奥林匹克数学竞赛第17讲反比例函数的图象与性质.docx
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奥林匹克数学竞赛第17讲反比例函数的图象与性质
奥林匹克数学竞赛第 17 讲反比例函数的图象
与性质
考点· 方法· 破译
1．反比例函数的定义：
形如 y = k
x
（或 y = kx -1 ，k≠0）,y 叫做 x 的反比例函数.
2．反比例函数的图象特征：
反比例函数的图象是双曲线，关于 y＝x 或 y＝－x 轴对称，
关于原点 O 成中心对称，当 k＞0 时，图象的两支分别在第一、三象限，当 k＜0 时，图象
的两支分别在第二、四象限，
3．反比例函数的性质：
当 k＞0 时，在每个象限内，y 随 x 增大而减小；当 k＜0 时，在
每个象限内，y 随 x 增大而增大.
经典· 考题· 赏析
【例１】（西宁）已知函数 y = -
k
x
中，x＞0 时，y 随 x 增大而增大，则 y＝kx－k 的大致
图象为（）
yyyy
OxOxOxOx
ABCD
【解法指导】因为 y = - k
x
中，x＞0 时 y 随 x 增大而增大，则－k＜0，k＞0，而一 次
函数 y＝kx－k 中，k＞0，－k＜0，因而直线向右上方倾斜,与 y 轴交点在负半轴上，所以选
A．
【变式题组】
01．已知反比例函数 y = a
x
（a≠0）的图象，在每一象限内，y 的值随着 x 值增大而减小，
则一次函数 y＝－ax＋a 的图象不经过（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
02．（龙岩）函数 y＝x＋m 与 y =
yy
m
x
（m≠0）在同一象限内的图象可以是（
y y
OxOxOxOx
ABCD
03．（凉山州）若 ab＜0,则正比例函数 y＝ax 与反比例函数 y =
b
x
在同一坐标第中的大致图
象可能是（）
yyyy
OxOxOxOx
ABCD
y
4
y（x＞0）的图象如图所示，则结论：
①两
B
A
C
＜2 时，y2＞y1;④当 x 逐渐增大时，y1 随着 x 的增大而增大，y2O x＝1
随着 x 的增大而减小.其中正确结论的序号是.
y1＝x
4
y =
x
x
【例 2】如图，A、B 分别是反比例函数 y =
10 6
， y = 图象上的点，过点 A、B 作 x 轴
x x
的垂线，垂足分别为 C、D，连接 OB、OA，OA 交 BD 于 E 点，△BOE 的面积为 S1，四边
形 ACDE 的面积为 S2，则 S2－S1＝.
k
【解法指导】在反比例函数 y =中，k 的几何意义为：
x
y
y
CB
B
y
B
A
O A
x O A
x
O
E
D
C x
S
长方形OABC
= k ，或 S
∆ABO = 2
.
题中 S - S = （S + S
212
∆ODE
） - （S + S
1
∆OBE
） =
k k 10 6
1 - 2 = - = 2
2 2 2 2
【变式题组】
（
01． 宁波）如图，正方形 ABOC 的边长为 2，反比例函数 y =
A．2B．－2C．4D．－4
k
x
过点 A，则 k 的值是（ ）
（
02． 兰州）如图，在直角坐标系中，点 A 是 x 轴正半轴上的一个定点，点 B 是双曲线 y =
3
x
（x＞0）上的一个动点，当点 B 的横坐标逐渐增大时，△OAB 的面积将会（）
A．逐渐增大B．不变C．逐渐减小D．先增大后减小
y
AC
BOxO
B
A
y
x O
S1
A
S2
B
x
B
y
O
A
C
x
y
A D B
E
O C x
第 1 题图
第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图 第 5 题图
03．（牡丹江）如图，点 A、B 是双曲线 y =
线，若 S
阴影＝1，则 S1＋S2＝.
