最新勾股定理全章学案.docx

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最新勾股定理全章学案

18．1勾股定理（第一课时）

□自学导读

【学习目标】

1、了解多种拼图方法，验证勾股定理，感受解决同一个问题方法的多样性。

2、通过实例进一步了解勾股定理，应用勾股定理进行简单的计算和证明。

，

3、进一步体会数形结合的思想以及数学知识之间内在联系。

【重、难点】

通过自主学习验证归纳勾股定理，并进行应用。

【读书思考】

（一）、学前准备：

1、每位同学准备四个全等的直角三角形。

2、查阅资料，网络搜索有关勾股定理的知识。

3、自主阅读课本本节内容。

（二）、自学、合作探究：

活动一：

各小组成员选择自己最喜欢的拼图方法，验证勾股定理，

活动二：

各小组派代表上来展示自己的拼图，并说出它的特点。

（学生可能拼出如下图形）

活动三、从你所拼的图形的面积构造等式验证勾股定理看是否能得出：

c2=a2+b2每一小组选一种图形写出验证的过程，小组内进行交流。

探究：

自主完成P66探究1

【探究归纳】

归纳定理：

①用语言表达勾股定理

②用式子表达勾股定理

③运用勾股定理时该注意些什么?

□典题解析

例1、在Rt△ABC中，∠C=90°

（1）若a=5，b=12，则c=________；

（2）b=8，c=17，则S△ABC=________。

（提示先构好图）

例2、下列各图中所示的线段的长度或正方形的面积为多少。

（注：

下列各图中的三角形均为直角三角形）

提示：

正方形是以直角三角形的一边作为边，故面积可表达为

例3、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将一锐角沿DE折叠，使B与A重合,你能求出CD的长吗？

提示：

①AD与BD有何关系？

②设CD=x,则AD=

③在△ACD中根据勾股定理可列出构造方程来解。

□课堂小结：

⑴我们通过什么方法来推导勾股定理的？

⑵拼图法证明勾股定理用了什么数学思想？

⑶勾股定理可以用来解决那些问题？

□达标测评

【基础训练】

1、在△ABC中，∠C＝90°，

（1）已知a＝2.4，b＝3.2，则c＝；

（2）已知c＝17，b＝15，则△ABC面积等于；（3）已知∠A＝45°，c＝18，则a＝.

2、如图,三个正方形中的两个的面积S1＝25，S2＝144，则另一个的面积S3为________．

S3

3、等腰△ABC的腰长AB＝10cm，底BC为16cm，则底边上的高为，面积为.

第4题图

4、如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．

8m

5、如图，台风过后，某小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，已知旗杆原长16m，你能求出旗杆在离底部什么位置断裂的吗？

请你试一试．

【能力提升】

6、如图，已知△ABC中，∠B=22.5°，AB的垂直平分线交BC于点D，BD=

，AE⊥BC于E，求AE的长。

18．2勾股定理（第二课时）

□自学导读

【学习目标】

会用勾股定理解决简单的实际问题。

【重、难点】

会用勾股定理解决简单的实际问题。

【读书思考】

请同学们阅读P67-P68的内容，自主完成下列探究：

探究2如图，一个3米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．

①球梯子的底端B距墙角O多少米？

②如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C，请同学们猜一猜，底端也将滑动0.5米吗？

D

算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）．

探究3课本P68（完成P69练习1，2）

【探究归纳】

1、在求解直角三角形的未知边时需要知道哪些条件？

应该注意哪些问题？

2、在用勾股定理解简单的应用问题时有哪些步骤？

□典题解析

例1、在平静的湖面上，有一枝红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被风吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深多少？

例3、在△ABC中，AB=13，BC=10，BC边上的中线AD=12，你能求出AC的值吗？

□达标测评

【基础训练】

1.如图所示，在△ABC中，三边a,b,c的大小关系是（）

A.a＜b＜cB.c＜a＜bC.c＜b＜aD.b＜a＜c

2．等边△ABC的高为3cm，以AB为边的正方形面积为.

P′

第3题

第1题图

3．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2.

