大话物理第四章 广义相对论的故事分解.docx

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大话物理第四章广义相对论的故事分解

第四章广义相对论的故事

　　在万有引力的作用下，地球围绕太阳沿着椭圆形的轨道周而复始地运转，此时，如若借用“上帝之手”把太阳从星空中抹去：

伴侣消失了，地球该何去何从？

　　按照牛顿模型，太阳被摘除的瞬间，它与地球之间的吸引力也就不存在了；而失去了向心拉力的地球不再受任何羁绊，它将顺从原初的运动趋势前行，像一匹脱缰的野马笔直地冲出太阳系，唯恐稍缓一步便会堕回到椭圆的桎梏当中。

如此说来，引力从施力物体传递到受力物体身边似乎不必花费时间，不论相隔多远，只要携带质量的物体成对出现，它们之间顷刻就能相互吸引。

我们暂且把这种超越空间跨度、依靠“神秘感应”而发生效用的行为，命名为“超距”作用。

　　力真的能够超越距离而存在吗？

　　这个问题也曾令牛顿本人困惑不已，但受限于当时的天文观测水平，即使聪慧如牛顿也无法通过纯粹的逻辑推演来寻求答案。

于是，他转而投向了宗教的怀抱，良久，牛顿果然获得了“神谕”：

解决这个问题的办法就是——忽略它——毕竟上帝创造太阳就是为了让其永恒不灭照耀万物，所以，引力突然消失、地球被迫出局的诡异景象无论如何也不会变为现实，大家又何必杞人忧天呢……

飞屋历险记

　　上一单元曾提到，十七世纪初，法国哲学家笛卡尔为了诠释星体之间的交互作用，曾孵化出一个全新的“以太”概念，尔后，莱布尼兹等大师都纷纷将其视为对抗超距引力的尚方宝剑；可时光流转，等到爱因斯坦这个“启蒙较晚”的孩子刚刚开始自学欧几里得、爱上康德\\马赫时，以太却已被迈克尔逊-莫雷实验永久地打入了冷宫。

还有什么理论能替代超距作用呢？

　　二十世纪初，狭义相对论发表的头几年，尽管世人对它的伟大尚未曾了悟，爱因斯坦自个儿已然从成功的眩晕之中兀自出离，迫不及待地奔向了宇宙更深一层秘境。

要盘问超距现象，首先得将其罪魁祸首——万有引力——捉将起来；而若想从多重角度来解析万有引力，就必须得构造一批引力之源吧。

正如：

为了把握运动的本质，伽利略曾不厌其烦做起了木工活；要了解光，牛顿亲手打磨着三棱镜；而为了探究电磁场，法拉第在脑海中勾勒出无数条力线，一步步令其现出原形……

　　那么，如何才能获得各式各样的力源呢？

经典力学中，引力唯一的源泉便是质量，但与微观世界的库仑力比起来，它实在太微弱，地球那么巨大的物体与你近距离接触，作用力也不过区区500牛顿（注：

假设你的质量为50千克）。

如此说来，窃取“超级质量”无望，而修改引力常数G大概是只有设计之神才能完成的“超级任务”，所以，人工打造不同强度的力源以供检测那是相当困难。

当时已知最宏大的天然力源就是太阳，可是尚不能冲出大气层的人类，如何对那团远在天边的等离子体进行探测呢？

幸好，我们有爱因斯坦；幸好，爱因斯坦还未在该领域使出他的独门绝招：

思想实验。

　　三百年前，伽利略就认识到：

力学定律无法分辨匀速直线运动与相对静止，因为两者皆不受外力作用，在某种意义上它们是等效的。

所以，想要探究匀速体系内各物体的动力学表现，只需构造一个与其相同的系统，令新系统处于静止状态，对它进行观测即可。

那么，有没有某种“不变性”可以像静止状态替换匀速运动那样，神不知鬼不觉地把处于引力魔掌之下的物体偷换到相同效应的其他体系中呢？

经过长达两年的追寻，灵感的浪涛终于将漫步在思维海岸的爱因斯坦卷进了一片前所未知的奇境。

注：

爱因斯坦的所谓“启蒙较晚”，那是与他同时代的玻恩、普朗克、薛定谔等一干物理学家相比，这群智慧的小火苗在十来岁时普遍已掌握数门语言、通晓音律、并疯狂爱恋着自然科学。