3
x
上的点，分经过 A、B 两点向 x 轴、y 轴作垂
（
04． 河池）如图，A、B 是函数 y =
2
x
的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x 轴，AC∥y
ABC 的面积记为 S，则（）
A．S＝2B．S＝4C．2＜S＜4D．S＞4
（
05． 泰安）如图，双曲线 y = k
x
（k＞0）经过矩形 OABC 的边 BC 的中点 E，交 AB 于点 D，
若梯形 ODBC 的面积为 3，则双曲线的解析式为（）
236
B． y =C． y =D． y =
xxxx
【例 3】（成都）如图，一次函数 y＝kx＋b 的图象与反比例函
数 y = m
x
的图象交于点 A（－2，1），B（1，n）两点
y
⑴试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
⑵求△AOB 的面积.
A
O
【解法指导】利用割补法求图形面积.
解：
⑴∵点 A（－2，1）在反比例函数 y = m
x
的图象上，
C
B
x
2
∴m＝（－2）×1＝－2，∴反比例函数的表达式为 y = -.
x
2
∵点 B（1，n）也在反比例函数 y = -图象上，∴n＝－2，即 B（1，－2）
x
把点 A（－2，1）点 B（1，－2）代入一次函数 y＝kx＋b 中，得
⎧-2k + b = 1⎧k = -1
⎨解得 ⎨
∴一次函数的表达式为 y＝－x－1．
⑵在 y＝－x－1 中，当 y＝0 时，得 x＝－1，∴直线 y＝－x－1 与 x 轴的交点为 C（－1，
0），∵线段 OC
AOB 分成△ AOC
BOC，
∴ S
∆AOB
= S
∆AOC
+ S
∆BOC
1 1 1 3
= ⨯1⨯1 + ⨯1⨯ 2 = + 1 = .
2 2 2 2
【变式题组】
01．（徐州）如图，已知 A（n,－2）,B（1,4）是一次函数 y＝kx＋b 的图象和反比例函数 y =
m
x
的
图象的两个交点，直线 AB 与 y 轴交于点 C．
⑴求反比例函数和一次函数的关系式；
⑵求△AOC 的面积；
y
B
⑶求不等式 kx＋b -
m
x
＜0 的解集（直接写出答案）
C
O
x
A
02．已知反比例函数 y =
1
1
B（ -
，－2）.
2
k
1 的图象与一次函数 y
2 x
2
= k x + b 的图象交于 A、B 点，A（1，n），
2
⑴求两函数的解析式；
⑵在 x 轴上是否存在点 P，使△AOP 为等腰三角形？
若存在，请你直接写出 P 点的坐
△ AOB ；
标；若不存在，说明理由.
⑶求 S
y
⑷若 y1＞y2，求 x 的取值范围.
A
03．如图，A 是反比例函数 y =
1
k
x
O
x
B
（x＞0）上一点，AB⊥x 轴，C 是 OB 的中点，一次函数
y2＝ax＋b 的图象经过点 A、C 两点，并交 y 轴为 D（0，－2）， S
∆AOD ＝4.
⑴求两函数的解析式；
A
O CB
D
x
04．如图，ABO 的顶点 A 是双曲线 y =
k
x
与直线 y＝－x－（k＋1）在第二象限的交点，AB⊥x
3
轴于 B， S.
A
⑴求这两个函数的解析式；
⑵求 A、C 两点的坐标；
⑶若 P 是 y 轴上一动点， S
∆PAC
= 5 ，求点 P 的坐标.
