高考数学第10章概率 101 随机事件的概率.docx
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高考数学第10章概率101随机事件的概率
10．1 随机事件的概率
[知识梳理]
1．事件的分类
2．频率和概率
（1）在相同的条件S下重复n次实验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn（A）＝为事件A出现的频率．
（2）对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn（A）稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A），称为事件A的概率，简称为A的概率．
3．事件的关系与运算
4．概率的几个基本性质
（1）概率的取值范围：
0≤P（A）≤1.
（2）必然事件的概率P（E）＝1.
（3）不可能事件的概率P（F）＝0.
（4）概率的加法公式
如果事件A与事件B互斥，则P（A∪B）＝P（A）＋P（B）．
（5）对立事件的概率
若事件A与事件B互为对立事件，则P（A）＝1－P（B）．
[诊断自测]
1．概念思辨
（1）若事件A，B，C两两互斥，则P（A）＋P（B）＋P（C）＝1.（ ）
（2）在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．（ ）
（3）由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．（ ）
（4）事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含结果组成集合的补集．（ ）
答案
（1）×
（2）√ （3）√ （4）√
2．教材衍化
（1）（必修A3P113T1）下列事件中不可能事件的个数为（ ）
①如果a>b，c>d，则a－d>b－c；②对某中学的毕业生进行一次体检，每个学生的身高都超过2m；③某电视剧收视率为40%；④从10个玻璃杯（其中8个正品，2个次品）中，任取2个，2个都是次品；⑤在不受外力作用的条件下，做匀速直线运动的物体改变其匀速直线运动状态．
A．1B．2C．3D．4
答案 B
解析 ①是必然事件；②⑤是不可能事件；③④是随机事件．故选B.
（2）（必修A3P124A组T6）一袋中装有100个除颜色不同外其余均相同的红球、白球、黑球，从中任取一球，摸出红球、白球的概率分别为0.40和0.35，那么黑球共有________个．
答案 25
解析 设红球、白球各有x个和y个，则解得所以黑球的个数为100－40－35＝25.
3．小题热身
（1）（2015·广东高考）已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（ ）
A．0.4B．0.6C．0.8D．1
答案 B
解析 记3件合格品分别为A1，A2，A3,2件次品分别为B1，B2，从5件产品中任取2件，有（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），共10种可能．其中恰有一件次品有6种可能，由古典概型概率公式得所求事件概率为＝0.6.故选B.
（2）（2017·浙江瑞安中学高三月考）一颗正方体骰子，其六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6，现将这颗骰子抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数之和等于15的概率为________．
答案
解析 将这颗骰子抛掷三次，共63＝216（种）情况．而三次点数之和等于15的有10个（555共1个，456共6个，366共3个）．所以三次点数之和等于15的概率P＝＝.
题型1 随机事件
某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件：
（1）A与C；
（2）B与E；（3）B与C；（4）C与E.
用集合的观点分析．A∩B＝∅，则A，B为互斥事件；A∩B＝∅且A∪B＝U，则A，B为对立事件．
解
（1）由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．
（2）事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故事件B与E是互斥事件；由于事件B发生会导致事件E一定不发生，且事件E发生会导致事件B一定不发生，故B与E还是对立事件．
（3）事件B“至少订一种报纸”中有这些可能：
“只订甲报纸”“只订乙报纸”“订甲、乙两种报纸”，事件C“至多订一种报纸”中有这些可能：
“一种报纸也不订”“只订甲报纸”“只订乙报纸”，由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件．
（4）由（3）的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C的一种可能，即事件C与事件E有可能同时发生，故C与E不是互斥事件．
方法技巧
1．准确把握互斥事件与对立事件的概念
（1）互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生．
（2）对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生．见典例．
2．判别互斥、对立事件的方法
判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．见典例．
冲关针对训练
口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件A＝“取出的2球同色”，B＝“取出的2球中至少有1个黄球”，C＝“取出的2球至少有1个白球”，D＝“取出的2球不同色”，E＝“取出的2球中至多有1个白球”．下列判断中正确的序号为________．
①A与D为对立事件；②B与C是互斥事件；③C与E是对立事件；④P（C∪E）＝1；⑤P（B）＝P（C）．
答案 ①
解析 当取出的2个球中一黄一白时，B与C都发生，②不正确．当取出的2个球中恰有一个白球时，事件C与E都发生，则③不正确．显然A与D是对立事件，①正确；C∪E不一定为必然事件，P（C∪E）≤1，④不正确．由于P（B）＝，P（C）＝，所以⑤不正确.