可通俗读物中常常把爱因斯坦描述成一木讷笨小孩——参照系搞错了吧——十六岁自学完微积分、熟读各大哲学流派的经典论著且小提琴达到演奏级，这在中国进少年班也是妥妥的

请闭上眼睛，跟随爱因斯坦一同去体验这趟冒险之旅吧。

首先，欢迎来到魔力小屋：

你睡在卧室柔软的床上，承受着地心引力带来的重力感，一切都踏实无比；随后，你不经意地朝窗外望去，这一望，差点儿没魂飞魄散——四周哪有什么大地、花园，你的房间正挥舞着翅膀向上狂冲。

而你之所以能够确定自己疯狂处境，凭借的是屋外相对静止的参照物：

草坪、树木、摩天高楼……一样一样飞速地被你甩到脚下、越缩越小……而此时，如果你不伸头探出窗外，根本不会对这离奇的变换有丝毫察觉。

WHY？

！

？

！

这得回到万能的引力公式，从宇宙常数G中寻找答案。

原来，G不单是引力常数，同时还与引力场引发的加速度有着千丝万缕的联系；具体到地心引力环抱下的每块物件，G可变身为“重力加速度”g（推导过程见附录三）。

现在，带上g回到刚才的梦境当中，此刻如果脚下的地球消失（即：

撤除引力源），只要你的魔力小屋能够以g为恒定加速度沿着直线一路飞升，你待在屋内就和待在地球表面感觉一模一样！

也许你会问：

好吧，虽然我的身体感受不到差别，但当我把泰迪熊扔向空中，总还能发现异常吧——由于失去了重力，泰迪将在屋里自由飘荡。

说得没错，离开你怀抱的瞬间，泰迪的确将随意飞舞；但请稍等片刻，你的小熊虽然很自由，你的房间却身不由己，在翅膀的扑腾下房间的地板正马不停蹄地朝着泰迪悬空的方向狂奔呢……因此，过不了一秒，地板将主动撞上泰迪；而从你的角度看，情况与泰迪坠落到地板并没有任何不同。

由此，自伽利略以来，爱因斯坦成为了第二个深刻洞见宇宙的终极秘密——相对性原理——的人：

不仅匀速运动与静止状态下的物理法则是等效的，处于惯性力场与引力场中的物理效应同样难以分辨。

之所以说“难以”分辨，是因为：

不同于运动/静止体系，惯性力场与引力场之间还是存在着细微差别的。

你需要再次回到梦境，别害怕——这次，我保证是个美梦：

请你住进一套宽广无比的超级豪宅，房屋占地面积四四方方足有十平方千米。

如图a，在那么大的跨度内，从一端跋涉到另一端将比任何一堂地理课更有助于理解这句名言：

地球是圆的。

此时，如果位于屋顶两端的水晶灯同时朝着地面掉落，你将发现它们的轨迹并不平行（因为两盏灯的运动方向都必须指向地心）。

然后，同上例一样，把地球撤走，换成一对超级翅膀带着豪宅以加速度g腾空飞翔。

此刻，对于端坐在沙发的你来说，当然感受不到任何变化；可是，对于高悬在屋顶的水晶灯来说，它们的“下落”轨迹却与刚才有所不同。

如图b，由于匀净的加速度，两端的地板都将笔直撞向水晶灯，所以，两盏灯的“掉落”轨迹互相平行。

一个细小的区别，让你不用借助参照系，就可分辨出脚下到底是地球还是虚空。

因此，这一“偷天换地”只有在引力场的大小与方向都分布均匀的情况下才能施行，具体到地球表面，由于所有物体受到引力方向都直指地心，所以必须强调：

在空间一个足够小的区域内，处在引力场中的系统与另一个在无引力条件下做匀加速直线运动的系统相比，二者的动力学效应不可区分。

这就是爱因斯坦“等价性原理”。

还记得《力的故事》中有关空间站的谜题吗：

近地环行的空间站明明处在地心引力的管辖范围内，宇航员为何纷纷“失重”？

把爱因斯坦的立论反推一下，答案即自动浮出水面：

当空间站在引力的牵拉下朝着地球“自由下落”时，就相当于在重力场的反方向给自己设定了一个加速度，也就是说，它在反方向上有了一个新的“场”，正好把指向地心作用力给抵消掉，因此，自由下落的物体感受不到重力的存在！

