些功能可以设计在电路板上。
2．设计描述和行为级验证
功能设计完成后，可以依据功能将SOC划分为若干功能模块，并决定实现这些功能将要使用的IP核。
此阶段将接影响了SOC内部的架构及各模块间互动的讯号，及未来产品的可靠性。
决定模块之后，可以用VHDL或Verilog等硬件描述语言实现各模块的设计。
接着，利用VHDL或Verilog的电路仿真器，对设计进行功能验证（functionsimulation，或行为验证behavioralsimulation）。
3．逻辑综合
确定设计描述正确后，可以使用逻辑综合工具（synthesizer）进行综合。
综合过程中，需要选择适当的逻辑器件库（logiccelllibrary），作为合成逻辑电路时的参考依据。
硬件语言设计描述文件的编写风格是决定综合工具执行效率的一个重要因素。
事实上，综合工具支持的HDL语法均是有限的，一些过于抽象的语法只适于作为系统评估时的仿真模型，而不能被综合工具接受。
逻辑综合得到门级网表。
4．门级验证
门级功能验证是寄存器传输级验证。
主要的工作是要确认经综合后的电路是否符合功能需求，该工作一般利用门电路级验证工具完成。
布局和布线
布局指将设计好的功能模块合理地安排在芯片上，规划好它们的位置。
布线则指完成各模块之间互连的连线。
注意，各模块之间的连线通常比较长，因此，产生的延迟会严重影响SOC的性能，尤其在0.25微米制程以上，这种现象更为显著。
目前，这一个行业仍然是中国的空缺，开设集成电路设计与集成系统专业的大学还比较少，越来越有趋势走上当年软件行业的道路。
六、图论在电路分析中的应用---节点电压方程的矩阵形式
1、支路电压和节点电压的关系
在大多数网络中，例如电力系统的潮流计算，电子线路分析等等，其独立节点树往往少于独立回路树，因此，节点电压分析法是目前计算机辅助分析和设计中被广泛应用的一种方法。
用关联矩阵A表示的KVL的矩阵形式为：
u=ATun
上式就是支路电压u和节点电压un之间的关系，它说明电路中各支路电压可以用与该支路关联的两个节点电压来表示，这是节点分析法的基本思想。
2、典型支路的分析
网络是由数条支路联接而成的，为使编写网络方程式系统化，需要先将支路规范化。
为此，先定义典型支路（也叫标准支路），因为它能代表各种可能的情况或其特例。
典型支路的联接及参考方向如下图所示。
图中采用了向量法。
并不是说电路中每条支路都必须符合这种规定，可以允许一条支路缺少某些元件。
如果实际支路无电压源时，则将
用短路代替，无电流源时，，则将
以开路代替。
若采用运算法，独立源中还可能包含由初始条件引起的附加电源。
节电电压方程的矩阵形式
典型支路的分析
对于第
条典型支路可以列出下列方程
可以导出
令
则
如果网络中有
条支路，每一支路用列向量表示，即
于是，对整个电路有
所有支路电流的矩阵形式为
而支路电压的矩阵形式为
式中
是支路导纳对角矩阵；
是支路阻抗矩阵，
。
写成向量形式
上面的支路电流的矩阵形式又可写成
或
令
称为节电导纳矩阵，令
称为流入节电的等效电流源列向量，则
上式即为节点电压方程的矩阵形式。
七、平面图的判定
大规模集成电路的飞速发展，推动了人们对平面图判定的研究。
十年来，陆续提出了许多判定方法。
这里介绍一种思路青晰、算法简明的判定法。
我们知道,一个图是平面图的承要条件是存在着对偶图。
同时互为对偶图的G1和G2它们的网孔矩阵B和关联子矩阵A一一对应,即：
B1（网孔子矩阵）---A2（关联子矩阵）
A1---B2
由此可建立下述定理:
对于一给定的e条道,V个顶点的不可分的连通图G,它是平面图的重要条件为其回路矩阵B,包含一个e-V+2行,e列的子矩阵Bm,Bm的每一列恰好包含两个“1”。
这个判定平面图算法的基木思想就是从B中找出每一列恰含两个“1”的Bm，若满足此条件，则找出的必为平面图，反之，则为非平面图。
显然，最直接的办法是从B的全部行中,每次选e-V+2行来考察,但工作量太大，于是利用图的一个拓扑性质可以大大减少检验的工作量。
因Bm的e-V+2行如果存在,每一行对应于图的一个网孔,而对于一个平面图的全部回路，属于网孔的回路比其它回路的边数要少些,故先从边数少的回路考察,能够尽快找到一个平面图的Bm。
八、参考书目
方世昌离散数学（第三版）西安电子科技大学出版社
王玮网络分析与综合（第三版）中南大学出版社
宋学瑞电路理论（第三版）中南大学出版社
图片来源：
XX文库（网络分析与综合基础知识）
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