最新勾股定理全章学案.docx

1、最新勾股定理全章学案181 勾股定理（第一课时） 自学导读【学习目标】1、了解多种拼图方法，验证勾股定理，感受解决同一个问题方法的多样性。 2、通过实例进一步了解勾股定理，应用勾股定理进行简单的计算和证明。，3、进一步体会数形结合的思想以及数学知识之间内在联系。【重、难点】通过自主学习验证归纳勾股定理，并进行应用。【读书思考】（一）、学前准备：1、每位同学准备四个全等的直角三角形。2、查阅资料，网络搜索有关勾股定理的知识。3、自主阅读课本本节内容。（二）、自学、合作探究：活动一：各小组成员选择自己最喜欢的拼图方法，验证勾股定理， 活动二：各小组派代表上来展示自己的拼图，并说出它的特点。（学生可

2、能拼出如下图形）活动三、从你所拼的图形的面积构造等式验证勾股定理看是否能得出 ：c2=a2+b2每一小组选一种图形写出验证的过程，小组内进行交流。探究：自主完成P66探究1【探究归纳】归纳定理： 用语言表达勾股定理 用式子表达勾股定理 运用勾股定理时该注意些什么? 典题解析例1、在RtABC中，C=90（1）若a=5，b=12，则c=_；（2）b=8，c=17，则SABC=_。 （提示先构好图）例2、下列各图中所示的线段的长度或正方形的面积为多少。(注：下列各图中的三角形均为直角三角形)提示：正方形是以直角三角形的一边作为边，故面积可表达为 例3、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6c

3、m，BC=8cm，现将一锐角沿DE折叠，使B与A重合,你能求出CD的长吗？提示： AD 与BD有何关系？ 设CD=x,则AD= 在ACD中根据勾股定理可列出 构造方程来解。 课堂小结： 我们通过什么方法来推导勾股定理的？ 拼图法证明勾股定理用了什么数学思想？ 勾股定理可以用来解决那些问题？ 达标测评【基础训练】1、在ABC中，C90，（1）已知 a2.4，b3.2，则c ；（2）已知c17，b15，则ABC面积等于 ；（3）已知A45，c18，则a .2、如图,三个正方形中的两个的面积S125，S2144，则另一个的面积S3为_ S33、等腰ABC的腰长AB10cm，底BC为16cm，则底边上

4、的高为 ，面积为 . 第4题图 4、如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草 8m5、如图，台风过后，某小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，已知旗杆原长16m，你能求出旗杆在离底部什么位置断裂的吗？请你试一试【能力提升】6、如图，已知ABC中，B=22.5，AB的垂直平分线交BC于点D，BD=，AEBC于E，求AE的长。182 勾股定理（第二课时） 自学导读【学习目标】会用勾股定理解决简单的实际问题。【重、难点】会用勾股定理解决简单的实际问题。【读书思考】请同学们阅读P67-P

5、68的内容，自主完成下列探究：探究2 如图，一个3米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米球梯子的底端B距墙角O多少米？如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C，请同学们猜一猜，底端也将滑动0.5米吗？D算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）探究3 课本P68 （完成P69练习1，2）【探究归纳】1、在求解直角三角形的未知边时需要知道哪些条件？应该注意哪些问题？2、在用勾股定理解简单的应用问题时有哪些步骤？ 典题解析例1、在平静的湖面上，有一枝红莲，高出水面1米，阵风吹来， 红莲被风吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深多少？ 例3、在AB

6、C中，AB=13，BC=10，BC边上的中线AD=12，你能求出AC的值吗？达标测评【基础训练】1. 如图所示，在ABC中，三边a,b,c的大小关系是（ ）A.abc B. cab C. cba D. bac2等边ABC的高为3cm，以AB为边的正方形面积为 .P第3题第1题图3如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为_cm2.4、如图，ABC是Rt，BC是斜边，P是三角形内一点，将ABP绕点A逆时针旋转后，能与ACP重合，如果AP=3，那么PP的长等于 _ 。5 、(1)作长为的线段。(2)：在数轴上画出表示

