高三调研考试数学文试题 含答案.docx
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高三调研考试数学文试题含答案
2019-2020年高三9月调研考试数学(文)试题含答案
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合
,集合
,则
()
A.
B.
C.
D.
2.函数
的最小正周期是()
A.
B.
C.
D.
3.设
,“
”是“复数
为纯虚数”的()
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件
4.某公司2010~2015年的年利润
(单位:
百万元)与年广告支出
(单位:
百万元)的统计资料如下表所示:
根据统计资料,则
A.利润中位数是16,
与
有正线性相关关系
B.利润中位数是17,
与
有正线性相关关系
C.利润中位数是17,
与
有负线性相关关系
D.利润中位数是18,
与
有负线性相关关系
5.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为2,则可输入的实数
值的个数为()
A.3B.2C.1D.0
6.若
,
满足
,
,且
,则
与
的夹角为()
A.
B.
C.
D.
7.若
,
,
,则()
A.
B.
C.
D.
8.在一个几何体的三视图中,正视图与俯视图如右图所示,则该几何体相应的侧视图可以为()
A.B.C.D.
9.已知
,
.若
是
与
的等比中项,则
的最小值为()
A.8B.4C.1D.2
10.函数
在一个周期内的图象如下,此函数的解析式为()
A.
B.
C.
D.
11.已知双曲线
,
与抛物线
有一个公共的焦点
,且两曲线的一个交点为
,若
,则双曲线的离心率为()
A.2B.
C.
D.
12.设函数
,其中
表示不超过
的最大整数,如
,
,
.若直线
与函数
的图象恰有三个不同的交点,则
的取值范围是()
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.体积为27的正方体的顶点都在同一个球面上,则该球的半径为_________.
14.若过点(0,2)的直线
与圆
有公共点,则直线
的斜率的取值范围是______.
15.已知变量
,
满足约束条件
,则
的最大值是_________..
16.在
中,
为
边上一点,
,
,
,若
,则
________.
三、解答题:
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
20名同学参加某次数学考试成绩(单位:
分)的频率分布直方图如下:
(Ⅰ)求频率分布直方图中
的值;
(Ⅱ)分别求出成绩落在
,
中的学生人数;
(Ⅲ)从成绩在
的学生中任选2人,求此2人的成绩都在
中的概率.
18.(本小题满分12分)
在等差数列
中,
,
.
(Ⅰ)求数列
的通项公式;
(Ⅱ)设数列
是首项为1,公比为
的等比数列,求数列
的前
项和
.
19.(本小题满分12分)
如图,四棱锥
中,底面
为平行四边形,
,
,
底面
.
(Ⅰ)证明:
;
(Ⅱ)设
,求点
到面
的距离.
20.(本小题满分12分)
已知椭圆
的离心率
,点
在椭圆上,
、
分别为椭圆的左右顶点,过点
作
轴交
的延长线于点
,
为椭圆的右焦点.
(Ⅰ)求椭圆的方程及直线
被椭圆截得的弦长
;
(Ⅱ)求证:
以
为直径的圆与直线
相切.
21.(本小题满分12分)
若函数
,
.
(Ⅰ)求
的单调区间和极值;
(Ⅱ)证明:
若
存在零点,则
在区间
上仅有一个零点.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答.注意:
只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目记分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.(本小题满分10分)选修4-1:
几何证明选讲
如图,
是半圆
的直径,
,垂足为
,
,
与
、
分别交于点
、
.
(Ⅰ)证明:
;
(Ⅱ)证明:
.
23.(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系
中,以坐标原点
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
,
.
(Ⅰ)求曲线
的直角坐标方程;
(Ⅱ)若点
在曲线
上,求它到直线
(
为参数,
)的最短距离.
24.(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲
设函数
.
(Ⅰ)当
时,求不等式
的解集;
(Ⅱ)若
时有
,求
的取值范围.
益阳市2017届高三9月调研考试
文科数学参考大难及评分标准
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分
13.
14.
15.916.
三、解答题:
本大题共6小题,共70分
17.(本小题满分12分)
解:
(Ⅰ)据直方图知组距为10,由
,解得
.……………………3分
(Ⅱ)成绩落在
中的学生人数为
,
成绩落在
中的学生人数为
.……………………7分
(Ⅲ)记成绩落在
中的2人为
,
,成绩落在
中的3人为
、
、
,
则从成绩在
的学生中选2人的基本事件共有10个:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.………………9分
其中2人的成绩都在
中的基本事件有3个:
,
,
.……………………11分
故所求概率为
.………………12分
18.(本小题满分12分)
(Ⅰ)设等差数列
的公差是
.
依题意由
,得
.………………3分
所以
.………………8分
从而
………………10分
当
时,
;………………11分
当
时,
.…………………………12分
19.(本小题满分12分)
解:
(Ⅰ)因为
,
,
由余弦定理得
.………………1分
从而
,∴
,………………3分
又由
底面
,
面
,可得
.……………………4分
所以
平面
.故
.……………………6分
(Ⅱ)作
,垂足为
.
已知
底面
,则
,
由(Ⅰ)知
,又
,所以
.
故
平面
,
.
则
平面
.………………8分
由题设知,
,则
,
,………………10分
根据
,得
,
即点
到面
的距离为
.………………12分
20.(本小题满分12分)
解:
(Ⅰ)∵椭圆过点
,
∴
,又
,即
,
.
故
,
∴椭圆方程为
.……………………4分
则
,
,直线
的方程为
,
与椭圆方程联立有
.
消去
得到
,解得
.
由弦长公式得
;……………………8分
(Ⅱ)证明:
过
,
的直线
的直线方程为:
与
的直线方程
联立有
,
所以以
为直径的圆的圆心为
,半径
,
圆心到直线
的距离
,
所以以
为直径的圆与直线
相切.……………………!
2分
21.(本小题满分12分)
解:
(Ⅰ)由
,
得
.……………………1分
由
解得
.
与
在区间
上的情况如下:
所以,
的单调递减区间是
,单调递增区间是
;………………4分
在
处取得极小值
.………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
在区间
上的最小值为
.
因为
存在零点,所以
,从而
.……………………8分
当
时,
在区间
上单调递减,且
,………………10分
所以
是
在区间
上的唯一零点.
当
时,
在区间
上单调递减,且
,
,
所以
在区间
上仅有一个零点.
综上可知,若
存在零点,则
在区间
上仅有一个零点.……………………12分
请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时请写清题号.
22.解:
(1)连接
,
,
∵
,
,
∴点
是
的中点,
.
∵
是
的直径,∴
,
∴
,∴
,
∴
,
,
∴
.………………5分
(2)在
与
中,
由
(1)知
,
又
,
∴
,于是
.
∴
.
在
与
中,
由于
,
,
∴
,∴
.………………10分
23.解:
(Ⅰ)由
,
.
得
,即
;……………………4分
(Ⅱ)由直线
,得
.
由(Ⅰ)知曲线
为圆:
,即
,
所以圆心坐标为(0,1),
圆心到直线
的距离为
.
∴
到直线
的最短距离为1.……………………6分
24.解:
(Ⅰ)当
时,不等式
,
∴
,
∴
,∴
.
∴不等式
的解集为[-4,2].……………………5分
(Ⅱ)若
时,有
,
∴
,即
,
∴
或
,∴
或
,
∵
,∴
,
,∴
或
.
∴
的取值范围是
.……………………10分