K12教育资料数学选修21苏教版第1章 常用逻辑用语 131.docx

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K12教育资料数学选修21苏教版第1章常用逻辑用语131

§1.3　全称量词与存在量词

1.3.1　量　词

学习目标

　1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和存在性命题的概念.3.能判定全称命题和存在性命题的真假并掌握其判断方法．

知识点一　全称量词、全称命题

思考　观察下面的两个语句，思考下列问题：

P：

m≤5；

Q：

对所有的m∈R，m≤5.

（1）上面的两个语句是命题吗？

二者之间有什么关系？

（2）常见的全称量词有哪些？

（至少写出五个）．

答案　

（1）语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“所有的”，可以判断真假，是命题．语句P是命题Q中的一部分．

（2）常见的全称量词有“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”“凡是”等．

梳理　全称量词与全称命题

全称量词

所有、任意、一切、每一个

符号

∀x

全称命题

含有全称量词的命题

形式

“对M中任意一个x，有p（x）成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p（x）”

知识点二　存在量词、存在性命题

思考　观察下面的两个语句，思考下列问题：

P：

m>5；

Q：

存在一个m∈Z，m>5.

（1）上面的两个语句是命题吗？

二者之间有什么关系？

（2）常见的存在量词有哪些？

（至少写出五个）

答案　

（1）语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“存在一个”，可以判断真假，是命题．语句P是命题Q中的一部分．

（2）常见的存在量词有“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某个”“有的”等．

梳理　存在量词与存在性命题

存在量词

存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的

符号表示

∃x

存在性命题

含有存在量词的命题

形式

“存在M中的一个x，使p（x）成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p（x）”

特别提醒：

在存在性命题中，量词不可以省略；在有些全称命题中，量词可以省略．

1．“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．（×）

2．全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．（√）

3．全称命题中一定含有全称量词，存在性命题中一定含有存在量词．（×）

类型一　判断命题的类型

例1　将下列命题用“∀”或“∃”表示．

（1）实数的平方是非负数；

（2）方程ax2＋2x＋1＝0（a＜1）至少存在一个负根；

（3）若直线l垂直于平面α内任一直线，则l⊥α.

考点　量词与命题

题点　全称（存在性）命题的符号表示

解　

（1）∀x∈R，x2≥0.

（2）∃x＜0，ax2＋2x＋1＝0（a＜1）．

（3）若∀a⊂α，l⊥a，则l⊥α.

反思与感悟　判断一个语句是全称命题还是存在性命题的步骤

（1）判断此语句是否为命题．

（2）看命题中是否含有量词，并判断该量词是全称量词还是存在量词．

（3）对不含或省略量词的命题，要根据命题涉及的实际意义进行判断．

跟踪训练1　判断下列命题是全称命题还是存在性命题．

（1）若a＞0且a≠1，则对任意x，ax＞0；

（2）对任意实数x1，x2，若x1＜x2，则tanx1＜tanx2；

（3）存在实数T，使得|sin（x＋T）|＝|sinx|；

（4）存在实数x，使得x2＋1＜0.

解　

（1），

（2）含有全称量词“任意”，是全称命题．（3），（4）含有存在量词“存在”，是存在性命题．

类型二　判断命题的真假

例2　判断下列命题的真假．

（1）∀x∈R，x2－x＋1＞

；

（2）∃α，β，cos（α－β）＝cosα－cosβ；

（3）存在一个函数既是偶函数又是奇函数；

（4）每一条线段的长度都能用正有理数表示；

（5）存在一个实数x，使等式x2＋x＋8＝0成立．

考点　全称（存在性）命题的真假性判断

题点　全称（存在性）命题真假的判断

解　

（1）真命题，∵x2－x＋1－

＝x2－x＋

＝

2＋

≥

＞0，

∴x2－x＋1＞

恒成立．

（2）真命题，例如α＝

，β＝

，符合题意．

（3）真命题，函数f（x）＝0既是偶函数又是奇函数．

（4）假命题，如：

边长为1的正方形的对角线长为

，它的长度就不是有理数．

（5）假命题，因为该方程的判别式Δ＝－31＜0，故无实数解．

反思与感悟　1.要判定全称命题“∀x∈M，p（x）”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p（x）都成立；如果在集合M中找到一个元素x，使得p（x）不成立，那么这个全称命题就是假命题．

2．要判定存在性命题“∃x∈M，p（x）”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p（x）成立即可；如果在集合M中，使p（x）成立的元素x不存在，那么这个存在性命题就是假命题．

跟踪训练2　判断下列命题的真假．

（1）有一些奇函数的图象过原点；

（2）∃x∈R,2x2＋x＋1<0；

（3）∀x∈R，sinx＋cosx≤

.