7、的点。【能力提升】勾股定理习题精选（一）1、填空在RtABC，C=90，a=8，b=15，则c= 。在RtABC，B=90，a=3，b=4，则c= 。在RtABC，C=90，c=10，a：b=3：4，则a= ，b= 。一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 。已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，则第三边长为 。已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为 ，面积为 。2、在RtABC，C=90，如果a=7，c=25，则b= 。如果A=30，a=4，则b= 。如果A=45，a=3，则c= 。如果c=10，a-b=2，则b= 。如果a、b、c是连续整数，则a+b+c= 。如果b

8、=8，a：c=3：5，则c= 。4、已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高是_5、甲乙两人从同一地点出发，已知甲向东走了4km，乙向南走了3km，此时甲乙两人相距_km。6、点M（-2，3）是坐标平面内一点，O为坐标原点，则OM的长为_7、直角三角形中两边长为15和20，则另一边长为_8、边长为a的等边三角形面积等于_9、在直角三角形中，若两直角边a、b满足a+b=17，ab=60，则斜边长为_。10、已知：如图，在ABC中，C=60，AB=，AC=4，AD是BC边上的高，求BC的长。 11、已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。12、在ABC中，B

9、AC=120，AB=AC=cm，一动点P从B向C以每秒2cm的速度移动，问当P点移动多少秒时，PA与腰垂直。13、已知：如图，四边形ABCD中，ADBC，ADDC， ABAC，B=60，CD=1cm，求BC的长。A14、如图4所示，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O 的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m现将梯子的底端A向外移动到A,使梯子的底端A到墙根O的距离为3m，同时梯子的顶端B下降到B，那么BB也等于1m吗?15已知：正方形的边长为1.（1）如图（a），可以计算出正方形的对角线长为.如图（b）,求两个并排成的矩形的对角线的长.n个呢？（2）若把（c）（d）两图拼成如下“L”形

10、， 过C作直线交DE于A，交DF于B.若DB=，求DA的长度.拓展训练16、已知：如图，在ABC中，AB=AC，D在CB的延长线上。求证：AD2AB2=BDCD若D在CB上，结论如何，试证明你的结论。17在ABC中，三条边的长分别为a，b，c，an21，b2n，cn2+1(n1，且n为整数)，这个三角形是直角三角形吗？若是，哪个角是直角？与同伴一起研究181 勾股定理（第三课时） 自学导读【学习目标】能灵活运用勾股定理解答几何中的综合问题。【重、难点】勾股定理的熟练和灵活运用。【读书思考】先自主探究如下几个问题，然后尝试解后面例题。1、如果直角三角形的一个锐角为30度，斜边长是2 ，那么其它两

11、边长是（ ）A 1， B 1 ， C 1，2 D 1 , 2、如图，在RTABC中，C=90,B=45,AC=1,则AB=( ) A 2, B 1, C , D 3、4、532+42=525、12、1352+122=1327、24、2572+242=2529、40、4192+402=41219，b、c192+b2=c23、 等边三角形的边长为12，则它的高为_4、 如下表，表中所给的每行的三个数a、b、c，有abc，试根据表中已有数的规律，写出当a=19时， b，c的值，并把b、c用含a的代数式表示出来。【探究归纳】1、特殊的直角三角形（含30，45）的边角关系：_。.2、等腰三角形的问题有时

12、可转化为_问题解决，方法是_。3、熟记常见的几组勾股数，如（3，4，5）；（5，12，13）等，可以提高解题效率。 典题解析例1已知：在RtABC中，C=90，CDBC于D，A=60，CD=，求线段AB的长。解析： “双垂图”是中考重要的考点， “双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，3个勾股定理及推导式BC2-BD2=AC2-AD2，两对相等锐角，四对互余角，及30或45特殊角的特殊性质等。B例2已知：如图，ABC中，AC=4，B=45，A=60，根据题设可知什么？解析：由于本题中的ABC不是直角三角形，所以根据题设只能直接求得ACB=75。在充分思考和讨论后，发现添置AB边上的高这条

13、辅助线，就可以求得AD，CD，BD，AB，BC及SABC。让学生充分讨论还可以作其它辅助线吗？为什么？例3已知：如图，B=D=90，A=60，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。解析：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。教学中要逐层展示给学生，让学生深入体会。 达标测评【基础训练】1ABC中，AB=AC=25cm，高AD=20cm,则BC= ，SA

