奥林匹克数学竞赛第17讲反比例函数的图象与性质.docx

1、奥林匹克数学竞赛第17讲 反比例函数的图象与性质奥林匹克数学竞赛第17讲 反比例函数的图象与性质考点方法破译1反比例函数的定义：形如y=kx（或y=kx-1，k0）,y叫做x的反比例函数.2反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，关于yx或yx轴对称，关于原点O成中心对称，当k0时，图象的两支分别在第一、三象限，当k0时，图象的两支分别在第二、四象限，3反比例函数的性质：当k0时，在每个象限内，y随x增大而减小；当k0时，在每个象限内，y随x增大而增大.经典考题赏析【例】（西宁）已知函数y=-kx中，x0时，y随x增大而增大，则ykxk的大致图象为（ ）y y y yO x O x O

2、 x O xA B C D【解法指导】因为y=-kx中，x0时y随x增大而增大，则k0，k0，而一次函数ykxk中，k0，k0，因而直线向右上方倾斜,与y轴交点在负半轴上，所以选A【变式题组】01已知反比例函数y=ax（a0）的图象，在每一象限内，y的值随着x值增大而减小，则一次函数yaxa的图象不经过（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限02（龙岩）函数yxm与y=y ymx（m0）在同一象限内的图象可以是（yyO x O x O x O xA B C D03（凉山州）若ab0,则正比例函数yax与反比例函数y=bx在同一坐标第中的大致图象可能是（ ）y y y yO x O

3、x O x O xA B C Dy4y (x0)的图象如图所示，则结论：两BAC2时，y2y1;当x逐渐增大时，y1随着x的增大而增大，y2 Ox1随着x的增大而减小.其中正确结论的序号是 .y1x4y=xx【例2】如图，A、B分别是反比例函数y=106，y=图象上的点，过点A、B作x轴xx的垂线，垂足分别为C、D，连接OB、OA，OA交BD于E点，BOE的面积为S1，四边形ACDE的面积为S2，则S2S1 .k【解法指导】在反比例函数y= 中，k的几何意义为：xyyC BByBAOAxOAxOEDCxS长方形OABC=k，或SABO=2.题中S-S=(S+S2 1 2ODE)-(S+S1OB

4、E)=kk1061-2=-=22222【变式题组】（01宁波）如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数y=A2 B2 C4 D4kx过点A，则k的值是（）（02兰州）如图，在直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是双曲线y=3x（x0）上的一个动点，当点B的横坐标逐渐增大时，OAB的面积将会（ ）A逐渐增大 B不变 C逐渐减小 D先增大后减小yA CB Ox OBAyxOS1AS2BxByOACxyADBEOCx第1题图第2题图第3题图第4题图第5题图03（牡丹江）如图，点A、B是双曲线y=线，若S阴影1，则S1S2 .3x上的点，分经过A、B两点向x轴、y轴作垂（04河池）如图，

5、A、B是函数y=2x的图象上关于原点对称的任意两点，BCx轴，ACy ABC的面积记为S，则（ ）AS2 BS4 C2S4 DS4（05泰安）如图，双曲线y=kx（k0）经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB于点D，若梯形ODBC的面积为3，则双曲线的解析式为（ ）2 3 6By= Cy= Dy=x x x x【例3】（成都）如图，一次函数ykxb的图象与反比例函数y=mx的图象交于点A（2，1），B（1，n）两点y试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；求AOB的面积.AO【解法指导】利用割补法求图形面积.解：点A（2，1）在反比例函数y=mx的图象上，CBx2m(2)12，反比例函数的表

6、达式为y=- .x2点B（1，n）也在反比例函数y=- 图象上，n2，即B（1，2）x把点A（2，1）点B（1，2）代入一次函数ykxb中，得-2k+b=1 k=-1 解得一次函数的表达式为yx1在yx1中，当y0时，得x1，直线yx1与x轴的交点为C（1，0），线段OC AOB分成AOC BOC，SAOB=SAOC+SBOC1113=11+12=+1=.2222【变式题组】01（徐州）如图，已知A(n,2),B(1,4)是一次函数ykxb的图象和反比例函数y=mx的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C求反比例函数和一次函数的关系式；求AOC的面积；yB求不等式kxb-mx0的解集（直接写出

7、答案）COxA02已知反比例函数y=11B(-，2).2k1的图象与一次函数y2x2=kx+b的图象交于A、B点，A(1，n)，2求两函数的解析式；在x轴上是否存在点P，使AOP为等腰三角形？若存在，请你直接写出P点的坐AOB；标；若不存在，说明理由.求Sy若y1y2，求x的取值范围.A03如图，A是反比例函数y=1kxOxB（x0）上一点，ABx轴，C是OB的中点，一次函数y2axb的图象经过点A、C两点，并交y轴为D（0，2），SAOD4.求两函数的解析式；AOCBDx04如图， ABO的顶点A是双曲线y=kx与直线yx(k1)在第二象限的交点，ABx3轴于B，S .A求这两个函数的解析式

