中考数学湘教版总复习提分专练05以三角形为背景的中档计算题与证明题.docx
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中考数学湘教版总复习提分专练05以三角形为背景的中档计算题与证明题
提分专练（五） 以三角形为背景的中档计算题与证明题
|类型1| 与特殊三角形相关的计算、证明题
1.如图T5-1,在△ABC中,点D在AB上,且CD=CB,点E为BD的中点,点F为AC的中点,连接EF交CD于点M,连接AM.
（1）求证:
EF=
AC;
（2）若∠BAC=45°,求线段AM,DM,BC之间的数量关系.
图T5-1
2.[2017·连云港]如图T5-2,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,且AD=AE,连接BE,CD,交于点F.
（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系,并说明理由;
（2）求证:
过点A,F的直线垂直平分线段BC.
图T5-2
|类型2| 与全等三角形相关的计算、证明题
3.如图T5-3,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,AE∥BC,CE⊥AE,垂足为E.
（1）求证:
△ABD≌△CAE.
（2）连接DE,线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系?
请证明你的结论.
图T5-3
4.[2018·宁波]如图T5-4,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB边上一点（点D与A,B不重合）,连接CD,将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE,连接DE交BC于点F,连接BE.
（1）求证:
△ACD≌△BCE;
（2）当AD=BF时,求∠BEF的度数.
图T5-4
|类型3| 与相似三角形相关的计算、证明题
5.如图T5-5,在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,垂足分别为D,E,AD与BE相交于点F.
（1）求证:
△ACD∽△BFD;
（2）当tan∠ABD=1,AC=3时,求BF的长.
图T5-5
6.[2018·东营]
（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目:
如图T5-6①,在△ABC中,点O在线段BC上,∠BAO=30°,∠OAC=75°,AO=3
BO∶CO=1∶3,求AB的长.
经过社团成员讨论发现,过点B作BD∥AC,交AO的延长线于点D,通过构造△ABD就可以解决问题（如图②）.
请回答:
∠ADB= °,AB= .
（2）请参考以上解题思路,解决下列问题:
如图③,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC⊥AD,AO=3
∠ABC=∠ACB=75°,BO∶OD=1∶3,求DC的长.
图T5-6
参考答案
1.解:
（1）证明:
连接CE.∵CD=CB,点E为BD的中点,
∴CE⊥BD.
∵点F为AC的中点,
∴EF=
AC.
（2）∵∠BAC=45°,CE⊥BD,
∴△AEC是等腰直角三角形.
∵点F为AC的中点,
∴EF垂直平分AC,∴AM=CM.
∵CD=CM+DM=AM+DM,CD=CB,
∴BC=AM+DM.
2.解:
（1）∠ABE=∠ACD.理由如下:
因为AB=AC,∠BAE=∠CAD,AE=AD,
所以△ABE≌△ACD,所以∠ABE=∠ACD.
（2）证明:
因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB.
由
（1）可知∠ABE=∠ACD,所以∠FBC=∠FCB,所以FB=FC.又因为AB=AC,所以点A,F均在线段BC的垂直平分线上,
即直线AF垂直平分线段BC.
3.解:
（1）证明:
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACD.
∵AE∥BC,
∴∠EAC=∠ACD,
∴∠B=∠EAC.
∵AD是BC边上的中线,
∴AD⊥BC.
∵CE⊥AE,
∴∠ADB=∠AEC=90°.
在△ABD和△CAE中,
∵
∴△ABD≌△CAE（AAS）.
（2）AB平行且等于DE.
证明:
由
（1）知△ABD≌△CAE,
∴AE=BD.
又∵AE∥BD,
∴四边形ABDE为平行四边形,
∴AB平行且等于DE.
4.解:
（1）证明:
∵线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE,
∴∠DCE=90°,CD=CE.
又∵∠ACB=90°,
∴∠ACB=∠DCE,
∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中,∵
∴△ACD≌△BCE.
（2）∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠A=45°,
∵△ACD≌△BCE,
∴AD=BE,∠CBE=∠A=45°.
又AD=BF,
∴BE=BF,
∴∠BEF=∠BFE=
=67.5°.
5.解:
（1）证明:
∵AD⊥BC,BE⊥AC,
∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°,
∴∠C+∠DBF=90°,∠C+∠DAC=90°,
∴∠DBF=∠DAC,∴△ACD∽△BFD.
（2）∵∠ADB=90°,tan∠ABD=1,
∴tan∠ABD=
=1,∴AD=BD.
∵△ACD∽△BFD,
∴
=
=1,∴BF=AC=3.
6.[解析]
（1）利用两直线平行,内错角相等,可得∠ADB=∠OAC=75°和△AOC与△DOB相似,于是得DO=
再利用三角形内角和定理可求得∠ABD=75°,所以AB=AD=4
.
（2）同理,可过B作AD的平行线,利用相似可求得DC的长.
解:
（1）∵BD∥AC,∴∠ADB=∠OAC=75°.
又∵∠DOB=∠AOC,
∴△DOB∽△AOC,
∴
=
=
.
∵AO=3
∴DO=
∴AD=AO+DO=3
+
=4
.
在△ABD中,∠BAO=30°,∠ADB=75°,
∴∠ABD=180°-∠BAO-∠ADB=180°-30°-75°=75°,
∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD=4
.
（2）过点B作BE∥AD交AC于点E.
∵AC⊥AD,∴∠DAC=∠BEA=90°.
又∵∠AOD=∠EOB,
∴△AOD∽△EOB,
∴
=
=
.
∵BO∶OD=1∶3,
∴
=
=
.
∵AO=3
∴EO=
∴AE=4
.
∵∠ABC=∠ACB=75°,
∴∠BAC=30°,AB=AC,∴AB=2BE.
在Rt△AEB中,AE2+BE2=AB2,
即（4
）2+BE2=（2BE）2,得BE=4,
∴AB=AC=8,AD=12.
在Rt△CAD中,AC2+AD2=CD2,
即82+122=CD2,得CD=4
.
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