14、BC= 。2ABC中，若A=2B=3C，AC=cm，则A= 度，B= 度,C= 度，BC= ，SABC= 。3ABC中，C=90，AB=4，BC=，CDAB于D，则AC= ，CD= ，BD= ，AD= ,SABC= 。4.在直角三角形中,如果有两边为3,4,那么另一边为_5右图是20XX年8 月北京第24届国际数学家大会会标,由4 个全等的直角三角形拼合而成.若图中大小正方形面积分别是62和4,则直角三角形的两条直角边长分别为（ ）（A） A6,4 （B）6,4 （C）6,4 （D）6, 46、如图，在四边形ABCD中，若BAD=900,AD=3,AB=4,BC=12,CD=13,四边形ABC

15、D的面积为_【能力提升】7已知：如图，ABC中，AB=26，BC=25，AC=17，求SABC。8、勾股定理实质上说的是，直角三角形勾、股、弦上三个正方形的面积之间的关系（如图1），有a2+b2=c2。那么，亲爱的同学，你能完成下面的三个问题吗？（1）把“正方形”改成“正三角形”（如图2），上述关系式能成立吗？（2）把“正方形”改成“半圆”（如图3），上述关系式能成立吗？图1181 勾股定理（第四课时） 自学导读【学习目标】1. 熟练掌握直角三角形边与面积的关系;2. 学会用勾股定理解在展开与折叠图形中求最短路径的问题。【重、难点】 重点：勾股定理的熟练运用。难点：展开与折叠图形中求最短路径的

16、方法和技巧。【读书思考】热身练习：1、已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，你能求出此三角形的面积是多少吗？2、设、为直角三角形的两条直角边，为斜边，为面积，于是有： ，所以.即.3、正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为_【探究归纳】 典题解析例1直角三角形的面积为120，斜边长为26，求它的周长.例2三角形ABC是等腰三角形AB=AC=13，BC=10，将AB向AC方向对折，再将CD折叠到CA边上，折痕CE，求三角形ACE的面积。例3如图1，一圆柱的底面周长为24cm，高AB为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程

17、大约是（）A6cm B12cmC13cm D16cm 达标测评【基础训练】1、已知两条线段的长为5cm和12cm,当第三条线段的长为 cm时,这三条线段能组成一个直角三角形.2、等腰三角形的周长是20cm,底边上的高是6cm,则底边的长为 cm.3、直角三角形一条直角边与斜边分别为8cm和10cm.则斜边上的高等于 cm.4、若等腰三角形两边长分别为4和6,则底边上的高等于_.5、如图，CD是RTABC斜边上的高，将BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，若AC=8CM,则CD=_6、如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为55寸、10寸和6寸,A和B是这个台阶的两个相对端点,A

18、点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物,则它所走的最短路线长度是 寸.(第6题图)7、.已知直角三角形的周长为2，斜边上的中线为1，求它的面积。8、如图，在RtABC中，ACB=90，CDAB于D，AB=13cm，AC与BC之和等于17cm，求CD的长. 【能力提升】9、矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，BC=10，求折痕AE的长。 勾股定理习题精选（二）1、如图在四边形ABCD中，求正方形DCEF的面积。 2、如图，在四边形ABCD中，B=90，BAC=30，BC=1，AD=CD=， 求BCD的度数。D3、 4、（构造直角三角形）如图，在ABC中，AB=AC，P为

19、BC上任意一点，请用学过的知识说明： 5C、6.ABC中,ACB=90,CDAB于D, 求证:AB2=AD2+BD2+2CD2。7、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将矩形沿对角线BD对折，求图中BDE的面积C8已知长方体的长为2cm、宽为1cm、高为4cm，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B点,那么沿哪条路最近,最短的路程是多少? 9、有一只圆柱形笔筒，如图，底面半径为2.4CM，高为6.4CM，放入笔后，若笔端与上边缘相齐为恰好放下，则这只笔筒恰好能放下的最长笔是多长？10某镇为响应中央关于建设社会主义新农村的号召，决定公路相距25km的A，B两站之间E点修建一个土特产加工基

20、地，如图，DAAB于A，CBAB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要使C、D两村到E点的距离相等，那么基地E应建在离A站多少km的地方？ 第10题图182 勾股定理的逆定理（一） 自学导读【学习目标】1体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。2探究勾股定理的逆定理的证明方法。3理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。【重、难点】重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。难点：勾股定理的逆定理的证明。【读书思考】自学课本P73-P75内容，然后思考并回答下列问题。1、以下列各组线段为边长，能构成三角形的是_(填序号)，能构成直角三角形的是_3，4，5 1，3，4 4，4，6 6，