题型2 随机事件的频率与概率
（2016·全国卷Ⅱ）某险种的基本保费为a（单位：
元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10
（1）记A为事件：
“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P（A）的估计值；
（2）记B为事件：
“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P（B）的估计值；
（3）求续保人本年度平均保费的估计值．
采用公式法fn（A）＝.
解
（1）事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.
由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为＝0.55，故P（A）的估计值为0.55.
（2）事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.
由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，故P（B）的估计值为0.3.
（3）由所给数据得
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
频率
0.30
0.25
0.15
0.15
0.10
0.05
调查的200名续保人的平均保费为
0．85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.1925a.
因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a.
[结论探究1] 若本例条件不变，结论变为“试求一续保人本年度的保费高于基本保费的估计值”．
解 1－＝0.45或＝0.45.
[结论探究2] 若本例条件不变，结论变为“试求一续保人本年度的保费不低于基本保费的估计值”．
解 1－＝0.7或＝0.7.
方法技巧
1．计算简单随机事件频率或概率的解题思路
（1）计算出所求随机事件出现的频数及总事件的频数．
（2）由频率与概率的关系得所求．见典例．
2．求解以统计图表为背景的随机事件的频率或概率问题的关键点
求解该类问题的关键，由所给频率分布表，频率分布直方图或茎叶图等图表，计算出所求随机事件出现的频数，进而利用频率与概率的关系得所求．
冲关针对训练
（2018·福建基地综合）某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售1件该商品可获利50元．若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利30元．
（1）若商店一天购进该商品10件，求日利润y（单位：
元）关于日需求量n（单位：
件，n∈N）的函数解析式；
（2）商店记录了50天该商品的日需求量n（单位：
件），整理得下表：
日需求量n
8
9
10
11
12
频数
9
11
15
10
5
①假设该店在这50天内每天购进10件该商品，求这50天的日利润（单位：
元）的平均数；
②若该店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求日利润在区间[400,550]内的概率．
解
（1）当日需求量n≥10时，
日利润为y＝50×10＋（n－10）×30＝30n＋200，
当日需求量n<10时，
利润y＝50×n－（10－n）×10＝60n－100.
所以日利润y与日需求量n的函数解析式为
y＝
（2）50天内有9天获得的日利润为380元，有11天获得的日利润为440元，有15天获得日利润为500元，有10天获得的日利润为530元，有5天获得的日利润为560元．
所以
①这50天的日利润（单位：
元）的平均数为
＝477.2.
②日利润（单位：
元）在区间[400,550]内的概率为
P＝＝.
题型3 互斥事件与对立事件的概率
（2014·陕西高考）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
赔付金额（元）
0
1000
2000
3000
4000
车辆数（辆）
500
130
100
150
120
（1）若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
（2）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．
赔付金额大于2800元的有3000元，4000元，且两事件互斥．
解
（1）设A表示事件“赔付金额为3000元”，B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得
P（A）＝＝0.15，P（B）＝＝0.12.
由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3000元和4000元，所以其概率为P（A）＋P（B）＝0.15＋0.12＝0.27.
（2）设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，知样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100辆，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24辆，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为＝0.24，由频率估计概率得P（C）＝0.24.
方法技巧
求复杂的互斥事件的概率的两种方法
1．直接求解法：
将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率求和公式计算．如典例．
2．间接求法：
先求此事件的对立事件的概率，再用公式P（A）＝1－P（），即运用逆向思维（正难则反），特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就显得较简便．
冲关针对训练
经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：
排队人数
0
1
2
3
4
5人及5人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
求：
（1）至多2人排队等候的概率；
（2）至少3人排队等候的概率．
解 记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥．
（1）记“至多2人排队等候”为事件G，
则G＝A＋B＋C，所以P（G）＝P（A＋B＋C）
＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
（2）解法一：
记“至少3人排队等候”为事件H，则
H＝D＋E＋F，所以P（H）＝P（D＋E＋F）
＝P（D）＋P（E）＋P（F）＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.
