如皋中学高考数学优化信息卷.docx

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如皋中学高考数学优化信息卷

如皋中学2019高考数学优化信息卷

本试卷分第

卷（填空题）和第

卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的

准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．

2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．

3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．

5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．

必做题部分

（考试时间：

120分钟总分160分）

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1．已知

=

，其中

，

∈R，

为虚数单位，则

、

的值分别是

2.对某种电子元件使用寿命跟踪调查，抽取容量为1000的样本，其频率分布直方图如下图所示，根据此图可知这批样本中电子元件的寿命在300~500小时的数量是________个

第2题图

3．如图，该程序运行后输出的结果为

4．已知

，A=

，若向

区域

上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为

5．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线x＋y＝5下方的概率为.

6．若

，则使函数

的定义域为R，且在（－∞，0）上单调递增的

值为．

7．若圆

与

与圆相交，则实数

的取值范围是.

8．已知函数

，若方程

有三个不同的根，且从小到大依次成等比数列，则

的值为．

9．已知

且

若

恒成立,则实数

的取值范围是_.

10．在

中，若

，则

的外接圆半径

，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：

在四面体

中，若

两两垂直，

，则四面体

的外接球半径

____________．

11．以抛物线y2＝4x的焦点为圆心、2为半径的圆，与过点A（－1，3）的直线l相切，则直线l的方程是___________________．

12．如图，

为椭圆

上任意一点，

为线段

的中点，求

的最小值

（第12题图）

13．

是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，给出四个论断：

①

，②

，③a∥b，④a∥

以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题____

14．设函数

，

，数列

满

，则数列

的前

项和

等于；

二、解答题：

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．（本题满分14分）

已知向量

，

，函数

.

（1）求函数

的最小正周期；

（2）当

时，求函数

的值域.

16.（本题满分14分

如图，四边形ABCD是正方形，PB平面ABCD，MA平面ABCD，PB＝AB＝2MA．

求证：

（1）平面AMD∥平面BPC；

（2）平面PMD平面PBD．

17．（本题满分15分）

已知椭圆方程是

的一个焦点是F2（1，0），右准线l的方程是x＝4．

（1）求椭圆的方程．

（2）设椭圆的左右顶点分别为A，B，F1是椭圆的左焦点，P是椭圆上任意一点，PA、PB分别交准线l于M，N两点，求

的值．

18.（本题满分15分）

某物流公司购买了一块长

米，宽

米的矩形地块

，规划建设占地如图中矩形

的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点

在地块对角线

上，

、

分别在边

、

上，假设

长度为

米．

（1）要使仓库占地

的面积不少于144平方米，

长度应在什么范围内？

（2）若规划建设的仓库是高度与

长度相同的长方体形建筑，问

长度为多少时仓库的库容最大？

（墙体及楼板所占空间忽略不计）

19.（本题满分16分）

设函数

．

（1）当k=2时，求函数f（x）的增区间；

（2）当k＜0时，求函数g（x）=

在区间（0，2]上的最小值．

20.（本题满分16分）

已知由正数组成的两个数列

，如果

是关于x的方程

的两根.

（1）求证：

为等差数列；

（2）已知

分别求数列

的通项公式；

（3）求数

.

理科附加题

（考试时间：

30分钟总分40分）

21．[选做题]在A，B，C，D四小题中只能选做2小题，每题10分，共20分；请在答题纸上按指定要求在指定区域内作答，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

A．选修4—1　几何证明选讲

如图，圆

的两条弦

、

相交于点

．

（1）若

，求证：

；

（2）若

，

，圆

的半径为3，求

的长．

B．选修4—2　矩阵与变换

设数列

满足

，且满足

，试求二阶矩阵

．

C．选修4—4　参数方程与极坐标

圆

和圆

的极坐标方程分别为

．

（1）把圆

和圆

的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）求经过圆

，圆

两个交点的直线的直角坐标方程．

D．选修4—5　不等式证明选讲

若

，

求证：

（1）

；

（2）

．

二、必做题：

本大题共2小题,每小题10分,计20分,请把答案写在答题纸的指定区域内.

22．某社区举办北京奥运知识宣传活动，现场的“抽卡有奖游戏”特别引人注目，游戏规则是：

盒子中装有8张形状大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“奥运福娃”或“奥运会徽”，要求参加游戏的4人从盒子中轮流抽取卡片，一次抽2张，抽取后不放回，直到4人中一人一次抽到2张“奥运福娃”卡才能得到奖并终止游戏．

（1）游戏开始之前，一位高中生问：

盒子中有几张“奥运会徽”卡？

主持人说：

若从盒中任抽2张卡片不都是“奥运会徽”卡的概率为

．请你回答有几张“奥运会徽”卡呢？

（2）现有甲、乙、丙、丁4人参加游戏，约定甲、乙、丙、丁依次抽取．用

表示4人中的某人获奖终止游戏时总共抽取卡片的次数，求

的概率分布及

的数学期望．

23．已知圆

，设M为圆C与x轴负半轴的交点，过点M作圆C的弦MN，并使它的点P恰好落在y轴上.

