高中数学第二章211.docx

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高中数学第二章211

2.1.1　平　面

学习目标

　1.掌握平面的表示法，点、直线与平面的位置关系.2.掌握有关平面的三个公理.3.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的位置关系．

知识点一　平面

思考　几何里的“平面”有边界吗？

用什么图形表示平面？

答案　没有．平行四边形．

梳理　

（1）平面的概念

①平面是一个不加定义，只需理解的原始概念．

②立体几何里的平面是从呈平面形的物体中抽象出来的．如课桌面、黑板面、平静的水面等都给我们平面的局部形象．

（2）平面的画法

常常把水平的平面画成一个平行四边形，并且其锐角画成45°，且横边长等于邻边长的2倍.

一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线画出来.

（3）平面的表示方法

①用希腊字母表示，如平面α，平面β，平面γ.

②用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示，如平面ABCD.

③用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示，如平面AC，平面BD.

知识点二　点、直线、平面之间的关系

思考　直线和平面都是由点组成的，联系集合的观点，点和直线、平面的位置关系，如何用符号来表示？

直线和平面呢？

答案　点和直线、平面的位置关系可用数字符号“∈”或“∉”表示，直线和平面的位置关系，可用数学符号“⊂”或“⊄”表示．

梳理　点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达

文字语言

符号语言

图形语言

A在l上

A∈l

A在l外

A∉l

A在α内

A∈α

A在α外

A∉α

l在α内

l⊂α

l在α外

l⊄α

l，m相交于A

l∩m＝A

l，α相交于A

l∩α＝A

α，β相交于l

α∩β＝l

知识点三　平面的基本性质

思考1　直线l与平面α有且仅有一个公共点P.直线l是否在平面α内？

有两个公共点呢？

答案　前者不在，后者在．

思考2　观察图中的三脚架，你能得出什么结论？

答案　不共线的三点可以确定一个平面．

思考3　观察正方体ABCD—A1B1C1D1（如图所示），平面ABCD与平面BCC1B1有且只有两个公共点B、C吗？

答案　不是，平面ABCD与平面BCC1B1相交于直线BC.

梳理

公理

文字语言

图形语言

符号语言

作用

公理1

如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内

A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α

①确定直线在平面内的依据

②判定点在平面内

公理2

过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面

A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α

①确定平面的依据

②判定点线共面

公理3

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

P∈α且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l

①判定两平面相交的依据

②判定点在直线上

类型一　点、直线、平面之间的位置关系的符号表示

例1　如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．

解　在

（1）中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B.

在

（2）中，α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∩l＝P，b∩l＝P.

反思与感悟　

（1）用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．

（2）根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．

跟踪训练1　根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：

（1）A∈α，B∉α；

（2）l⊂α，m∩α＝A，A∉l；（3）平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.

解　

（1）点A在平面α内，点B不在平面α内，如图①.

（2）直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图②.

（3）平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC，如图③.

类型二　点线共面

例2　如图，已知：

a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：

PQ⊂α.

证明　因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β.所以直线a⊂β，点P∈β.因为P∈b，b⊂α，所以P∈α.又因为a⊂α，所以α与β重合，所以PQ⊂α.

引申探究

将例2中的两条平行线改为三条，即求证：

和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内．

证明　已知：

a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.

求证：

a，b，c和l共面．

证明：

如图，∵a∥b，

∴a与b确定一个平面α.

∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.

又∵A∈l，B∈l，∴l⊂α.

∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，同理l⊂β.

∵平面α与β都包含l和b，且b∩l＝B，

由公理2的推论知：

经过两条相交直线有且只有一个平面，

∴平面α与平面β重合，∴a，b，c和l共面．

反思与感悟　在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：

（1）纳入法：

先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内．

（2）重合法：

先说明一些直线在一个平面内，另一些直线也在另一个平面内，再证明两个平面重合．

跟踪训练2　已知：

如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：

直线l1，l2，l3在同一平面内．

证明　方法一　（纳入平面法）

∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.

∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.