8、；求A、C两点的坐标；若P是y轴上一动点，SPAC=5，求点P的坐标.BOxC【例4】（咸宁）两个反比例函数y=k1和y=在第一象限内的图象如图所示，点P在xxk 1 1y= 的图象上，PCx轴于点C，交y= 的图象于点A，PDy轴于点D，交y= 的x x xk图象于点B，当点P在y= 的图象上运动时，以下结论： ODB OCA的面积相等；x四边形PAOB的面积不会发生变化；PA与PB始终相等；当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点.其中一定正确的是 （把你认为正确的序号都填上）1【解法指导】A、B两点在y= 的图象上，根xk据反比例函数y= 中k的几何意义可知xS =S ，因而正确；OD

9、BS -S =k-1，当kODB OAC不变时，若P变动，而四边形PAOB的面积不变因k 1 tk），则A（t,），B（ , ），而是正确；若设P（t,t t ktyDOky=BPxACx1xkk 1 k-1 t k-1 t(k-1)PA -= ，PBt- .若PAPB，则有 =t t t t k.k1,t2=k,t0,t= k,当P(k,k)时，有PAPB，并不是PA与PB始终相等，因而不正确；当A为PC的中点时，SOAC=SOPA=SOBD，SOPC=SODP，SODB=SOPB，DBPB，因而正确；故填，.【变式题组】01（武汉）如图，已知双曲线y=kx（k0）经过矩形OABC的边AB的

10、中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2，则k .02如图，矩形ABCD对角线BD中点E与A都在反比例函数y=kx的图象上，且S矩形ABCD=3，则k .yCEBFyCEBADA第1题图03如图，P为x轴正半轴上一点，过点P作x轴的O第2题图x垂线，交函数y=14（x0）的图象于点A，交函数y=（x0）的图象于点B，过xx1点B作x轴的平行线，交y= （x0）于点C，连接AC，当点P的坐标为（t，0）x ABC的面积是否随t的变化而变化？yOCBAPx第3题图04函数y=28（x0）与y=（x0）的图象如图所示，直线xt（t0）分别与两个xx函数图象交于A、C两点，经过A、C分别作x轴

11、的平行线，交两个函数图象于B、D两点，探索线段AB与CD的比值是否与t有关，请说明理由.yDCABOxt第4题图x05如图，梯形AOBC的顶点A、C有反比例函数的图象上，OABC，上底OA在直线yx上，下底BC交x轴于E（2，0），求四边形AOEC的面积.y1ACOBE第5题图x演练巩固反馈提高01（恩施自治州）如图，一次函数y1x1与反比例函数y2=2x的图象点A（2，1）、B（1，2），则使y1y2的x的取值范围是（ ）Ax2 Bx2或1x0C1x2 Dx2或x1yA02（常州）若反比例函数y=k-1xOxyB的图象在其每个象限内，y随x的增大而减小，则k的值可以是（ ）A1 B3 C0

12、D303（荆州）如图，直线l是经过点（1，0）且与y轴平行的直线， ABC中直角边AC4，BC3，将BC边在直线l上滑动，使A、B在函数y=（ ）15A3 B6 C12 D4kx的图象上，那么k的值是04（丽水）点P在反比例函数y=1x（x0）的图象上，且横坐标为2，若将点P先向右05铁岭）如图所示，反比例函数y1与正比例函数y2的图象的一个交点坐标是A（2，1），平移两个单位，再向上平移一个单位后所得点为P/，则在第一象限内，经过点P/的反比例函数图象的解析式是（ ）5 5 6 6Ay=- （x0） By= （x0） Cy=- （x0） Dy= （xx x x x0）（若y2y10，则x的取

13、值范围在数轴上表示为（ ）0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2A B C Dyyy lBCO 1Axy1012x2Y121012x0123P2P3P1x第3题图第5题图第6题图第8题图（06泰安）函数y=x+1x图象如图所示，下列对该函数性质的论断不可能正确的是（）A该函数的图象是中心对称图形 B当x0时，该函数在x1时取得上值2C在每个象限内，y随x的增大而减小 Dy的值不可能为107（芜湖）在平面直角坐标系xOy中，直线yx向上平移一个单位长度得到直线l,直线l与反比例函数y=kx的图象的一个交点为A（a,2）则k的值等于.4x坐标依次为1，2，3，分别过这3个点作x轴、y轴的垂