4、如图，△ABC是Rt△，BC是斜边，P是三角形内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，如果AP=3，那么PP′的长等于____。

5、

（1）作长为

的线段。

（2）：

在数轴上画出表示

的点。

【能力提升】

勾股定理习题精选

（一）

1、填空

⑴在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c=。

⑵在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c=。

⑶在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：

b=3：

4，则a=，b=。

⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为。

⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为。

⑹已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为，面积为。

2、在Rt△ABC，∠C=90°，

⑴如果a=7，c=25，则b=。

⑵如果∠A=30°，a=4，则b=。

⑶如果∠A=45°，a=3，则c=。

⑷如果c=10，a-b=2，则b=。

⑸如果a、b、c是连续整数，则a+b+c=。

⑹如果b=8，a：

c=3：

5，则c=。

4、已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高是________

5、甲乙两人从同一地点出发，已知甲向东走了4km，乙向南走了3km，此时甲乙两人相距_________km。

6、点M（-2，3）是坐标平面内一点，O为坐标原点，则OM的长为____________

7、直角三角形中两边长为15和20，则另一边长为_____________

8、边长为a的等边三角形面积等于___________________

9、在直角三角形中，若两直角边a、b满足a+b=17，ab=60，则斜边长为________________。

10、已知：

如图，在△ABC中，∠C=60°，AB=

，AC=4，AD是BC边上的高，求BC的长。

11、已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。

12、在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=

cm，一动点P从B向C以每秒2cm的速度移动，问当P点移动多少秒时，PA与腰垂直。

13、已知：

如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，AB⊥AC，∠B=60°，CD=1cm，求BC的长。

A′

14、如图4所示，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m．现将梯子的底端A向外移动到A′,使梯子的底端A′到墙根O的距离为3m，同时梯子的顶端B下降到B′，那么BB′也等于1m吗?

15．已知：

正方形的边长为1.

（1）如图（a），可以计算出正方形的对角线长为

.如图（b）,求两个并排成的矩形的对角线的长.n个呢？

（2）若把（c）（d）两图拼成如下“L”形，

过C作直线交DE于A，交DF于B.若DB=，求DA的长度.

拓展训练

16、已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，D在CB的延长线上。

求证：

⑴AD2－AB2=BD·CD

⑵若D在CB上，结论如何，试证明你的结论。

17．在△ABC中，三条边的长分别为a，b，c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2+1（n＞1，且n为整数），这个三角形是直角三角形吗？

若是，哪个角是直角？

与同伴一起研究．

18．1勾股定理（第三课时）

□自学导读

【学习目标】

能灵活运用勾股定理解答几何中的综合问题。

【重、难点】

勾股定理的熟练和灵活运用。

【读书思考】

先自主探究如下几个问题，然后尝试解后面例题。

1、如果直角三角形的一个锐角为30°度，斜边长是2㎝，那么其它两边长是（）

A1，

B1，

C1，2D1,

2、如图，在RT△ABC中，∠C=90°,∠B=45°,AC=1,则AB=（）

A2,B1,C

D

3、4、5

32+42=52

5、12、13

52+122=132

7、24、25

72+242=252

9、40、41

92+402=412

……

……

19，b、c

192+b2=c2

3、等边三角形的边长为12，则它的高为______

4、如下表，表中所给的每行的三个数a、b、c，有a＜b＜c，试根据表中已有数的规律，写出当a=19时，b，c的值，并把b、c用含a的代数式表示出来。

【探究归纳】

1、特殊的直角三角形（含30°，45°）的边角关系：

__________________________________

__________________________________________________________。

.

2、等腰三角形的问题有时可转化为_________________问题解决，方法是_______________

________________________________________________。

3、熟记常见的几组勾股数，如（3，4，5）；（5，12，13）等，可以提高解题效率。

□典题解析

例1．已知：

在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥BC于D，∠A=60°，CD=

，求线段AB的长。

解析：

“双垂图”是中考重要的考点，“双垂图”需要掌握的知识点有：

3个直角三角形，3个勾股定理及推导式BC2-BD2=AC2-AD2，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等。

