高中数学第二章211.docx

1、高中数学第二章 2112.1.1平面学习目标1.掌握平面的表示法，点、直线与平面的位置关系.2.掌握有关平面的三个公理.3.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的位置关系知识点一平面思考几何里的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？答案 没有平行四边形梳理(1)平面的概念平面是一个不加定义，只需理解的原始概念立体几何里的平面是从呈平面形的物体中抽象出来的如课桌面、黑板面、平静的水面等都给我们平面的局部形象(2)平面的画法常常把水平的平面画成一个平行四边形，并且其锐角画成45，且横边长等于邻边长的2倍.一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线画出来.(3)平面的表示方法用希腊

2、字母表示，如平面，平面，平面.用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示，如平面ABCD.用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示，如平面AC，平面BD.知识点二点、直线、平面之间的关系思考直线和平面都是由点组成的，联系集合的观点，点和直线、平面的位置关系，如何用符号来表示？直线和平面呢？答案点和直线、平面的位置关系可用数字符号“”或“”表示，直线和平面的位置关系，可用数学符号 “”或“”表示梳理点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达文字语言符号语言图形语言A在l上AlA在l外AlA在内AA在外Al在内ll在外ll，m相交于AlmAl，相交于AlA，相交于ll知识点三平面的基本性质思

3、考1直线l与平面有且仅有一个公共点P.直线l是否在平面内？有两个公共点呢？答案前者不在，后者在思考2观察图中的三脚架，你能得出什么结论？答案不共线的三点可以确定一个平面思考3观察正方体ABCDA1B1C1D1(如图所示)，平面ABCD与平面BCC1B1有且只有两个公共点B、C吗？答案不是，平面ABCD与平面BCC1B1相交于直线BC.梳理公理文字语言图形语言符号语言作用公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内Al，Bl，且A，Bl确定直线在平面内的依据判定点在平面内公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线存在唯一的平面使A，B，C确定平面的依据判

4、定点线共面公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P且Pl，且Pl判定两平面相交的依据判定点在直线上类型一点、直线、平面之间的位置关系的符号表示例1如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系解在(1)中，l，aA，aB.在(2)中，l，a，b，alP，blP.反思与感悟(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别跟踪训练1根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的

5、图形：(1)A，B；(2)l，mA，Al；(3)平面ABD平面BDCBD，平面ABC平面ADCAC.解(1)点A在平面内，点B不在平面内，如图.(2)直线l在平面内，直线m与平面相交于点A，且点A不在直线l上，如图.(3)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC，如图.类型二点线共面例2如图，已知：a，b，abA，Pb，PQa，求证：PQ.证明因为PQa，所以PQ与a确定一个平面.所以直线a，点P.因为Pb，b，所以P.又因为a，所以与重合，所以PQ.引申探究将例2中的两条平行线改为三条，即求证：和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内证明已知：abc，laA，

6、lbB，lcC.求证：a，b，c和l共面证明：如图，ab，a与b确定一个平面.laA，lbB，A，B.又Al，Bl，l.bc，b与c确定一个平面，同理l.平面与都包含l和b，且blB，由公理2的推论知：经过两条相交直线有且只有一个平面，平面与平面重合，a，b，c和l共面反思与感悟在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线也在另一个平面内，再证明两个平面重合跟踪训练2已知：如图所示，l1l2A，l2l3B，l1l3C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内证明方法一(纳入平面法

7、)l1l2A，l1和l2确定一个平面.l2l3B，Bl2.又l2，B.同理可证C.Bl3，Cl3，l3.直线l1，l2，l3在同一平面内方法二(辅助平面法)l1l2A，l1和l2确定一个平面.l2l3B，l2，l3确定一个平面.Al2，l2，A.Al2，l2，A.同理可证B，B，C，C.不共线的三个点A，B，C既在平面内，又在平面内平面和重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内类型三点共线、线共点问题例3如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点求证：CE、D1F，DA三线交于一点证明如图，连接EF，D1C，A1B.E为AB的中点，F为AA1的中点，EF綊A

8、1B.又A1B綊D1C，EF綊D1C，E，F，D1，C四点共面，D1F与CE相交，设交点为P.又D1F平面A1D1DA，CE平面ABCD，P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点又平面A1D1DA平面ABCDDA，根据公理3，可得PDA，即CE、D1F、DA相交于一点反思与感悟(1)点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上(2)三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作

9、某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点跟踪训练3已知ABC在平面外，其三边所在的直线满足ABP，BCQ，ACR，如图所示求证：P，Q，R三点共线证明方法一ABP，PAB，P平面.又AB平面ABC，P平面ABC.由公理3可知：点P在平面ABC与平面的交线上，同理可证Q、R也在平面ABC与平面的交线上P、Q、R三点共线方法二APARA，直线AP与直线AR确定平面APR.又ABP，ACR，平面APR平面PR.B平面APR，C平面APR，BC平面APR.QBC，Q平面APR，又Q，QPR，P、Q、R三点共线1用符号表示“点A在直线l上，l在平面外”，正确的是(

10、)AAl，l BAl，lCAl，l DAl，l答案B解析点A在直线l上，Al.l在平面外，l.故选B.2下列说法正确的是()A桌面是平面B一个平面的面积是26 m2C空间图形是由点、线、面构成的D用平行四边形表示平面，2个平面重叠在一起，比一个平面要厚答案C解析由平面的概念可得3在下列命题中，不是公理的是()A平行于同一个平面的两个平面相互平行B过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线答案A解析选项B是公理2，选项C是公理1，选项D是公理3，A选项不是