又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.

∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.

∴直线l1，l2，l3在同一平面内．

方法二　（辅助平面法）

∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.

∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.

∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.

∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.

同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.

∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．

∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．

类型三　点共线、线共点问题

例3　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：

CE、D1F，DA三线交于一点．

证明　如图，连接EF，D1C，A1B.

∵E为AB的中点，F为AA1的中点，∴EF綊

A1B.

又∵A1B綊D1C，

∴EF綊

D1C，

∴E，F，D1，C四点共面，

∴D1F与CE相交，设交点为P.

又D1F⊂平面A1D1DA，CE⊂平面ABCD，

∴P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点．

又平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，

根据公理3，可得P∈DA，

即CE、D1F、DA相交于一点．

反思与感悟　

（1）点共线：

证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上．

（2）三线共点：

证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．

跟踪训练3　已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示．求证：

P，Q，R三点共线．

证明　方法一　∵AB∩α＝P，

∴P∈AB，P∈平面α.

又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.

∴由公理3可知：

点P在平面ABC与平面α的交线上，

同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上．

∴P、Q、R三点共线．

方法二　∵AP∩AR＝A，

∴直线AP与直线AR确定平面APR.

又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，

∴平面APR∩平面α＝PR.

∵B∈平面APR，C∈平面APR，

∴BC⊂平面APR.

∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，

又Q∈α，∴Q∈PR，

∴P、Q、R三点共线．

1．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是（　　）

A．A∈l，l∉αB．A∈l，l⊄α

C．A⊂l，l∉αD．A⊂l，l⊄α

答案　B

解析　∵点A在直线l上，∴A∈l.∵l在平面α外，∴l⊄α.故选B.

2．下列说法正确的是（　　）

A．桌面是平面

B．一个平面的面积是26m2

C．空间图形是由点、线、面构成的

D．用平行四边形表示平面，2个平面重叠在一起，比一个平面要厚

答案　C

解析　由平面的概念可得．

3．在下列命题中，不是公理的是（　　）

A．平行于同一个平面的两个平面相互平行

B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面

C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内

D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

答案　A

解析　选项B是公理2，选项C是公理1，选项D是公理3，A选项不是公理．

4．线段AB在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系是________．

答案　直线AB⊂α

解析　由公理1知直线AB在平面α内．

5.如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是________．

答案　P∈直线DE

解析　因为P∈AB，AB⊂平面ABC，所以P∈平面ABC.

又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，所以P∈直线DE.

1.解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言．文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚．

2．在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想．

课时作业

一、选择题

1．下列四个选项中的图形表示两个相交平面，其中画法正确的是（　　）

答案　D

解析　画两个相交平面时，被遮住的部分用虚线表示．

2．空间中，可以确定一个平面的条件是（　　）

A．三个点B．四个点

C．三角形D．四边形

答案　C

解析　由平面的基本性质及推论得：

在A中，不共线的三个点能确定一个平面，共线的三个点不能确定一个平面，故A错误；在B中，不共线的四个点最多能确定四个平面，故B错误；在C中，由于三角形的三个顶点不共线，因此三角形能确定一个平面，故C正确；在D中，四边形有空间四边形和平面四边形，空间四边形不能确定一个平面，故D错误．故选C.

3．如果A点在直线a上，而直线a在平面α内，点B在α内，可以表示为（　　）

A．A⊂a，a⊂α，B∈αB．A∈a，a⊂α，B∈α

C．A⊂a，a∈α，B⊂αD．A∈a，a∈α，B∈α

答案　B

解析　A点在直线a上，而直线a在平面α内，点B在α内，表示为：

A∈a，a⊂α，B∈α，故选B.

4．空间四点A、B、C、D共面而不共线，那么这四点中（　　）

A．必有三点共线B．必有三点不共线

C．至少有三点共线D．不可能有三点共线

答案　B

解析　A、B、C、D共面而不共线，这四点可能有三点共线，也可能任意三点不共线，A错误；如果四点中没有三点不共线，则四点共线，矛盾，故B正确；当任意三点不共线时，也满足条件，故C错误，当其中三点共线，第四个点不共线时，也满足条件，故D错误，故选B.