想知道太空舱里啥滋味——去玩蹦极吧。

时间弯曲

回到正题，有了爱因斯坦的终极版相对性原理之后，科学家不必斥巨资建造各类引力场或望眼欲穿地等待着星际旅行把他们送至黑洞附近，只需通过调节系统的加速度，观察各匀加速状态下系统内部的状况，就可以一窥引力的奥妙了。

如图，在航天火箭的舱头A与舱尾B各放置一只钟表，起飞前先把它们的指针校调一致，然后令火箭以恒定加速度a前行；问随着飞行越来越快，两只钟表谁将跑得比较快？

什么，钟表不是校准过吗，它俩应该步调一致呀？

为搞清楚这个问题，需要在位置A处再配置一台发光设备，令A钟每走过一秒就闪光一次；而位置B处则负责接收信号，并与自己的指针相比较。

假若A第一次闪光时，火箭正在位置a处，如图一。

那么当B接收到光信号时，火箭已前行到位置b。

别忘了，火箭还在继续加速，等到A第二次闪光时，将处于图二当中的位置c，同理，B在位置d处才接收到光信号。

由图可知，光第一次行走的路程为L1，第二次为L2；由于图二中火箭的行驶速率要大于图一，所以接收器B第二次捕捉到信号时，光所走过的距离L2就要短于L1。

因为A处两次发光的间隔已设定为1秒钟，并且第二轮光所走过的路程L2要比L1短了一段微小的距离，而光速恒定，所以，B接收到两次光信号的时间间隔（以B钟来测量）要比1秒稍微短那么一点点。

以此类推，B处检测到的所有“前一轮闪光”与“后一轮闪光”之间的时差都将比A处略短些，也就是说，当你坐在舱尾，你将发现：

B钟比A钟跑得慢！

根据等价性原理，我们把发动机关闭，将火箭移至重力场中，比如：

令其矗立在地球表面。

同样，在舱头与舱尾各放一只钟表，耐心等待足够长的时间，你将见证奇迹：

两种表的时间刻度渐渐拉开了距离，接近地心的那只越走越慢（注：

因为地球所能提供的力场还不够强，带来的细微变化需要积累放大之后才能被“看”到）。

处在引力场中不同位置，时间的快慢将发生变化——这就是传说中的“时间弯曲”效应。

不知这一景象是否满足你的期待，它或许并不像某些幻想大片中吹嘘得那么神乎其神，但却于精微处展现了设计的韵律之美。

有了等价性原理，科学家不必冒着“无穷大”的危险满世界地搜寻黑洞并徘徊在其周围以测算时间差，只需把两只时钟一前一后塞进高速火箭，待其环游归来，比较指针的位置即可。

但其实，还有更简便的方法：

在狭义相对论的启发下，理论家已经知晓相对运动的两个体系遥相对望时分别会看到什么情形。

因此，通过观测者与被观测者的身份调换游戏，研究人员甚至不必将时钟送上火箭，只需利用关系式计算出呼啸而过的火箭上，地面相对静止的时钟在宇航员眼中的变化，就可精确预测时间在不同强度的引力场中的弯曲程度了。

具体说来：

引力场越强、物体距离引力源越近，时间流动得就越缓慢。

因此，居住在极地梦幻冰屋里时间要比待在赤道摩天大楼中来得慢，难道这就是爱斯基摩人的长寿秘诀？

其实，由地心引力所造成的时间延缓效应非常之弱，二十千米的差距下，每百年还不到一秒——想要靠此延寿，收效甚微。

所以啊，与其立马移民极地，莫如老实呆在原地，只是每日上下班时用爬楼梯来代替乘电梯吧。

第五公设谜题

比起摆弄一维时间的小戏法，关于三维空间的故事可就说来话长了。

公元前三百年，托勒密王朝位于尼罗河畔的港埠——亚历山大城——正沉浸在如火如荼的建设中，作为新近崛起的文化之都，它深深吸引着来自各方的求学论道者；这其中，有一位从爱琴海边另一文明发源地——雅典古城——“柏拉图学园”不远万里跋涉而来的数学爱好者——欧几里得（Euclid）。