（1）当

时，求点N的轨迹E的方程；

（2）若

、

、

是E上不同的点，且

，求y0的取值范围.

答案

一：

填空题

1．1；2.650；3.19；4.

；5．

；6．

；

7．

；8．

；9．

；10．

11．x＝－1或5x＋12y－31＝012．

13．①②③

④，也可填①②④

③14．

二、解答题

15.解：

（1）因为

……………3分

……………5分

所以函数

的最小正周期为

.……………7分

（2）当

时，

……………11分

故

所以函数

的值域

.……………14分

16．解：

（1）证明：

因为PB平面ABCD，MA平面ABCD，所以PB∥MA．因PB平面BPC，MA

平面BPC，所以MA∥平面BPC．………4分

同理DA∥平面BPC，因为MA平面AMD，AD平面AMD，MA∩AD＝A，所以平面AMD∥平面BPC．………7分

（2）连接AC，设AC∩BD＝E，取PD中点F，连接EF，MF．因ABCD为正方形，所以E为BD中点．因为F为PD中点，所以EF

PB．因为AM

PB，所以AM

EF．所以AEFM为平行四边形．所以MF∥AE．………10分

因为PB平面ABCD，AE平面ABCD，所以PBAE．所以MFPB．因为ABCD为正方形，所以ACBD．所以MFBD．所以MF平面PBD．

又MF平面PMD．所以平面PMD平面PBD．………14分

17．解：

（1）由题设，c＝1，

＝4，故

，

＝

－

＝3，

∴所求的椭圆方程为

．………6分

（2）由

（1）知

，准线l：

x＝4．………8分

，由题意，A，P，M共线，故

，即

，

同理，

，即

．………10分

∴

，

∵

在椭圆上，则

，代入上式得

．………12分

∴

．………15分

18．解：

（1）依题意⊿NDC∽⊿NAM，

所以

即

，

，

………4分

矩形ABCD的面积为

，定义域为

.………6分

要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米即

，化简得

，解得

，所以AB长度应在

内.………8分

（2）仓库体积为

，

由

，得

，………10分

当

时

，当

时

.（要求列表）………12分

所以

时V取最大值

米3，即AB长度为20米时仓库的库容最大.…15分

19.解：

（1）k=2，

．则

=

．…………………3分

＞0，（此处用“≥”同样给分）……………5分

注意到x＞0，故x＞1，于是函数的增区间为

．（写为

同样给分）………7分

（2）当k＜0时，g（x）=

=

．g（x）=

≥

，………9分

当且仅当x=

时，上述“≥”中取“=”．……………………………………10分

①若

∈

即当k∈

时,函数g（x）在区间

上的最小值为

；…12分

②若k＜－4，则

在

上为负恒成立，故g（x）在区间

上为减函数，

于是g（x）在区间

上的最小值为

（2）=6－k．……………………………………14分

综上所述，当k∈

时，函数g（x）在区间

上的最小值为

；

当k＜－4时，函数g（x）在区间

上的最小值为6－k．…………………………16分

20.解：

（1）由：

的两根得

………………2分

是等差数列……………………4分

（2）由

（1）知

……………………6分

……………………7分

又

符合上式，

……………………9分

（3）

①

②

①—②得

………………13分

……………16分

附加题答案

21．（选做题）（从A，B，C，D四个中选做2个，每题10分，共20分．）

A．解：

（1）

∴

∴AB=CD……………………………………4分

（2）由相交弦定理得

2×1=（3+OP）（3-OP）

∴

，∴

……………………………………10分

B．解：

依题设有：

………………………………………4分

令

，则

…………………………………………5分

…………………………………………7分

………………………………10分

C．解：

以有点为原点，极轴为

轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．

（1）

，

，由

得

．

所以

．

即

为圆

的直角坐标方程．……………………………………3分

同理

为圆

的直角坐标方程．……………………………………6分

（2）由

相减得过交点的直线的直角坐标方程为

．…………………………10分

D．证明：

（1）因为

所以

…………………………………………4分

（2）∵

…………………………………………6分

同理，

，

……………………………………8分

三式相加即得

……………………………10分

22、解：

（1）设盒子中有“会徽卡”n张，依题意有，

解得n=3即盒中有“会徽卡”3张．……………………3分

（2）因为

表示某人一次抽得2张“福娃卡”终止时，所有人