5．有下列说法：

①梯形的四个顶点在同一个平面内；

②三条平行直线必共面；

③有三个公共点的两个平面必重合．

其中正确的个数是（　　）

A．0B．1C．2D．3

答案　B

解析　因为梯形的上下底互相平行，所以梯形是平面图形，故①正确；三条平行直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故②错误；若两个平面的三个公共点不共线，则两平面重合，若三个公共点共线，两平面有可能相交，故③错误，故选B.

6．三条两两相交的直线最多可确定的平面的个数为（　　）

A．1B．2C．3D．无数

答案　C

解析　在空间中，两两相交的三条直线最多可以确定3个平面，如图所示：

PA、PB、PC相交于一点P，则PA、PB、PC不共面，则PA、PB确定一个平面PAB，PB、PC确定一个平面PBC，PA、PC确定一个平面PAC.故选C.

7.如图所示，平面α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过（　　）

A．点AB．点B

C．点C但不过点MD．点C和点M

答案　D

解析　∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.

又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.

根据公理3可知，M在γ与β的交线上．

同理可知，点C也在γ与β的交线上．

二、填空题

8．三条平行直线最多能确定的平面的个数为________．

答案　3

解析　当三条平行直线在一个平面内时，可以确定1个平面；当三条平行直线不在同一平面上时，可以确定3个平面．综上最多可确定3个平面．

9．设平面α与平面β相交于l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则M________l.

答案　∈

解析　因为a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.

10．已知A∈α，B∉α，若A∈l，B∈l，那么直线l与平面α有________个公共点．

答案　1

解析　若直线l与平面α有两个公共点，则l⊂α，那么B∈α，这与B∉α矛盾，∴l∩α＝A.

11．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是____．（填序号）

①A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β；

②M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN；

③A∈α，A∈β⇒α∩β＝A；

④A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、β重合．

答案　③

解析　∵A∈α，A∈β，∴A∈α∩β.

由公理可知α∩β为经过A的一条直线而不是点A.

故α∩β＝A的写法错误．

三、解答题

12．已知直线b∥c，且直线a与直线b，c都相交，求证：

直线a，b，c共面．

证明　∵b∥c，∴直线b，c可以确定一个平面α.

设a∩b＝A，a∩c＝B，

则A∈a，B∈a，∴A∈α，B∈α，即a⊂α，

故直线a，b，c共面．

13.已知：

A∈l，B∈l，C∈l，D∉l，如图所示．求证：

直线AD，BD，CD共面．

证明　因为D∉l，所以l与D可以确定平面α，因为A∈l，所以A∈α，又D∈α，所以AD⊂α.同理，BD⊂α，CD⊂α，所以AD，BD，CD在同一平面α内，即它们共面．

四、探究与拓展

14．空间中有A，B，C，D，E五个点，已知A，B，C，D在同一个平面内，B，C，D，E在同一个平面内，那么这五个点（　　）

A．共面B．不一定共面

C．不共面D．以上都不对

答案　B

解析　当B，C，D三点共线时，B，C，D三点不能确定平面．A，B，C，D所在的平面和B，C，D，E所在的平面可能不同，所以A，B，C，D，E五点不一定共面．

15.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和CB上的点，G，H分别是CD和AD上的点，且

＝

＝1，

＝

＝2.

求证：

EH，BD，FG三条直线相交于同一点．

证明　如图，连接EF，GH.因为

＝

＝1，

＝

＝2，所以EF∥AC，HG∥AC，且EF≠GH，所以EH，FG共面，且与FG不平行．不妨设EH∩FG＝O，因为O∈EH，EH⊂平面ABD，所以O∈平面ABD，因为O∈FG，FG⊂平面BCD，所以O∈平面BCD.又因为平面ABD∩平面BCD＝BD，所以O∈BD，所以EH，BD，FG三条直线相交于同一点O.