在亚历山大，他的才华得以尽情施展，不仅有机会与众同仁讨论最新发现，更收集到自毕达哥拉斯以来两个半世纪里人们在探究数与图形的关系时留下的大量手稿。

随着眼界的拓宽，欧几里得猛然意识到：

这堆表面上零碎又松散的命题，如利用逻辑关系加以梳理，完全可以整合成一个富有生命力的机体。

多年后，欧几里得终于将自己的毕生心血凝聚成数学史上集大成之作《几何原本》，就像加砖垒块的建筑工程一样，《几何原本》从底层基石——五大公设——出发，借助井然有序的逻辑链推导出了当时世上已知的全部几何定理，首次将人类赖以生存的物质空间抽象成一座点、线、面的游乐园。

如果学界也来评选“七大奇观”的话，欧式几何大厦定能位列其中，两千三百年来，它傲然挺立，为漫游在思维王国的探险家们标定着方向；并且，坚实的地基令大厦得以广纳八方砖石，不断生长，高高耸入云端……

然而，这本旷世之作却命途多舛，随着希腊文明的星光消逝在欧洲大陆，《几何原本》也被它的发祥地彻底遗忘。

幸好，智慧本身蕴藏着一种不可思议的生命力，千禧年首度来临之际，十字军铁鞭之下觅不见知音的《几何原本》竟奇迹般地漂流到阿拉伯境地，它浑厚的气势立刻令异域城邦里最聪明的头脑也纷纷为之迷醉，参与到修订与扩充的工作中。

直至公元十二世纪，英国旅行家阿德拉德（Adelhard）乔装打扮成一穆斯林学生混进摩尔人居住的西班牙，在那里，他意外获得了一本经典教材——用古兰经语体写就的《几何原本》，虽然看不全懂，阿德拉德却被其中包罗万象的推演之术所折服，于是偷偷将它译成拉丁文，并冒着生命危险翻越比利牛斯山脉把这本“真经”带进基督的领地。

至此，《几何原本》绕遍大半块亚欧大陆终于又回到了故乡的怀抱，它于1482年在威尼斯首版刊印，隐匿在暗夜中的求知者们如饥似渴地争相传阅，数学的星光照亮了颗颗好奇之心，在文艺复兴的道路上燃起一片灯海……

在为大厦添砖加瓦的同时，少数深入到最底层的勇士心中总有一丝挥之不去的困惑：

欧式几何的五大公设中，有一条与其他几条似乎不太一样。

“如果一条与两条直线都相交的直线使同一侧的内角和小于180°，那么，如果无限延长这两条直线，它们将相交于内角和小于180°的一侧。

”真是拗口，它一点都不像“两点确定一条直线”、“直线可无限延长”、“已知圆心与半径可以确定一个圆”以及“所有直角彼此相等”那样的显而易见；另外，从陈述上看它是如此的繁琐，根本不像一条基本法则。

从十三世纪旭烈兀汗（注：

成吉思汗之孙，忽必烈的兄弟，于1264年在中亚地区建立伊尔汗国）的天文学家纳西尔?

埃丁（NasirEddin）到五百年后意大利耶稣会的牧师吉罗拉摩?