B

例2．已知：

如图，△ABC中，AC=4，∠B=45°，∠A=60°，根据题设可知什么？

解析：

由于本题中的△ABC不是直角三角形，所以根据题设只能直接求得∠ACB=75°。

在充分思考和讨论后，发现添置AB边上的高这条辅助线，就可以求得AD，CD，BD，AB，BC及S△ABC。

让学生充分讨论还可以作其它辅助线吗？

为什么？

例3．已知：

如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。

求：

四边形ABCD的面积。

解析：

不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。

如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。

教学中要逐层展示给学生，让学生深入体会。

□达标测评

【基础训练】

1．△ABC中，AB=AC=25cm，高AD=20cm,则BC=，S△ABC=。

2．△ABC中，若∠A=2∠B=3∠C，AC=

cm，则∠A=度，∠B=度,∠C=度，BC=，S△ABC=。

3．△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=

，CD⊥AB于D，则AC=，CD=，BD=，AD=,S△ABC=。

4.在直角三角形中,如果有两边为3,4,那么另一边为_________

5．右图是20XX年8月北京第24届国际数学家大会会标,由4个全等的直角三角形拼合而成.若图中大小正方形面积分别是62

和4,则直角三角形的两条直角边长分别为（）

（A）

A

6,4（B）6

4（C）6

4

（D）6,4

6、如图，在四边形ABCD中，若∠BAD=900,AD=3,AB=4,BC=12,CD=13,四边形ABCD的面积为____________

【能力提升】

7．已知：

如图，△ABC中，AB=26，BC=25，AC=17，

求S△ABC。

8、勾股定理实质上说的是，直角三角形勾、股、弦上三个正方形的面积之间的关系（如图1），有a2+b2=c2。

那么，亲爱的同学，你能完成下面的三个问题吗？

（1）把“正方形”改成“正三角形”（如图2），上述关系式能成立吗？

（2）把“正方形”改成“半圆”（如图3），上述关系式能成立吗？

图1

18．1勾股定理（第四课时）

□自学导读

【学习目标】

1.熟练掌握直角三角形边与面积的关系;

2.学会用勾股定理解在展开与折叠图形中求最短路径的问题。

【重、难点】

重点：

勾股定理的熟练运用。

难点：

展开与折叠图形中求最短路径的方法和技巧。

【读书思考】

热身练习：

1、已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，你能求出此三角形的面积是多少吗？

2、设

、

为直角三角形的两条直角边，

为斜边，

为面积，于是有：

，

，

，所以

.即

.

·

3、正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为___________

【探究归纳】

□典题解析

例1．直角三角形的面积为120，斜边长为26，求它的周长.

例2．三角形ABC是等腰三角形AB=AC=13，BC=10，将AB向AC方向对折，再将CD折叠到CA边上，折痕CE，求三角形ACE的面积。

ＢＡ

例3．如图1，一圆柱的底面周长为24cm，高AB为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程大约是（　　）

A．6cmB．12cm

C．13cmD．16cm

□达标测评

【基础训练】

1、已知两条线段的长为5cm和12cm,当第三条线段的长为cm时,这三条线段能组成一个直角三角形.

2、等腰三角形的周长是20cm,底边上的高是6cm,则底边的长为cm.

3、直角三角形一条直角边与斜边分别为8cm和10cm.则斜边上的高等于cm.

4、若等腰三角形两边长分别为4和6,则底边上的高等于______________.

5、如图，CD是RT△ABC斜边上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，若AC=8CM,则CD=_________

6、如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为55寸、10寸和6寸,A和B是这个台阶的两个相对端点,A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物,则它所走的最短路线长度是寸.

（第6题图）

7、.已知直角三角形的周长为2＋

，斜边上的中线为1，求它的面积。

8、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AB=13cm，AC与BC之和等于17cm，求CD的长.

【能力提升】

9、矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，BC=10，

求折痕AE的长。

勾股定理习题精选

（二）

1、如图在四边形ABCD中，

求正方形DCEF的面积。

2、如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，∠BAC=30°，BC=1，AD=CD=

，求∠BCD的度数。

D⊥⊥

3、

4、（构造直角三角形）如图，在△ABC中，AB=AC，P为BC上任意一点，请用学过的知识说明：

5

C

、

6.△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,求证:

AB2=AD2+BD2+2CD2。

7、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将矩形沿对角线BD对折，求图中△BDE的面积

Cˊ

8．已知长方体的长为2cm、宽为1cm、高为4cm，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点,那么沿哪条路最近,最短的路程是多少?

9、有一只圆柱形笔筒，如图，底面半径为2.4CM，高为6.4CM，放入笔后，若笔端与上边缘相齐为恰好放下，则这只笔筒恰好能放下的最长笔是多长？

10．某镇为响应中央关于建设社会主义新农村的号召，决定公路相距25km的A，B两站之间E点修建一个土特产加工基地，如图，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要使C、D两村到E点的距离相等，那么基地E应建在离A站多少km的地方？

第10题图

§18．2勾股定理的逆定理

（一）

□自学导读

【学习目标】

1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。

2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。

3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。

【重、难点】

重点：

掌握勾股定理的逆定理及证明。

难点：

勾股定理的逆定理的证明。

【读书思考】

自学课本P73-P75内容，然后思考并回答下列问题。

1、以下列各组线段为边长，能构成三角形的是____________（填序号），能构成直角三角形的是____________．

①3，4，5②1，3，4③4，4，6④6，8，10⑤5，7，2⑥13，5，12⑦7，25，24

2、什么是命题？

什么是逆命题？

请你写出下列命题的逆命题并判断真假。

对顶角相等

线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等．

角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．

3、△ABC的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，如果△ABC是直角三角形，它应该与直角边是a，b的直角三角形全等．实际情况是这样的吗？

我们画一个直角三角形A′B′C′，使B′C′=a，A′C′=b，∠C′=90°（课本图18．2-2），再将画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，请同学们观察，它们是否能够重合？

试一试!