B O x
C
【例 4】（咸宁）两个反比例函数 y =
k 1
和 y = 在第一象限内的图象如图所示，点 P 在
x x
k11
y =的图象上，PC⊥x 轴于点 C，交 y =的图象于点 A，PD⊥y 轴于点 D，交 y =的
xxx
k
图象于点 B，当点 P 在 y =的图象上运动时，以下结论：
①ODB
OCA 的面积相等；
x
②四边形 PAOB 的面积不会发生变化；③PA 与 PB 始终相等；④当点 A 是 PC 的中点时，点
B 一定是 PD 的中点.其中一定正确的是（把你认为正确的序号都填上）
1
【解法指导】∵A、B 两点在 y =的图象上，根
x
k
据反比例函数 y =中 k 的几何意义可知
x
S= S， 因 而 ① 正 确 ； ∵
∆ODB
S- S= k - 1 ， 当 k
∆ODB∆OAC
不变时，若 P 变动，而四边形 PAOB 的面积不变．因
k1t k
），则 A（t, ），B（,），
而是②正确；若设 P（t,
ttk t
y
D
O
k
y =
B P x
A
C x
1
x
k
k1k - 1tk - 1t （k - 1）
∴PA＝- =，PB＝ t -.若 PA＝PB，则有=
ttttk
∴
.∵k≠1, t 2 = k ,∵t＞0,
t =k ,∴当 P（ k , k ）时，有 PA＝PB，并不是 PA 与 PB 始终相等，因而③不正确；当 A
为 PC 的中点时，S
∆OAC
= S
∆OPA
= S
∆OBD
，S
∆OPC
= S
∆ODP
，∴ S
∆ODB
= S
∆OPB ，∴DB＝PB，
因而④正确；故填①，②．④.
【变式题组】
01．（武汉）如图，已知双曲线 y = k
x
（k＞0）经过矩形 OABC 的边 AB 的中点 F，交 BC 于
点 E，且四边形 OEBF 的面积为 2，则 k＝.
02．如图，矩形 ABCD 对角线 BD 中点 E 与 A 都在反比例函数 y =
k
x
的图象上，且 S
矩形ABCD
= 3 ，
则 k＝.
y
C
E
B
F
y
C
E
B
A
D
A
第 1 题图
03．如图，P 为 x 轴正半轴上一点，过点 P 作 x 轴的
O
第 2 题图
x
垂线，交函数 y =
1 4
（x＞0）的图象于点 A，交函数 y = （x＞0）的图象于点 B，过
x x
1
点 B 作 x 轴的平行线，交 y =（x＞0）于点 C，连接 AC，当点 P 的坐标为（t，0）
x
ABC 的面积是否随 t 的变化而变化？
y
O
C B
A
P x
第 3 题图
04．函数 y =
2 8
（x＞0）与 y = （x＞0）的图象如图所示，直线 x＝ t（t＞0）分别与两个
x x
函数图象交于 A、C 两点，经过 A、C 分别作 x 轴的平行线，交两个函数图象于 B、D
两点，探索线段 AB 与 CD 的比值是否与 t 有关，请说明理由.
y
D
C
A
B
O
x ＝ t
第 4 题图
x
05．如图，梯形 AOBC 的顶点 A、C 有反比例函数
的图象上，OA∥BC，上底 OA 在直线 y＝x 上，下底 BC 交 x 轴于 E（2，0），求四边形
AOEC 的面积.
y
1
A
C
O
B
E
第 5 题图
x
演练巩固· 反馈提高
01．（恩施自治州）如图，一次函数 y1＝x－1 与反比例函数 y2 =
2
x
的图象点 A（2，1）、B
（－1，－2），则使 y1＞y2 的 x 的取值范围是（）
A．x＞2B． x＞2 或－1＜x＜0
C． －1＜x＜2D． x＞2 或 x＜－1
y
A
02．（常州）若反比例函数 y =
k - 1
x
O x
y
B
的图象在其每个象限内，y 随 x 的增大而减小，则 k 的
值可以是（）
A．－1B．3C．0D．－3
03．（荆州）如图，直线 l 是经过点（1，0）且与 y 轴平行的直线，
ABC 中直角边 AC＝
4，BC＝3，将 BC 边在直线 l 上滑动，使 A、B 在函数 y =
（）
15
A．3B．6C．12D．
4
k
x
的图象上，那么 k 的值是
04．（丽水）点 P 在反比例函数 y =
1
x
（x＞0）的图象上，且横坐标为 2，若将点 P 先向右
05． 铁岭）如图所示，反比例函数 y1 与正比例函数 y2 的图象的一个交点坐标是 A（2，1），
平移两个单位，再向上平移一个单位后所得点为 P/，则在第一象限内，经过点 P/的反
比例函数图象的解析式是（）
5566
A． y = -（x＞0）B． y =（x＞0）C． y = -（x＞0）D． y =（x
xxxx
＞0）
（
若 y2＞y1＞0，则 x 的取值范围在数轴上表示为（）
012012012012
ABCD
y
y
yl
B
C
O1
A
x
y
1
0 1
2 x
2
Y1
2
－1
0 1
－2
x
0
1 2 3
P2 P3
P1
x
第 3 题图
第 5 题图
第 6 题图
第 8 题图
（
06． 泰安）函数 y = x +
1
x
图象如图所示，下列对该函数性质的论断不可能正确的是（ ）
A．该函数的图象是中心对称图形B．当 x＞0 时，该函数在 x＝1 时取得上
值 2
C．在每个象限内，y 随 x 的增大而减小D． y 的值不可能为 1
07．（芜湖）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y＝x 向上平移一个单位长度得到直线 l, 直线 l
与反比例函数 y =
k
x
的图象的一个交点为 A（a,2）则 k 的值等于 .