萨凯里（GirolamoSaccheri），诸位率先触及谜团核心的探险者各自使尽浑身解数，都渴望着把这一漏洞补上，而最直接的方法就是：

从另外四条公设推演出第五条，这样，“第五公设”虽则暗地里被降级为一推论，却丝毫不会动摇整座大厦的稳固性。

但他们几经挣扎，到头来却都不得不承认：

无论怎样绕山绕水趟过九曲十八弯，第五公设也无法像其他定理那样，由其他四大公设迂回地构造起来。

这一事实不仅令人沮丧，更透着一种不祥的预兆：

五大公设可是几何大厦的基石呐，倘若其中一块果真有所松动，将带来怎样一场噩梦：

眨眼间，整座大厦轰然崩摧……

时间之轮滚滚前进，十七世纪初，伴随着解析几何的诞生，看似座座孤岛的代数、几何之间暗伏于浅海的大陆架忽然凸现在世人面前——原来函数与图形可以如此巧妙地相互转换；而此时，数学家对几何系统的检视也愈加严格，因为这不仅关乎一座孤岛、更牵连着整片海洋的命运！

终于，人类的心智不得不全力应对这一挑战：

第五公设是完备的吗？

我们必须找到答案。

舍卒保車？

这还不够！

如果抛开完备性不谈，恼人第五公设可以衍生出许多有趣的结论，比如：

“任意三角形的三个内角之和必定等于180°”；再如：

“过直线外给定一点，有且仅有一条直线与原直线相互平行”。

这些都是每个初识几何的孩子最先了解的法则，与我们的日常经验完全吻合，在纸页上，你画出过内角和不为180°的三角形吗？

你能过线外一点画出两条以上与原直线相平行的直线吗？

但仔细一想，你便会发觉，此类法则里其实都预先埋藏了一个小陷阱：

它们假定空间只存在唯一一种样貌——平坦而均匀——正如铺展在桌上的纸页，没有丝毫波澜地向着四方无限延伸。

空间确是“平直”的，这不显然吗？

来自匈牙利的诗人兼数学家法尔卡斯?

鲍耶（FarkasBolyai）投入了大量精力试图从以上两条相互等效的推论入手，证明第五公设的完备性。

1804年，法尔卡斯认为自己在这条路上终有所突破，他把手稿寄给在哥廷根大学结识的朋友、数学王子：

卡尔?

弗里德里希?

高斯（CarlFriedrichGauss）；然而高斯很快就发现了证明过程中的破绽，复信予以驳回。

受挫的法尔卡斯转而将激情投入到诗集、剧本、甚至乐曲的创作中，作为一个爱好广泛的人，他并没有被难缠的“第五封印”给束住手脚，依然享受着生活的多重乐趣。

但终其一生，法尔卡斯都难以抛舍对数学女神的那份眷恋，他甚至专门写了一套《将好学青年引入纯粹数学原理的尝试》，从书名你就能猜到，法尔卡斯是想借此把更多聪颖的脑袋诱惑到迷宫中来，揭开他所未能揭开的谜团……

然而，比法尔卡斯所构思的一切戏剧都更加戏剧性的是，他对第五公设的痴迷潜移默化地影响到了自己最不愿影响的人——心爱的儿子：

亚诺什?

鲍耶（JánosBolyai）。

1817年，十五岁的亚诺什?

鲍耶考入维也纳皇家工程学院，当他告诉父亲：

我愿意把才智全都投入到解除“第五封印”的伟大工程中去时，法尔卡斯?

鲍耶立即提笔回信，不顾一切地劝阻儿子放弃对这一幻影的追逐：

“它将剥夺你所有的闲暇、健康、思维的平衡以及一生的快乐，那无尽的漆黑将会吞吃掉一千个灯塔般的牛顿。

”

但此时的鲍耶已经彻底被第五公设给迷住了，想想看，一个从记事起就跟随父亲一同钻入数学这座荆棘遍布的密林中探险，并目睹父亲被刺得遍体鳞伤的孩子，征服这一魔咒对他来说有多大的吸引力啊。