考点　全称（存在性）命题的真假性判断

题点　全称（存在性）命题真假的判断

解　

（1）该命题中含有“有一些”，是存在性命题．如y＝x是奇函数，其图象过原点，故该命题是真命题．

（2）该命题是存在性命题．

∵2x2＋x＋1＝2

2＋

≥

>0，

∴不存在x∈R，使2x2＋x＋1<0.

故该命题是假命题．

（3）该命题是全称命题．

∵sinx＋cosx＝

sin

≤

恒成立，

∴对任意实数x，sinx＋cosx≤

都成立，故该命题是真命题．

类型三　全称命题、存在性命题的应用

例3　

（1）若命题p：

存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0，求实数a的取值范围；

（2）若不等式（m＋1）x2－（m－1）x＋3（m－1）<0对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．

解　

（1）由ax2＋2x＋a<0，得a（x2＋1）<－2x，

∵x2＋1>0，∴a<－

＝－

，

当x>0时，x＋

≥2，∴－

≥－1，

当x<0时，x＋

≤－2，∴－

≤1，

∴－

的最大值为1.

又∵∃x∈R，使ax2＋2x＋a<0成立，

∴只要a<1，∴a的取值范围是（－∞，1）．

（2）①当m＋1＝0即m＝－1时，2x－6<0不恒成立．

②当m＋1≠0，则

由

得

即

综上，m<－

.

反思与感悟　有解和恒成立问题是存在性命题和全称命题的应用，注意二者的区别．

跟踪训练3　已知命题p：

“∃x∈R，sinx＜m”，命题q：

“∀x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立”，若p∧q是真命题，求实数m的取值范围．

考点　简单逻辑联结词的综合应用

题点　由含量词的复合命题的真假求参数的取值范围

解　由于p∧q是真命题，则p，q都是真命题．

因为“∃x∈R，sinx＜m”是真命题，所以m＞－1.

又因为“∀x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立”是真命题，

所以Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2.

综上所述，实数m的取值范围是（－1,2）.

1．下列命题是全称命题的个数为________．

①任意一个自然数都是正整数；

②有的等差数列也是等比数列；

③四边形的内角和是360°.

答案　2

解析　①③是全称命题．

2．下列命题中，不是全称命题的是________．（填序号）

①任何一个实数乘以0都等于0；

②自然数都是正整数；

③每一个向量都有大小；

④一定存在没有最大值的二次函数．

答案　④

解析　④是存在性命题．

3．已知函数f（x）＝|2x－1|，若命题“存在x1，x2∈[a，b]且x1f（x2）”为真命题，则下列结论一定成立的是________．（填序号）

①a≥0；②a<0；③b≤0；④b>1.

答案　②

解析　函数f（x）＝|2x－1|的图象如图所示．

由图可知f（x）在（－∞，0）上为减函数，在（0，＋∞）上为增函数，∴要满足存在x1，x2∈[a，b]且x1f（x2）为真命题，则必有a<0.