4
x
坐标依次为 1，2，3，分别过这 3 个点作 x 轴、y 轴的垂线，设斩中阴影部分的面积依
次为 S1、S2、S3，则 S1＋S2＋S3＝.
09．（十堰）已知函数 y＝－x＋1 的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 C、B，与双曲线 y =
于点 A、D，若 AB＋CD＝BC，则 k 的值为.
k
x
交
10．（遵义）如图，在平面直角坐标系中，函数 y =
k
x
（x＞0，常数 k＞0）的图象经过点 A
（1，2），B（m,n）,（m＞1）,过点 B 作 y 轴的垂线，垂足为 C
ABC 的面积为 2，则
点 B 的坐标为.
k
），过点 P 作 x 轴的平行线交 y 轴于点 A，交双曲线 y =
2x
k
（x＞0）于点 N，作 PM⊥AN，交双曲线于 y =（x＞0）于点 M．连接 AM，已知 PN
x
＝4，
⑴求 k 的值；⑵求△ APM 的面积.
12．如图，反比例函数 y = k
x
的图象与直线 y＝x＋m 在第一象限交于点 P（6，2），A、B 为
直线上的两点，点 A 的横坐标为 2，点 B 的横坐标 3，D、C 为反比例函数图象上的两
点，且 AD、BC 平行于 y 轴，
⑴直接写出 k、m 的值；⑵求梯形 ABCD 的面积.
13．如图，已知双曲线 y = k
x
（x＞0）经过
OAB 斜边的中点 D，与直角边 AB 相交于点
C
OBC 的面积为 3，求 k 的值.
14．如图，
ABC 的直角边 BC 在 x 轴的正半轴上，斜边 AC 边上的中线 BD 反向延长交
y 轴负半轴于 E，双曲线 y =
k
x
（x＞0）的图象经过点 A，若 S
∆BEC ＝8，求 k 的值.
15．如图，
ABC 中，∠BAC＝90°，BC 所在直线的解析式为 y = -
4 20
x +
3 3
，AC＝3，
若 AB 的 D 在双曲线 y =
求三角形平移的距离.
a
x
（x＞0）上，将三角形向左平移，当点 B 落在双曲线上时，
16． 荆州）如图，D 为反比例函数 y = k （k＜0）图象上一点，过 D 作 DC⊥y 轴于 C，DE⊥x
x
轴于 E，一次函数 y = -x + m 与 y = -3 x + 2 的图象都经过点 C，与 x 轴分别交于 A、
3
B 两点，若梯形 DCAE 有面积为 4，求 k 的值.
17．（四川广安）如图，一次函数 y = kx + b 的图象与反比例函数 y =
（－1，2）、点 B（－4，n）
⑴求一次函数和反比例函数的解析式；
AOB 的面积.