可想而知，他没有听从父亲的教诲，独自潜入几何大厦的最底层，前人的失败给鲍耶带来了珍贵的启示：

既然从基本公设出发往上推演的道路不通，我何不逆其道而行之，采用“反证法”。

反证法又称归谬法，自阿基米德以来，为无数逻辑大师所钟爱。

虽然具体形式多种多样，但所有反证案例统统都遵循着一个原理：

为了证明我的观点是对的，首先要大胆假设它是错的；然后从这一错误论点推举出一系列荒谬结论，以此来论证我原初的观点实则是正确的。

楚河汉界、短兵相接，舍卒保車是常用招数；为顾全大局，棋手有时甚至不惜弃車而保马炮；但数学家，为了最终的胜利，他舍得牺牲整盘棋局！

具体到第五公设，鲍耶的做法是：

从公设的一条推论“过直线外一点有且只有一条直线与之相平行”出发，假设该推论是错的，那就意味着：

“过直线外一点或者可以画若干条平行线，或者干脆连一条平行线都找不到”。

只要沿着这一枝蔓找到任何与其他四大公设相矛盾的结论，即可反证第五公设成立。

但大自然的设计再次超乎意料，随着鲍耶在“反五公设”的迷域中层层深入，他逐渐意识到：

这片“异世界”对其他四大公设根本构不成哪怕一丝矛盾——过直线外一点真的可以作出无数条与其相平行的直线，与此同时，三角的内角之和竟然能够小于180°——只要允许新世界的空间不再平直，一切皆有可能！

1823年，年仅21岁的鲍耶怀着无比激悦的心情写信告诉父亲：

“无中生有，我已经创造了一个奇异的新宇宙。

”

可惜，当老鲍耶将儿子的重大发现寄去给高斯，后者只淡淡地表示，他早已推得类似结论。

可怜的小鲍耶心灰意冷，直到1832年，才在父亲的帮助下将其开创性的工作整理为一篇文章《绝对空间的科学》，作为附录收编在老鲍耶即将出版的数学书中。

几乎就在同一时期，远在俄国的另一位天才——尼古拉斯?

罗巴切夫斯基（NikolasLobachevsky）——也循着同样的思路独立导出了同样的结论。

1826年2月23日，喀山大学三十四岁的物理数学系教授罗巴切夫斯基在一次校内学术会议上，宣读了自己于此课题的第一篇论文：

《几何学原理及平行线定理严格证明的摘要》，“非欧几何”终于在世人面前揭下了神秘面纱。

然而这个非凡的时刻却并不是罗巴切夫斯基幸运的开始，“第五封印”的解禁激怒了俄国境内所有正统派权威，他们一面斥责那位胆敢颠覆欧几里得的狂人、一面大声嘲笑着那些内角和不为180°的“发了疯的三角形”……

但实际上，并不是所有人都无法理解非欧几何，一位默立在巴别塔之巅的智者早已了悟这一切，他就是鲍耶父子的“朋友”高斯。

1842年，罗巴切夫斯基的论文传到普鲁士时，六十五岁高龄的高斯竟暗自学起了俄语，只为能够系统研读罗氏的专著；他在写给同僚的信件中私下称赞罗巴切夫斯基是俄国最优秀的数学家，并推举其加入哥廷根皇家科学院，但公开场合却对罗巴切夫斯基最重要的工作只字不提。

这位畅行于数学王国各通途幽径、法力无边的巫师，为何在“第五封印”即将开启的历史性时刻却保持缄默？

从高斯身后留下的文稿可知，他自己也曾耗费数十年光阴来探究第五公设，因而深切地知晓：

一旦罗氏几何成立，对人类数千年所形成的时空观是怎样一种挑衅。

所以，背负盛名的高斯为了维护自己至高无上的地位，在事关几何存亡的问题上，他选择了逃避。

六十年代，鲍耶与罗巴切夫斯基在各自建造的奇异花园里孤独地走向生命尽头，他们至死也没能看到自己的理论获得承认，世人正极尽嘲讽之能，将这套不容于欧几里得的几何体系的归属权划分给外星人——“星际几何”——不知谁想出了这么个颇具预见性的好名字。

属于星星的几何学

下面，让我们跟随两位勇敢的先行者，借助两个神奇的三角形，钻入违反常理的非欧乐园吧。

结识几何学之初，相信每个人都从欧几里得那本比《启示录》还要古老的典籍中读到过一条真理：

“三角形的内角之和等于180°”。

在任何平铺的白纸上，无论画出多少直角、锐角、钝角三角形，测量其内角之和必定不多不少恰好等于180°；还可以把纸卷起来，弯成粗筒、细筒、三角锥……一切你能够开发的奇形怪状，画在纸面的三角形并不会“掉”下来，也就是说，各内角之和依然保持180°。