4．存在性命题“∃x∈R，|x|＋2≤0”是________命题．（填“真”“假”）

答案　假

解析　不存在任何实数，使得|x|＋2≤0，所以是假命题．

5．若命题“∃x∈R，x2＋mx＋2m－3<0”为假命题，则实数m的取值范围是________．

答案　[2,6]

解析　由已知得“∀x∈R，x2＋mx＋2m－3≥0”为真命题，则Δ＝m2－4×1×（2m－3）＝m2－8m＋12≤0，解得2≤m≤6，即实数m的取值范围是[2,6]．

1．判断全称命题的关键：

一是先判断是不是命题；二是看是否含有全称量词．

2．判定全称命题的真假的方法：

定义法：

对给定的集合的每一个元素x，p（x）都为真，则全称命题为真；代入法：

在给定的集合内找出一个x，使p（x）为假，则全称命题为假．

3．判定存在性命题真假的方法：

代入法，在给定的集合中找到一个元素x，使命题p（x）为真，则存在性命题为真，否则命题为假．

一、填空题

1．下列命题为存在性命题的是________．（填序号）

①奇函数图象关于原点对称；

②有些实数的平方是0；

③末位数字为偶数的整数能被2整除；

④有一个向量a，其方向不能确定．

答案　②④

解析　依据存在性命题概念知，只有②④符合题意．

2．下列四个命题：

①没有一个无理数不是实数；②空集是任何一个非空集合的真子集；③1＋1<2；④至少存在一个整数x，使得x2－x＋1是整数．其中是真命题的为________．（填序号）

答案　①②④

解析　①所有无理数都是实数，为真命题；

②显然为真命题；

③显然不成立，为假命题；

④取x＝1，能使x2－x＋1＝1是整数，为真命题．

3．下列全称命题中真命题的个数为________．

①负数没有对数；

②对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab；

③二次函数f（x）＝x2－ax－1与x轴恒有交点；

④∀x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.

答案　3

解析　①②③为真命题．

4．下列命题：

①偶数都可以被2整除；②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等；③正四棱锥的侧棱长相等；④有的实数是无限不循环小数；⑤有的菱形是正方形；⑥存在三角形其内角和大于180°.既是全称命题又是真命题的是________，即是存在性命题又是真命题的是________．（填序号）

答案　①②③　④⑤

解析　①是全称命题，是真命题；

②是全称命题，是真命题；

③是全称命题，即任意正四棱锥的侧棱长相等，是真命题；

④含存在量词“有的”，是存在性命题，是真命题；

⑤是存在性命题，是真命题；

⑥是存在性命题，是假命题，因为任意三角形内角和为180°.

5．下列存在性命题是假命题的是________．（填序号）

①存在x∈Q，使2x－x3＝0；

②存在x∈R，使x2＋x＋1＝0；

③有的素数是偶数；

④有的有理数没有倒数．

答案　②

解析　对于任意的x∈R，x2＋x＋1＝

2＋

>0恒成立．

6．已知a>0，函数f（x）＝ax2＋bx＋c，若x1满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列命题中为假命题的是________．（填序号）

①∃x∈R，f（x）≤f（x1）；

②∃x∈R，f（x）≥f（x1）；

③∀x∈R，f（x）≤f（x1）；

④∀x∈R，f（x）≥f（x1）．

答案　③

解析　∵x1是方程2ax＋b＝0的解，

∴x1＝－

，

又∵a>0，

∴f（x1）是y＝f（x）的最小值，

∴f（x）≥f（x1）恒成立．

7．已知命题p：

∀x∈R，x2＋2x－a>0.若p为真命题，则实数a的取值范围是________．

答案　（－∞，－1）

解析　由题意得Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.

8．∀x∈R，函数y＝lg（mx2－4mx＋m＋3）有意义，则实数m的取值范围是________．

答案　[0,1）

解析　由题意得不等式mx2－4mx＋m＋3>0对任意x∈R都成立，

当m＝0时，显然成立，当

即当0

所以实数m的取值范围是[0,1）．

9．已知命题“∃x∈R，x2＋ax－4a<0”为假命题，则实数a的取值范围为________．

答案　[－16,0]

解析　由题意可知“∀x∈R，x2＋ax－4a≥0”为真命题，

∴Δ＝a2＋16a≤0，解得－16≤a≤0.