解法二：
记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P（H）＝1－P（G）＝0.44.
1．（2016·天津高考）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（ ）
A.B.C.D.
答案 A
解析 设“两人下成和棋”为事件A，“甲获胜”为事件B.事件A与B是互斥事件，所以甲不输的概率P＝P（A＋B）＝P（A）＋P（B）＝＋＝，故选A.
2．（2018·湖南衡阳八中模拟）从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P（A）＝0.65，P（B）＝0.2，P（C）＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为（ ）
A．0.7B．0.65C．0.35D．0.3
答案 C
解析 ∵事件A＝{抽到一等品}，且P（A）＝0.65，∴事件“抽到的产品不是一等品”的概率P＝1－P（A）＝1－0.65＝0.35.故选C.
3．（2014·全国卷Ⅰ）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．
答案
解析 设2本不同的数学书为a1，a2,1本语文书为b，在书架上的排法有a1a2b，a1ba2，a2a1b，a2ba1，ba1a2，ba2a1，共6种，其中2本数学书相邻的有a1a2b，a2a1b，ba1a2，ba2a1，共4种，因此2本数学书相邻的概率P＝＝.
4．（2017·安徽池州模拟）小明忘记了微信登录密码的后两位，只记得最后一位是字母A，a，B，b中的一个，另一位是数字4,5,6中的一个，则小明输入一次密码能够成功登陆的概率是________．
答案
解析 小明输入密码后两位的所有情况为（4，A），（4，a），（4，B），（4，b），（5，A），（5，a），（5，B），（5，b），（6，A），（6，a），（6，B），（6，b），共12种，而能成功登陆的密码只有一种，故小明输入一次密码能够成功登陆的概率是.
[基础送分提速狂刷练]
一、选择题
1．（2017·湖南十三校二模）同学聚会上，某同学从《爱你一万年》《十年》《父亲》《单身情歌》四首歌中选出两首歌进行表演，则《爱你一万年》未被选取的概率为（ ）
A.B.C.D.
答案 B
解析 分别记《爱你一万年》《十年》《父亲》《单身情歌》为A1，A2，A3，A4，从这四首歌中选出两首歌进行表演的所有可能结果为A1A2，A1A3，A1A4，A2A3，A2A4,A3A4，共6个，其中A1未被选取的结果有3个，所以所求概率P＝＝.故选B.
2．（2018·广东中山模拟）从1,2,3,4,5这5个数中任取两个，其中：
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数，上述事件中，是对立事件的是（ ）
A．①B．②④C．③D．①③
答案 C
解析 从1,2,3,4,5这5个数中任取两个，有三种情况：
一奇一偶，两个奇数，两个偶数．其中至少有一个是奇数包含一奇一偶，两个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件，而①②④中的事件可能同时发生，不是对立事件，故选C.
3．（2017·安徽“江南十校”联考）从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是（ ）
A.B.C.D.
答案 D
解析 令选取的a，b组成实数对（a，b），则有（1,1），（1,2），（1,3），（2,1），（2,2），（2,3），（3,1），（3,2），（3,3），（4,1），（4,2），（4,3），（5,1），（5,2），（5,3）共15种情况，其中b>a的有（1,2），（1,3），（2,3）3种情况，所以b>a的概率为＝.故选D.
4．把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，向量m＝（a，b），n＝（1,2），则向量m与向量n不共线的概率是（ ）
A.B.C.D.
答案 B
解析 若m与n共线，则2a－b＝0.而（a，b）的可能性情况为6×6＝36个．符合2a＝b的有（1,2），（2,4），（3,6）共三个．故共线的概率是＝，从而不共线的概率是1－＝.故选B.