21、8，10 5，7，2 13，5，12 7，25，242、什么是命题？什么是逆命题？请你写出下列命题的逆命题并判断真假。对顶角相等线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等角平分线上的点，到这个角的两边距离相等3、ABC的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，如果ABC是直角三角形，它应该与直角边是a，b的直角三角形全等实际情况是这样的吗？我们画一个直角三角形ABC，使BC=a，AC=b，C=90（课本图182-2），再将画好的ABC剪下，放到ABC上，请同学们观察，它们是否能够重合？试一试!【探究归纳】（1）互逆命题：（2）互逆定理：（3）勾股定理的逆定理： 典题解析例1：一个零件的形状如下

22、图所示，按规定这个零件中A和DBC都应为直角工人师傅量出了这个零件各边尺寸，那么这个零件符合要求吗?例2：若ABC的三边a，b，c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判定ABC的形状解析：利用因式分解和勾股定理的逆定理判断三角形的形状。移项，配成三个完全平方；三个非负数的和为0，则都为0；已知a、b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形。例3：已知：在ABC中，AB13cm，BC10cm，BC边上的中线AD12cm求证：ABAC 达标测评【基础训练】1、请完成以下未完成的勾股数： （1）8、15、_；（2）10、26、_2、ABC中，a2+b2=25，a

23、2-b2=7，又c=5，则最大边上的高是_3、以下各组数为三边的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A+1，-1，2 B7，24，25 C4，7.5，8.5 D3.5，4.5，5.54、下列各命题的逆命题不成立的是( )A.两直线平行,同旁内角互补 B.若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等C.对顶角相等 D.如果a2=b2,那么a=b5、已知：如图，AB=4，BD=12，CD=13，AC=3，ABAC，求证：BCBD6、在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，B=90，求四边形ABCD的面积【能力提升】D7、 如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB

24、=4，CE=BC，F为CD的中点，连接AF、AE，问AEF是什么三角形？请说明理由. 8、数学老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：n2345a22-132-142-152-1b46810c22+132+142+152+1（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，用含自然数n(n1)的代数式表示a，b，c；（2）猜想以a，b，c为边的三角形是否是直角三角形，证明你的猜想。勾股定理的逆定理习题精选（一）1判断题。在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角。命题：“在一个三角形中，有一个角是30，那么它所对的边是另一边的一半。”的逆命题是真命题。勾股定理的

25、逆定理是：如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形。ABC的三边之比是1：1：，则ABC是直角三角形。2、叙述下列命题的逆命题，并判断逆命题是否正确。如果a30，那么a20；如果三角形有一个角小于90，那么这个三角形是锐角三角形；如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等；关于某条直线对称的两条线段一定相等。3、填空题。任何一个命题都有 ，但任何一个定理未必都有 。“两直线平行，内错角相等。”的逆定理是 。在ABC中，若a2=b2c2，则ABC是 三角形， 是直角；若a2b2c2，则B是 。若在ABC中，a=m2n2，b=2mn，c= m2n2，则ABC是 三角形。4、若

26、三角形的三边是 1、2； ； 32，42，52 9，40，41； （mn）21，2（mn），（mn）21；则构成的是直角三角形的有（ ）A2个 B个个个5、如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )A.1倍 B. 2倍 C. 3倍 D. 4倍6、一个三角形的三边长分别为15，20，25，那么它的最长边上的高是（ ） A12.5 B12 C D97、ABC中A、B、C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（ ）A如果CB=A，则ABC是直角三角形。B如果c2= b2a2，则ABC是直角三角形，且C=90。C如果（ca）（ca）=b2，则ABC是直角三角形。

27、 D如果A：B：C=5：2：3，则ABC是直角三角形。8、下列四条线段不能组成直角三角形的是（ ）Aa=8，b=15，c=17 Ba=9，b=12，c=15 Ca=，b=，c=Da：b：c=2：3：49已知：在ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？ a=，b=，c=； a=5，b=7，c=9；a=2，b=，c=； a=5，b=，c=1。10、已知：在ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？a=9，b=41，c=40，a=15，b=16，c=6；a=2，b=，c=4 a=5k，b=12k，c=13k（k0）11、已知：如图，ABD=C=90，AD=12，AC=BC，DAB=30，求BC的长B12、 如图所示的一