11、公理4线段AB在平面内，则直线AB与平面的位置关系是_答案直线AB解析由公理1知直线AB在平面内5.如图，已知D，E是ABC的边AC，BC上的点，平面经过D，E两点，若直线AB与平面的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是_答案P直线DE解析因为PAB，AB平面ABC，所以P平面ABC.又P，平面ABC平面DE，所以P直线DE.1.解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线

12、的实虚2在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想课时作业一、选择题1下列四个选项中的图形表示两个相交平面，其中画法正确的是()答案D解析画两个相交平面时，被遮住的部分用虚线表示2空间中，可以确定一个平面的条件是()A三个点 B四个点C三角形 D四边形答案C解析由平面的基本性质及推论得：在A中，不共线的三个点能确定一个平面，共线的三个点不能确定一个平面，故A错误；在B中，不共线的四个点最多能确定四个平面，故B错误；在C中，由于三角形的三个顶点不共线，因此三角形能确定一个平面，故C正确；在D中，四边形有空间四边形和平面四边形，空间四边形不能确定一个平面

13、，故D错误故选C.3如果A点在直线a上，而直线a在平面内，点B在内，可以表示为()AAa，a，B BAa，a，BCAa，a，B DAa，a，B答案B解析A点在直线a上，而直线a在平面内，点B在内，表示为：Aa，a，B，故选B.4空间四点A、B、C、D共面而不共线，那么这四点中()A必有三点共线 B必有三点不共线C至少有三点共线 D不可能有三点共线答案B解析A、B、C、D共面而不共线，这四点可能有三点共线，也可能任意三点不共线，A错误；如果四点中没有三点不共线，则四点共线，矛盾，故B正确；当任意三点不共线时，也满足条件，故C错误，当其中三点共线，第四个点不共线时，也满足条件，故D错误，故选B.5

14、有下列说法：梯形的四个顶点在同一个平面内；三条平行直线必共面；有三个公共点的两个平面必重合其中正确的个数是()A0 B1 C2 D3答案B解析因为梯形的上下底互相平行，所以梯形是平面图形，故正确；三条平行直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故错误；若两个平面的三个公共点不共线，则两平面重合，若三个公共点共线，两平面有可能相交，故错误，故选B.6三条两两相交的直线最多可确定的平面的个数为()A1 B2 C3 D无数答案C解析在空间中，两两相交的三条直线最多可以确定3个平面，如图所示：PA、PB、PC相交于一点P，则PA、PB、PC不共面，则PA、PB确定一个平面PAB，PB、PC确定一个平面PB

15、C，PA、PC确定一个平面PAC.故选C.7.如图所示，平面l，A、B，C，且Cl，直线ABlM，过A，B，C三点的平面记作，则与的交线必通过()A点A B点BC点C但不过点M D点C和点M答案D解析AB，MAB，M.又l，Ml，M.根据公理3可知，M在与的交线上同理可知，点C也在与的交线上二、填空题8三条平行直线最多能确定的平面的个数为_答案3解析当三条平行直线在一个平面内时，可以确定1个平面；当三条平行直线不在同一平面上时，可以确定3个平面综上最多可确定3个平面9设平面与平面相交于l，直线a，直线b，abM，则M_l.答案解析因为abM，a，b，所以M，M.又因为l，所以Ml.10已知A，

16、B，若Al，Bl，那么直线l与平面有_个公共点答案1解析若直线l与平面有两个公共点，则l，那么B，这与B矛盾，lA.11已知、为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是_(填序号)Aa，A，Ba，Ba；M，M，N，NMN；A，AA；A、B、M，A、B、M，且A、B、M不共线、重合答案解析A，A，A.由公理可知为经过A的一条直线而不是点A.故A的写法错误三、解答题12已知直线bc，且直线a与直线b，c都相交，求证：直线a，b，c共面证明bc，直线b，c可以确定一个平面.设abA，acB，则Aa，Ba，A，B，即a，故直线a，b，c共面13.已知：Al，Bl，Cl，Dl，如图所示求证：

17、直线AD，BD，CD共面证明因为Dl，所以l与D可以确定平面，因为Al，所以A，又D，所以AD.同理，BD，CD，所以AD，BD，CD在同一平面内，即它们共面四、探究与拓展14空间中有A，B，C，D，E五个点，已知A，B，C，D在同一个平面内，B，C，D，E在同一个平面内，那么这五个点()A共面 B不一定共面C不共面 D以上都不对答案B解析当B，C，D三点共线时，B，C，D三点不能确定平面A，B，C，D所在的平面和B，C，D，E所在的平面可能不同，所以A，B，C，D，E五点不一定共面15.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和CB上的点，G，H分别是CD和AD上的点，且1，2.求证：EH，BD，FG三条直线相交于同一点证明如图，连接EF，GH.因为1，2，所以EFAC，HGAC，且EFGH，所以EH，FG共面，且与FG不平行不妨设EHFGO，因为OEH，EH平面ABD，所以O平面ABD，因为OFG，FG平面BCD，所以O平面BCD.又因为平面ABD平面BCDBD，所以OBD，所以EH，BD，FG三条直线相交于同一点O.