m
x
的图象相交于点 A
18．（河北省）如图，在直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 O 与坐标原点重合，顶点 A、C
分别在坐标，顶点 B 的坐标为（4，2），过点 D（0，3）和 E（6，0）的直线分别与 AB、
BC 交于点 M、N，
⑴求直线 DE 的解析式和点 M 的坐标；
⑵若反比例函数 y =
m
x
（x＞0）的图象经过点 M，求该反比例例函数的解析式，并通
过计算判断点 N 是否在该函数的图象上？
⑶若反比例函数 y = m
x
．．
培优升级· 奥赛检测
n
与 y =（m＞n＞0）的图象分别交于点 A、B，且直
xx
线 l∥x 轴，连接 PA、PB，小芳与小丽同学针对△ PAB 面积的讨论，有以下两种意见：
小芳：
点 P 在 x 轴上移动时，△ PAB 的面积总保持不变；
小丽：
当直线 l 上下平移时，△ PAB 的面积总保持不变；
那么，你认为她们的说法中（）
A．只有小芳正确B．只有小丽正确
C．两人都正确D．两人都不正确
a 2 + 1
02．（南昌市八年级竞赛题）在函数 y = -（a 为常数）的图象上有三点：
（－ 1，
x
1
23
A． y1＜y2＜y3B． y3＜y2＜y1C． y3＜y1＜y2D． y2＜y1＜y3
03．（济南）如图，等腰直角三角形 ABC 位于第一象限，AB＝AC＝2，直角顶点 A 在直线 y
＝x 上，其中 A 点的横坐标为 1，且两条直角边 AB、AC 分别平行于 x 轴、y 轴，若双
k
曲线 y =（k≠0）与△ ABC 有交点，则 k 的取值范围是（）
x
A．1＜k＜2B．1≤k≤3C． 1≤k≤4D． 1≤k
＜4
04．（第十八届“希望杯”初二）直线 l 交反比例函数 y =
3
x
的图象于点 A，交 x 轴于点 B，
点 A、B 与坐标原点 O 构等边三角形，则直线 l 的函数解析式为
05．（成都）如图，正方形 OABC 的面积是 4，点 B 在反比例
函数 y = k
x
（k＞0，x＜0）的图象上，若点R 是该反比例
函数图象上异于点 B 的任意一点，过点 R 分别作 x 轴、y
轴的垂线，垂足为 M、N，从矩形 OMRN 的面积中减去
其与正方形 OABC 重合部分的面积，记剩余部分的面积
为 S，则当 S＝m（m 为常数，且 0＜m＜4）时，点 R 的
坐标是.（用含 m 的代数式表示）
06．如图，已知直线 y =
1 k
x 与双曲线 y = （k＞0）交于 A 点，且点 A 的横坐标为 4，若
2 x
双曲线 y =
k
x
（k＞0）上一点 B 的纵坐标为 8
AOB 的面积.
07．（北京）如图，A、B 两点在函数 y = m
x
（x＞0）的图象上，
⑴求 m 的值及直线 AB 的解析式；
⑵如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点，请直接写出图中阴影
部分（不包括边界）所含格点的个数.
08．（温州）如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与 y 轴和 x 轴分别交于点 A、点 B，与反
比例函数 y = m
x
在第一象限的图象交于点 C（1，6）点 D（3，n）.过点 C 作 CE⊥y 轴
于 E，过点 D 作 DF⊥x 轴于点 F，
⑴求 m、n 的值；
⑵求直线 AB 的函数解析式；
⑶求证：
△ AEC≌△DFB．
09．如图，已知正方形 OABC 的面积为 9，点 O 为坐标原点，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴
k
（k＞0，x＞0）的图象上，点 P（m，n）是函数 y =（k＞0，
xx
x＞0）的图象上的任意一点，过点 P 作 x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为 E、F，并设在
矩形 OEPF 中和正方形 OABC 不重合的部分面积为 S.
⑴求点 B 的坐标和 k 的值；
⑵当 S = 9
2
时，求点 P 的坐标；
⑶写出 S 关于 m 的函数关系式.
10．如图，已知 A（－6，n），B（3，－4）是一次函数 y＝kx＋b 的图象和反比例函数 y =
图象的两个交点，直线 AB 与 x 轴和 y 轴的交点分别为 C、D．
⑴求反比例函数和一次函数的解析式；
m
x
⑵求不等式 kx + b -
m
x
＜0 的解集（请直接写出答案）；
⑶求证：
AC＝BD；
⑷若 y 轴上有一动点 P，使得△PAB 的面积为 18，求 P 点的坐标.
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