二项式定理训练解析版.docx

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二项式定理训练解析版

二项式定理训练

学校:

___________姓名：

___________班级：

___________考号：

___________

一、单选题

1．（2020·北京高考真题）在的展开式中，的系数为（）．

A．B．5C．D．10

2．（2020·全国高考真题（理））的展开式中x3y3的系数为（）

A．5B．10

C．15D．20

3．（2019·全国高考真题（理））（1+2x2）（1+x）4的展开式中x3的系数为

A．12B．16C．20D．24

4．（2015·湖南高考真题（理））已知的展开式中含的项的系数为，则等于（）．

A．B．C．D．

5．（2020·江西零模（理））的展开式中项的系数是（）

A．420B．-420C．1680D．-1680

6．（2020·四川成都·月考（理））已知二项式的展开式中所有项的系数和为512，函数，且，则函数取最大值时的取值为（）

A．4B．5C．4或5D．6

7．（2020·云南昆明一中月考（理））在的展开式中的系数是（）

A．B．C．D．

8．（2020·江苏省太湖高级中学期中）设展开式的各项系数之和为，其二项式系数之和为，若，则展开式中的常数项为（）

A．12B．22C．18D．81

9．（2020·广东月考）在的展开式中，的系数是（）

A．20B．C．D．

二、多选题

10．（2020·东莞市东华高级中学月考）若二项式的展开式中各项的二项式系数之和为256，则（）

A．B．

C．第5项为D．第5项为

11．（2020·海南期中）已知的展开式中各项系数之和为，第二项的二项式系数为，则（）

A．B．

C．展开式中存在常数项D．展开式中含项的系数为54

三、填空题

12．（2020·天津高考真题）在的展开式中，的系数是_________．

13．（2020·全国高考真题（理））的展开式中常数项是__________（用数字作答）．

14．（2019·天津高考真题（理））展开式中的常数项为________.

15．（2018·浙江高考真题）二项式的展开式的常数项是___________．

16．（2020·贵港市高级中学期中（理））已知，求_______

17．（2020·陕西安康·月考（理））若的展开式中第7项为常数项，则常数项为_________（用数字填写答案）.

18．（2020·北京八中期末）记，则______.

19．（2020·广西其他模拟（理））二项式展开式中的常数项为，则实数=_______．

20．（2020·渝中·重庆巴蜀中学月考）展开式中的常数项是______．（用数字作答）

21．（2020·江苏省太湖高级中学期中）的展开式中的项的系数是________.

22．（2020·江苏南通·期中）已知的展开式中的系数为40，则实数的值为_____．

23．（2018·安徽淮北·月考（理））若，则_________.

四、双空题

24．（2020·浙江高考真题）设，则________；________．

25．（2019·浙江高考真题）在二项式的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.

26．设，若，则_______，_______．

27．（2020·浙江温州·月考）已知，若，则________，________.

五、解答题

28．（2020·浙江台州·期中）已知的展开式中只有第五项的二项式系数最大.

（1）求该展开式中有理项的项数；

（2）求该展开式中系数最大的项.

参考答案

1．C

【分析】

首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定的系数即可.

【详解】

展开式的通项公式为：

，

令可得：

，则的系数为：

.

故选：

C.

【点睛】

二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：

第一步根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等）；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．

2．C

【分析】

求得展开式的通项公式为（且），即可求得与展开式的乘积为或形式，对分别赋值为3，1即可求得的系数，问题得解.

【详解】

展开式的通项公式为（且）

所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：

和

在中，令，可得：

，该项中的系数为，

在中，令，可得：

，该项中的系数为

所以的系数为

故选：

C

【点睛】

本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.

3．A

【分析】

本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数．

【详解】

由题意得x3的系数为，故选A．

【点睛】

本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．

4．D

【详解】

，令，

可得解得.

故选：

D.

【点睛】

本题主要考查了二项式定理的运用，属于容易题.

5．A

【分析】

表示的是8个相乘，要得到，则其中有2个因式取，有两个因式取，其余4个因式都取1，然后算出即可.

【详解】

表示的是8个相乘，

要得到，则其中有2个因式取，有两个因式取

其余4个因式都取1

所以展开式中项的系数是.

故选：

A

【点睛】

本题考查的是二项式定理，属于典型题.

6．C

【分析】

令，可得展开式中所有项的系数和，即可求出的值，从而可得出再利用二项式系数最值性即可求解.

【详解】

因为二项式的展开式中所有项的系数和为512，

令，得

所以，二项式展开式有10项，

则由二项式系数最值性可知第5项和第6项的二项式系数最大，

所以当或5时，最大，

故选：

C

【点睛】

本题主要考查了二项式展开式所有项的系数之和，以及展开式中二项式系数最大的项，属于基础题.

7．A

【分析】

首先写出展开式的通项，再令，即可求解.

【详解】

的展开式的通公式为，

令.则，

故的系数是，

故选：

A

【点睛】

本题主要考查了求二项式展开式中某一项的系数，属于基础题.