5．一个袋子里装有编号为1,2，…，12的12个相同大小的小球，其中1到6号球是红色球，其余为黑色球．若从中任意摸出一个球，记录它的颜色和号码后再放回袋子里，然后再摸出一个球，记录它的颜色和号码，则两次摸出的球都是红球，且至少有一个球的号码是偶数的概率是（ ）
A.B.C.D.
答案 B
解析 据题意由于是有放回地抽取，故共有12×12＝144种取法，其中两次取到红球且至少有一次号码是偶数的情况共有6×6－3×3＝27种可能，故其概率为＝.故选B.
6．（2018·湖南常德模拟）现有一枚质地均匀且表面分别标有1,2,3,4,5,6的正方体骰子，将这枚骰子先后抛掷两次，这两次出现的点数之和大于点数之积的概率为（ ）
A.B.C.D.
答案 D
解析 将这枚骰子先后抛掷两次的基本事件总数为6×6＝36（个），这两次出现的点数之和大于点数之积包含的基本事件有（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（1,6），（2,1），（3,1），（4,1），（5,1），（6,1），共11个．
∴这两次出现的点数之和大于点数之积的概率P＝.故选D.
7．（2018·安徽黄山模拟）从1,2,3,4,5这5个数中任取3个不同的数，则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是（ ）
A.B.C.D.
答案 A
解析 从1,2,3,4,5这5个数中任取3个不同的数的基本事件有（1,2,3），（1,2,4），（1,2,5），（1,3,4），（1,3,5），（1,4,5），（2,3,4），（2,3,5），（2,4,5），（3,4,5），共10个，取出的3个数可作为三角形的三边边长的基本事件有（2,3,4），（2,4,5），（3,4,5），共3个，故所求概率P＝.故选A.
8．（2018·河南开封月考）有5张卡片，上面分别写有数字1,2,3,4,5.从这5张卡片中随机抽取2张，那么取出的2张卡片上的数字之积为偶数的概率为（ ）
A.B.C.D.
答案 C
解析 从5张卡片中随机抽2张的结果有（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5），共10种，2张卡片上的数字之积为偶数的有7种，故所求概率P＝.
9．（2018·河南商丘模拟）已知函数f（x）＝x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1,2,3中任取的一个数，b是从0,1,2中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（ ）
A.B.C.D.
答案 D
解析 f′（x）＝x2＋2ax＋b2，要使函数f（x）有两个极值点，则有Δ＝（2a）2－4b2>0，即a2>b2.由题意知所有的基本事件有9个，即（1,0），（1,1），（1,2），（2,0），（2,1），（2,2），（3,0），（3,1），（3,2），其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．满足a2>b2的有6个基本事件，即（1,0），（2,0），（2,1），（3,0），（3,1），（3,2），所以所求事件的概率为＝.故选D.
10．（2017·湖南郴州三模）从集合A＝{－2，－1,2}中随机抽取一个数记为a，从集合B＝{－1,1,3}中随机抽取一个数记为b，则直线ax－y＋b＝0不经过第四象限的概率为（ ）
A.B.C.D.
答案 A
解析 （a，b）所有可能的结果为（－2，－1），（－2,1），（－2,3），（－1，－1），（－1,1），（－1,3），（2，－1），（2,1），（2,3），共9种．
由ax－y＋b＝0得y＝ax＋b，当时，直线不经过第四象限，符合条件的（a，b）的结果为（2,1），（2,3），共2种，∴直线ax－y＋b＝0不经过第四象限的概率P＝，故选A.
二、填空题
11．（2017·陕西模拟）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为________．
答案
解析 如图，从A，B，C，D，O这5个点中任取2个，共有（A，B），（A，C），…，（D，O）10种取法，满足两点间的距离不小于正方形边长的取法有（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D）共6种，因此所求概率P＝＝.
12．（2017·云南昆明质检）中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．
答案
解析 由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为＋＝.
13．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为，取得两个绿球的概率为，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．
答案
解析
（1）由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，因此事件C“取得两个同色球”，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P（C）＝＋＝.
（2）由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P（A）＝1－P（B）＝1－＝.
14．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：
先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________．
答案 0.25
解析 20组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是191,271,932,812,393，其频率为＝0.25，以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为0.25.
三、解答题
15．（2017·全国卷Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理
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