10．已知命题“∃x∈R，使2x2＋（a－1）x＋

≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________．

答案　（－1,3）

解析　原命题的否定为∀x∈R,2x2＋（a－1）x＋

>0，

由题意知，原命题的否定为真命题，则Δ＝（a－1）2－4×2×

<0，则－2

11．已知命题p：

“∀x∈[0,1]，a≥ex”，命题q：

“∃x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________．

答案　[e,4]

解析　由命题“p∧q”是真命题，得命题p，q都是真命题.因为x∈[0,1]，所以ex∈[1，e]，所以a≥e；∃x∈R，x2＋4x＋a＝0，即方程x2＋4x＋a＝0有实数根，所以Δ＝42－4a≥0，解得a≤4，即实数a的取值范围为[e,4]．

二、解答题

12．判断下列命题是否为全称命题或存在性命题，若是，用符号表示，并判断其真假．

（1）存在一条直线，其斜率不存在；

（2）对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解；

（3）存在实数x，使得

＝2.

解　

（1）是存在性命题，用符号表示为“∃直线l，l的斜率不存在”，是真命题．

（2）是全称命题，用符号表示为“∀a，b∈R，方程ax＋b＝0都有唯一解”，是假命题．

（3）是存在性命题，用符号表示为“∃x∈R，

＝2”，是假命题．

13．已知命题p：

“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：

“∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．

解　由“p且q”是真命题，知p为真命题，q也为真命题．

若p为真命题，则a≤x2对于x∈[1,2]恒成立，

所以a≤1.

若q为真命题，则关于x的方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，

所以Δ＝4a2－4（2－a）≥0，即a≥1或a≤－2.

综上，实数a的取值范围为{a|a≤－2或a＝1}．

三、探究与拓展

14．有下列四个命题：

p1：

∃x∈（0，＋∞），

x＜

x；

p2：

∃x∈（0,1），

x＞

x；

p3：

∀x∈（0，＋∞），

x＞

x；

p4：

∀x∈

，

x＜

x.

其中为真命题的是________．

考点　量词与命题

题点　全称（存在性）命题的真假性判断

答案　p2，p4

解析　因为幂函数y＝xα（α＞0）在（0，＋∞）上是增函数，所以命题p1是假命题；因为对数函数y＝logax（0＜a＜1）是减函数，所以当x∈（0,1）时，0＜logx

＜logx

，所以0＜

＜

，即

x＞

x，所以命题p2是真命题；因为函数y＝

x在（0，＋∞）上单调递减，所以有0＜y＜1，当x∈（0,1]时，y＝

x≥0，当x∈（1，＋∞）时，y＝

x＜0，所以命题p3是假命题；因为函数y＝

x在

上单调递减，所以有0＜y＜1，而函数y＝

x在

上的函数值y＞1，所以命题p4是真命题．

15．已知f（t）＝log2t，t∈[

，8]，若命题“对于函数f（t）值域内的所有实数m，不等式x2＋mx＋4＞2m＋4x恒成立”为真命题，求实数x的取值范围．

考点　全称命题的真假性判断

题点　恒成立求参数的取值范围

解　由题意知f（t）∈

.

由题意知，令g（m）＝（x－2）m＋x2－4x＋4＝（x－2）m＋（x－2）2，

当x＝2时，g（m）＝0，显然不等式不成立，所以x≠2，

则g（m）＞0对任意m∈

恒成立，

所以

即

解得x＞2或x＜－1.

故实数x的取值范围是（－∞，－1）∪（2，＋∞）．

予少家汉东，汉东僻陋无学者，吾家又贫无藏书。

州南有大姓李氏者，其于尧辅颇好学。

予为儿童时，多游其家，见有弊筐贮故书在壁间，发而视之，得唐《昌黎先生文集》六卷，脱落颠倒无次序，因乞李氏以归。

读之，见其言深厚而雄博，然予犹少，未能悉究其义．徒见其浩然无涯，若可爱。

是时天下学者杨、刘之作，号为时文，能者取科第，擅名声，以夸荣当世，未尝有道韩文者。

予亦方举进士，以礼部诗赋为事。

年十有七试于州，为有司所黜。

因取所藏韩氏之文复阅之，则喟然叹曰：

学者当至于是而止尔！

因怪时人之不道，而顾己亦未暇学，徒时时独念于予心，以谓方从进士干禄以养亲，苟得禄矣，当尽力于斯文，以偿其素志。