新湘教版必修1高中数学 对数的概念和运算律.docx

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新湘教版必修1高中数学对数的概念和运算律

2．2

对数函数

2．2.1　对数的概念和运算律

对数的概念

1．对数及相关概念

如果ab＝N（a>0，a≠1），那么b叫作以a为底，（正）数N的对数，记作b＝logaN.这里，a叫作对数的底，N叫作对数的真数．

2．对数恒等式

（1）alogaN＝N.

（2）b＝logaab.

把下列各等式化为相应的对数式或者指数式．

（1）53＝125；

（2）－2＝16；

（3）log

8＝－3.

[提示]　利用指数式与对数式间的等价关系．

（1）∵53＝125，∴log5125＝3.

（2）∵－2＝16，∴log

16＝－2.

（3）∵log

8＝－3，∴－3＝8.

对数的运算法则

（1）计算下列各式的值：

①log24，log28，log232，

②log39，log327，log334.

（2）你发现，log232＝log2（4×8）＝________.

log3（9×27）＝________.

（3）若logaM＝x，logaN＝y，其中a>0且a≠1，M，N>0，你可以猜想loga（MN）＝________.

（4）同类似的方法，你可以猜想loga，logaMn各等于什么吗？

若你能肯定你的猜想正确，你能给出推理证明吗？

对数的运算性质：

若a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：

（1）loga（MN）＝logaM＋logaN，

（2）logaMn＝nlogaM，

（3）loga＝logaM－logaN.

1．logab＝1成立的条件是（　　）

A．a＝b　　　　　　　B．a＝b且b>0

C．a>0且a≠1D．a>0，a＝b≠1

[提示]　D

2．判断下列各式的正误并说明理由：

（1）lg[（－8）×（－3）]＝lg（－8）＋lg（－3）；

（2）log2（4＋8）＝log24·log28；

（3）log525＝log552＝（log55）2.

[提示]　

（1），

（2），（3）均不正确，

（1）是真数小于零没有意义，

（2）（3）是使用运算性质不正确.

常用对数和自然对数

（1）以10为底的对数称为常用对数，以e为底的对数称为自然对数．

（2）为了方便通常将常用对数和自然对数简写为：

log10N＝lgN，logeN＝lnN.

用对数表示下列关系式中的x.

（1）2x＝32；

（2）x＝8；（3）ex＝8.27；（4）10x＝1000.

[提示]　

（1）x＝log232；

（2）x＝log

8；（3）x＝ln8.27；

（4）x＝lg1000.

指数式与对数式的互化

[例1]　将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：

（1）43＝64；

（2）3－2＝；（3）－3＝64；

（4）log216＝4；（5）log

27＝－3；（6）log

x＝6.

[思路点拨]　依据ax＝N⇔x＝logaN进行转化．

[解]　

（1）log464＝3.

（2）log3＝－2.

（3）log

64＝－3.

（4）24＝16.

（5）－3＝27.

（6）（）6＝x.

借题发挥

（1）对数式logaN＝b是由指数式ab＝N变化得来的，两式底数相同，对数式中的真数N就是指数式中的幂的值N，而对数值b是指数式中的幂指数，对数式与指数式的关系如图．

（2）在指数式ab＝N中，若已知a，N，求幂指数b，便是对数运算b＝logaN.

1．若logx＝z，则（　　）

A．y7＝xz　　　　　　　　B．y＝x7z

C．y＝7xzD．y＝z7x

解析：

选B　logx＝z⇔xz＝⇒y＝（xz）7＝x7z.

对数的概念与基本性质的应用

[例2]　求下列各式中x的值．

（1）log2（log5x）＝0；

（2）log3（lgx）＝1；

（3）x＝log27；（4）x＝log

16.

[思路点拨]　解答时，可利用对数的性质求解．

[解]　

（1）∵log2（log5x）＝0，∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5.

（2）∵log3（lgx）＝1，∴lgx＝31＝3，∴x＝103＝1000.

（3）由x＝log27，得27x＝，∴33x＝3－2，∴x＝－.

（4）由x＝log

16，得x＝16，

∴2－x＝24，∴x＝－4.

借题发挥

（1）有关“底数”和“1”的对数，可利用对数的性质求出其值“1”和“0”，化成常数，有利于化简和计算．

（2）求解简单对数方程可利用对数定义化为指数式求解.

2．已知log2（log3（log4x））＝0，且log4（log2y）＝1.求·y

的值．

解：

∵log2（log3（log4x））＝0，

∴log3（log4x）＝1，

∴log4x＝3，∴x＝43＝64.

由log4（log2y）＝1，知log2y＝4，

∴y＝24＝16.

因此·y

＝×16

＝8×8＝64.

对数的运算性质的应用

[例3]　计算或化简下列各式．

（1）log3＋lg25＋lg4＋7

＋（－9.8）0；

（2）lg52＋lg8＋lg5·lg20＋（lg2）2；

（3）loga－loga＋loga（a>0且a≠1）．

[思路点拨]　利用积、商、幂的对数的运算法则求解．

[解]　

（1）原式＝log33

＋lg（25×4）＋2＋1

＝＋lg102＋3＝＋2＋3＝.

（2）法一：

原式＝2lg5＋2lg2＋lg5·（1＋lg2）＋（lg2）2

＝2（lg5＋lg2）＋lg5＋lg2（lg5＋lg2）

＝2＋lg5＋lg2＝2＋1＝3.