8．A

【分析】

分别求出展开式的各项系数之和，及二项式系数之和，从而可得到，即可求出的值.

【详解】

由题意，的展开式的各项系数之和，其二项式系数之和，

所以，即，解得，则，

所以，它的展开式的通项为，

令，解得，

所以展开式中的常数项为.

故选：

A.

9．D

【分析】

根据，转化为求的展开式和的系数，求出通项即可得到答案.

【详解】

，

的展开式的通项是，

令，则，则的展开式中的系数为，

令，则，则的展开式中的系数为，

故展开式中的系数是.

故选：

D.

【点睛】

本题考查二项展开式中指定项系数的求解，属于基础题.

10．AC

【分析】

先利用二项式系数之和是，求出，再利用二项式的展开式的通项公式，求解即可.

【详解】

因为二项式的展开式中所有项的二项式系数之和为256，

所以，

所以，排除选项B；

因为二项式的展开式的通项公式为，

所以，排除选项D；

故选：

AC.

11．ABD

【分析】

利用二项展开式的通项公式求解列方程求解即可

【详解】

令，得的展开式中各项系数之和为，所以，

选项A正确；

的展开式中第二项的二项式系数为，所以，，选项B正确；

的展开式的通项公式为，

令，则，所以展开式中不存在常数项，选项C错误；

令，则，所以展开式中含项的系数为，选项D正确.；

故选：

ABD

【点睛】

本题考查二项展开式通项公式的运用，属于基础题

12．10

【分析】

写出二项展开式的通项公式，整理后令的指数为2，即可求出．

【详解】

因为的展开式的通项公式为，令，解得．

所以的系数为．

故答案为：

．

【点睛】

本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题．

13．

【分析】

写出二项式展开通项，即可求得常数项.

【详解】

其二项式展开通项：

当，解得

的展开式中常数项是：

.

故答案为：

.

【点睛】

本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握的展开通项公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

14．

【分析】

根据二项展开式的通项公式得出通项，根据方程思想得出的值，再求出其常数项．

【详解】

，

由，得，

所以的常数项为.

【点睛】

本题考查二项式定理的应用，牢记常数项是由指数幂为0求得的．

15．7

【解析】

分析:

先根据二项式展开式的通项公式写出第r+1项，再根据项的次数为零解得r，代入即得结果.

详解：

二项式的展开式的通项公式为,

令得，故所求的常数项为

点睛：

求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：

（1）求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.

（2）已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数的值，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出特定项的系数.

16．

【分析】

在展开式中令可得系数和．

【详解】

令得.

故答案为：

．

【点睛】

本题考查二项式定理，在二项展开式中求系数和或部分项的系数项的常用方法是赋值法，

设二项展开式为，则有：

，

奇数项系数和为，

偶数项系数和为．

17．84

【分析】

直接利用二项式定理计算得到答案.

【详解】

根据二项式定理：

，∴，

∴，故常数项为.

故答案为：

84.

18．126

【分析】

分别令、，可求得各项系数和与常数项；利用，得到展开式通项公式，求得，进而求得结果.

【详解】

令得：

；令得：

；

，展开式通项为，令，则，

.

故答案为：

.

【点睛】

本题考查二项式定理中与各项系数和、指定项系数有关的问题的求解；在求解与各项系数和有关的问题时，通常采用赋值法来快速求得结果.

19．1

【详解】

解：

因为

展开式的通项公式为

令，则常数项为第5项且为5，所以

20．

【分析】

求出二项展开式的通项公式，令，可得常数项.

【详解】

解：

可得展开式的通项公式为，

令，则常数项为．

故答案为：

.

【点睛】

本题主要考查二项展开式的通项公式，考查学生的基础知识与基本计算能力，属于基础题.

21．1560

【分析】

把转化为，再利用二项式的展开式的通项公式，可求出答案.

【详解】

由题意，，

因为的展开式的通项公式为，的展开式的通项公式为，

所以的展开式中的项的系数是.

故答案为：

1560.

【点睛】

关键点点睛：

本题考查二项式定理的应用，考查三项展开式的系数问题.解决本题的关键是把转化为，进而分别求出、的展开式的通项公式，令，可求出的展开式中的项的系数.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.

22．3

【分析】

把按照二项式定理展开，可得的展开式中的系数，再根据的展开式中的系数为40，求得的值．

【详解】

解：

∵的展开式中的系数为，

∴，

故答案为3．

【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式指定项的系数的求法，属于基础题．

23．

【分析】

根据二项式定理知、、为正数，、、为负数，然后令可得出所求代数式的值.

【详解】

展开式通项为，

当为偶数时，，即、、为正数；当为奇数时，，即、、为负数.

.

故答案为：

.

【点睛】

本题考查利用赋值法求各项系数绝对值的和差计算，解题时要结合二项展开式通项确定各系数的正负，便于去绝对值，考查计算能力，属于中等题.

24．

【分析】

利用二项式展开式的通项公式计算即可.

【详解】

的通项为，

令，则，故；

.