但世上的纸，可不一定都是平展的。

把一个皮球剪开剖成两半，取其中任意一块，不论你怎样拉扯半球的外表面都不可能紧紧与桌面相贴合——中间总是要凸起一部分。

再把一游泳圈拿来，这回需要动三刀：

两刀截下其中一段，再沿其外圈剪开，你将得到一张马鞍形的皮膜，把它放到桌面上，不论怎样按压——两端总是高高翘起。

在这些特殊的面上画三角形，结果会怎样呢？

图1为球体表面的三角形，与平面上的哥们儿比起来，它长胖了。

此时，若测量其内角之和，你将得到一大于180°的数值！

不信？

脚下就有个生动的例证：

站在地球南极极点，沿着经线往北走1千米，转身朝西走1千米，再次转身，沿着另一根经线往南走1千米，低头一看——你又回到了南极点上。

三条路线首尾相连，构成一闭合图形：

“胖三角”，而你从南往西再由西向北，每个转角都是方方正正的90°，加起来刚好180°，剩下那个夹角不论多大，添上去都妥妥地超越了180°。

再看图3，马鞍表面的三角形则显得有些瘦弱，经过测算可知：

其内角之和小于180°。

是什么因素在操纵着三角形的三个角呢？

当你把平展的白纸换做高凸的球面或扭曲的马鞍时，究竟改变了什么？

就在罗巴切夫斯基向世人敞开非欧几何花园的同年，普鲁士汉诺威城附近一个偏僻的小村庄里，清苦的路德会牧师家庭迎来了他们的第二个孩子：

伯恩哈德?

黎曼（BernhardRiemann）。

这个性格腼腆的男孩早在六岁时就已显露出超凡的数学天分，能够解答大人们给出的任何算数题，甚至还自个儿创造出一些比专业教师所掌握的更好的算法。

十九岁时，黎曼跨入学术圣殿哥廷根，为了子承父业他原本打算攻读神学，但却不知不觉被学校开设的数学课程给吸引住了；小心翼翼地征得父亲的同意后，黎曼转入柏林大学，不想却被卷入一场政治动乱，曾充当“学生军”一连十六小时守护在皇宫外保卫国王……

1849年，声名如日中天的高斯已渐入晚年，看来他是铁了心要把自己神游非欧城堡的小秘密独自带入坟墓了，可历史就像一个爱捉弄人的精灵，偏偏不愿放过逃避使命的人。

当二十二岁的黎曼几经周折重新回到算符乐园，他毫不犹豫地选择了心仪已久的“数学魔法师”高斯作为自己攻读博士学位的导师。

此后的五年间，黎曼自由驰骋于思维王国，在数学分析、函数论、偏微分等方面做出许多开创性的工作；他的ζ函数引发起众高手在数之汪洋中探求质数分布规律的新一轮狂潮，从1851年问世之日起到1900年希尔伯特在那举世瞩目的数学年会上把其收编为亟待解决的“23大难题”再到今日，人类又跨入一个全新的世纪，这一命题仍是数学皇后——数论——皇冠上最耀眼的宝石，吸引着世上最聪明的头脑前去摘取……但当时全欧洲可供学者谋生的职位少之又少，即便哥廷根这样的顶尖学府，老教授的位置不空缺，年轻一辈成绩再出色也安插不进来；直到1854年，黎曼才好不容易争取到一个没有工资、但可由学生们付钱聘请他教课的教师岗位，他立即全情投入地开始准备任职资格报告。

按照校方要求，他必须向系里提交三篇尚未发表的论文，每篇所涉及的领域还得各不相同。

黎曼将第一、第二论题都选在自己驾轻就熟的领地，但第三个命题——几何——对他来说却是一片相对陌生的新天地。

最终的入职演讲只需从三论题中任选其一，一般来说，学院的诸位大师也明白术业各有专攻的道理，不太会为难这些将来的接班人，都倾向于考察他们排在前面的论题。

但这一次，导师高斯也许是觉得眼前这位年轻人的才气非同一般，玉璞须