14、线，设斩中阴影部分的面积依次为S1、S2、S3，则S1S2S3 .09（十堰）已知函数yx1的图象与x轴、y轴分别交于点C、B，与双曲线y=于点A、D，若ABCDBC，则k的值为 .kx交10（遵义）如图，在平面直角坐标系中，函数y=kx（x0，常数k0）的图象经过点A（1，2），B（m,n）,(m1),过点B作y轴的垂线，垂足为C ABC的面积为2，则点B的坐标为 .k），过点P作x轴的平行线交y轴于点A，交双曲线y=2 xk（x0）于点N，作PMAN，交双曲线于y= （x0）于点M连接AM，已知PNx4，求k的值；求APM的面积.12如图，反比例函数y=kx的图象与直线yxm在第一象限交于

15、点P（6，2），A、B为直线上的两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标3，D、C为反比例函数图象上的两点，且AD、BC平行于y轴，直接写出k、m的值；求梯形ABCD的面积.13如图，已知双曲线y=kx（x0）经过OAB斜边的中点D，与直角边AB相交于点C OBC的面积为3，求k的值.14如图， ABC的直角边BC在x轴的正半轴上，斜边AC边上的中线BD反向延长交y轴负半轴于E，双曲线y=kx（x0）的图象经过点A，若SBEC8，求k的值.15如图， ABC中，BAC90，BC所在直线的解析式为y=-420x+33，AC3，若AB的D在双曲线y=求三角形平移的距离.ax（x0）上，将三角形向左平移

16、，当点B落在双曲线上时，16荆州）如图，D为反比例函数y=k（k0）图象上一点，过D作DCy轴于C，DExx轴于E，一次函数y=-x+m与y=- 3x+2的图象都经过点C，与x轴分别交于A、3B两点，若梯形DCAE有面积为4，求k的值.17（四川广安）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=（1，2）、点B（4，n）求一次函数和反比例函数的解析式； AOB的面积.mx的图象相交于点A18（河北省）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A、C分别在坐标，顶点B的坐标为（4，2），过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB、BC交于点M、N，求直线DE的解析式和

17、点M的坐标；若反比例函数y=mx（x0）的图象经过点M，求该反比例例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上？若反比例函数y=mx培优升级奥赛检测n与y= （mn0）的图象分别交于点A、B，且直x x线lx轴，连接PA、PB，小芳与小丽同学针对PAB面积的讨论，有以下两种意见：小芳：点P在x轴上移动时，PAB的面积总保持不变；小丽：当直线l上下平移时，PAB的面积总保持不变；那么，你认为她们的说法中（ ）A只有小芳正确 B只有小丽正确C两人都正确 D两人都不正确a2+102（南昌市八年级竞赛题）在函数y=- （a为常数）的图象上有三点：（1，x12 3Ay1y2y3 By3y2y1

18、 Cy3y1y2 Dy2y1y303（济南）如图，等腰直角三角形ABC位于第一象限，ABAC2，直角顶点A在直线yx上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若双k曲线y= （k0）与ABC有交点，则k的取值范围是（ ）xA1k2 B1k3 C1k4 D1k404（第十八届“希望杯”初二）直线l交反比例函数y=3x的图象于点A，交x轴于点B，点A、B与坐标原点O构等边三角形，则直线l的函数解析式为05（成都）如图，正方形OABC的面积是4，点B在反比例函数y=kx（k0，x0）的图象上，若点R是该反比例函数图象上异于点B的任意一点，过点R分别作x轴、y轴的垂线，垂足

19、为M、N，从矩形OMRN的面积中减去其与正方形OABC重合部分的面积，记剩余部分的面积为S，则当Sm（m为常数，且0m4）时，点R的坐标是 .（用含m的代数式表示）06如图，已知直线y=1kx与双曲线y=（k0）交于A点，且点A的横坐标为4，若2x双曲线y=kx（k0）上一点B的纵坐标为8AOB的面积.07（北京）如图，A、B两点在函数y=mx（x0）的图象上，求m的值及直线AB的解析式；如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点，请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数.08（温州）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴和x轴分别交于点A、点B，与反比例函数y=mx在

20、第一象限的图象交于点C（1，6）点D（3，n）.过点C作CEy轴于E，过点D作DFx轴于点F，求m、n的值；求直线AB的函数解析式；求证：AECDFB09如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴k（k0，x0）的图象上，点P（m，n）是函数y= （k0，x xx0）的图象上的任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，并设在矩形OEPF中和正方形OABC不重合的部分面积为S.求点B的坐标和k的值；当S=92时，求点P的坐标；写出S关于m的函数关系式.10如图，已知A（6，n），B（3，4）是一次函数ykxb的图象和反比例函数y=图象的两个交点，直线AB与x轴和y轴的交点分别为C、D求反比例函数和一次函数的解析式；mx求不等式kx+b-mx0的解集（请直接写出答案）；求证：ACBD；若y轴上有一动点P，使得PAB的面积为18，求P点的坐标.