【探究归纳】

（1）互逆命题：

（2）互逆定理：

（3）勾股定理的逆定理：

□典题解析

例1：

一个零件的形状如下图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量出了这个零件各边尺寸，那么这个零件符合要求吗?

例2：

若△ABC的三边a，b，c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判定△ABC的形状．

解析：

利用因式分解和勾股定理的逆定理判断三角形的形状。

⑴移项，配成三个完全平方；⑵三个非负数的和为0，则都为0；⑶已知a、b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形。

例3：

已知：

在△ABC中，AB＝13cm，BC＝10cm，BC边上的中线AD＝12cm．求证：

AB＝AC．

□达标测评

【基础训练】

1、请完成以下未完成的勾股数：

（1）8、15、_______；

（2）10、26、_____．

2、△ABC中，a2+b2=25，a2-b2=7，又c=5，则最大边上的高是_______．

3、以下各组数为三边的三角形中，不是直角三角形的是（）．

A．

+1，

-1，2

B．7，24，25C．4，7.5，8.5D．3.5，4.5，5.5

4、下列各命题的逆命题不成立的是（）

A.两直线平行,同旁内角互补B.若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等

C.对顶角相等D.如果a2=b2,那么a=b

5、已知：

如图，AB=4，BD=12，CD=13，AC=3，AB⊥AC，求证：

BC⊥BD．

6、在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，求四边形ABCD的面积

【能力提升】

D

7、如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB=4，CE=

BC，F为CD的中点，连接AF、AE，问△AEF是什么三角形？

请说明理由.

8、数学老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：

n

2

3

4

5

…

a

22-1

32-1

42-1

52-1

…

b

4

6

8

10

…

c

22+1

32+1

42+1

52+1

…

（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，用含自然数n（n>1）的代数式表示a，b，c；

（2）猜想以a，b，c为边的三角形是否是直角三角形，证明你的猜想。

勾股定理的逆定理习题精选

（一）

1．判断题。

⑴在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角。

⑵命题：

“在一个三角形中，有一个角是30°，那么它所对的边是另一边的一半。

”的逆命题是真命题。

⑶勾股定理的逆定理是：

如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

⑷△ABC的三边之比是1：

1：

，则△ABC是直角三角形。

2、叙述下列命题的逆命题，并判断逆命题是否正确。

⑴如果a3＞0，那么a2＞0；

⑵如果三角形有一个角小于90°，那么这个三角形是锐角三角形；

⑶如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等；

⑷关于某条直线对称的两条线段一定相等。

3、填空题。

⑴任何一个命题都有，但任何一个定理未必都有。

⑵“两直线平行，内错角相等。

”的逆定理是。

⑶在△ABC中，若a2=b2－c2，则△ABC是三角形，是直角；

若a2＜b2－c2，则∠B是。

⑷若在△ABC中，a=m2－n2，b=2mn，c=m2＋n2，则△ABC是三角形。

4、若三角形的三边是⑴1、

、2；⑵

；⑶32，42，52⑷9，40，41；

⑸（m＋n）2－1，2（m＋n），（m＋n）2＋1；则构成的是直角三角形的有（）

A．2个B．３个　　　　　Ｃ．４个　　　　　　Ｄ．５个

5、如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的（）

A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍

6、一个三角形的三边长分别为15，20，25，那么它的最长边上的高是（）．

A．12.5B．12C．

D．9

7、△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（）

A．如果∠C－∠B=∠A，则△ABC是直角三角形。

B．如果c2=b2—a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°。

C．如果（c＋a）（c－a）=b2，则△ABC是直角三角形。

D．如果∠A：

∠B：

∠C=5：

2：

3，则△ABC是直角三角形。

8、下列四条线段不能组成直角三角形的是（）

Aa=8，b=15，c=17B．a=9，b=12，c=15C．a=

，b=

，c=

D．a：

b：

c=2：

3：

4

9．已知：

在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？

并指出那一个角是直角？

⑴a=

，b=

，c=

；⑵a=5，b=7，c=9；

⑶a=2，b=

，c=

；⑷a=5，b=

，c=1。

10、已知：

在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？

并指出那一个角是直角？

⑴a=9，b=41，c=40，⑵a=15，b=16，c=6；⑶a=2，b=

，c=4⑷a=5k，b=12k，c=13k（k＞0）

11、已知：

如图，∠ABD=∠C=90°，AD=12，AC=BC，∠DAB=30°，求BC的长．

B

12、如图所示的一