法二：

原式＝2lg5＋lg23＋lg5（lg22＋lg5）＋（lg2）2

＝2（lg5＋lg2）＋2lg5·lg2＋（lg5）2＋（lg2）2

＝2＋（lg5＋lg2）2

＝2＋1＝3.

（3）法一：

原式＝logaa

－logaa－n＋logaa

＝logaa＋nlogaa－logaa

＝＋n－＝n.

法二：

原式＝loga＝logaan＝nlogaa＝n.

借题发挥

（1）对于同底的对数的化简，常用方法是：

①“收”，将同底的两对数的和（差）收成积（商）的对数；

②“拆”，将积（商）的对数拆成对数的和（差）．

（2）在应用对数运算性质时应注意保证每个对数式都有意义，避免出现log5（－10）2＝2log5（－10）等形式的错误．另外对数运算性质是可逆的，注意公式的逆用在解题中的作用．

（3）除了教材中介绍的对数的三个运算性质外，loga

bm＝logab在解题中也较常用.

3．求下列各式的值：

（1）7

；

（2）（lg5）2＋2lg2－（lg2）2；

（3）.

解：

（1）原式＝7

＝7

＝.

（2）法一：

原式＝2＋2lg2－（lg2）2

＝（1－lg2）2＋2lg2－（lg2）2

＝1－2lg2＋（lg2）2＋2lg2－（lg2）2＝1.

法二：

原式＝[（lg5）2－（lg2）2]＋2lg2

＝（lg5＋lg2）（lg5－lg2）＋2lg2

＝lg10·（lg5－lg2）＋2lg2＝lg5－lg2＋2lg2

＝lg5＋lg2＝lg10＝1.

（3）原式＝

＝＝＝1.

1．使log（x－1）（x＋2）有意义的x的取值范围是（　　）

A．x≥1

B．x<1

C．x<－2且x≠2

D．x>1且x≠2

解析：

选D　由对数的定义知，

得：

x>1且x≠2.

2．化简log612－2log6的结果为（　　）

A．6　　　　　　　　B．12

C．log6D.

解析：

选C　法一：

原式＝log6（6×2）－2log62

＝（1＋log62）－log62＝（1－log62）＝log63＝log6.

法二：

原式＝log6－log62＝log6＝log6.

3．计算÷100

＝________.

解析：

÷100

＝－2÷＝－20.

答案：

－20

4．已知a

＝（a>0），则log

a＝________.

解析：

设log

a＝x，则a＝x，

又a

＝，

∴

＝2，即

＝2，

∴＝2，解得x＝3.

答案：

3

5．计算下列各式的值：

（1）lg12.5－lg＋lg；

（2）lg25＋lg2＋lg＋lg（0.01）－1；

（3）log2（log264）．

解：

（1）原式＝lg＝lg10＝1.

（2）原式＝lg[25

×2×10

×（10－2）－1]

＝lg（5×2×10

×102）＝lg10

＝.

（3）原式＝log2（log226）＝log26＝1＋log23.

在使用对数运算性质解题时应注意什么？

在运算过程中避免出现以下错误：

loga（MN）＝logaM·logaN.loga＝.

logaNn＝（logaN）n.logaM±logaN＝loga（M±N）．

要特别注意它的前提条件：

a>0，a≠1，M>0，N>0，尤其是M，N都是正数这一条件，否则M，N中有一个小于或等于0，就导致logaM或logaN无意义，另外还要注意，M>0，N>0与M·N>0并不等价．

一、选择题

1．已知a＝log32，用a表示log38－2log36是（　　）

A．a－2　　　　　　　　B．5a－2

C．3a－（1＋a）2D．3a－a2－1

解析：

选A　log38－2log36

＝log323－2log3（2×3）

＝3log32－2（log32＋1）

＝3a－2（a＋1）＝a－2.

2．化简：

的结果是（　　）

A.B．1

C．2D．4

解析：

选C　由对数运算可知：

lg（lga100）＝lg（100lga）＝2＋lg（lga），∴原式＝2.

3．已知lga＝2.4310，lgb＝1.4310，则等于（　　）

A.B.

C．10D．100

解析：

选B　lg＝lgb－lga＝1.4310－2.4310＝－1，∴＝.

4．已知方程x2＋xlog26＋log23＝0的两根为α、β，则α·β＝（　　）

A.B．36

C．－6D．6

解析：

选B　由题意知：

α＋β＝－log26，α·β＝α＋β＝

＝4log26＝2

＝36.

二、填空题

5．已知log7[log3（log2x）]＝0，则x

＝________.

解析：

由已知得：

log3（log2x）＝1⇒log2x＝3⇒x＝23，

∴x

＝（23）

＝2

＝＝.

答案：

6．计算：

＝________.

解析：

原式＝＝＝＝1.

答案：

1

三、解答题

7．计算下列各式的值：

（1）lg2＋lg50＋3

；

（2）2

＋

＋lg20－lg2＋（－1）lg1.

解：

（1）原式＝lg2＋lg＋3×3

＝lg2＋（2－lg2）＋3×3

＝2＋3×3

＝2＋3×2

＝2＋.

（2）原式＝＋

＋lg＋1

＝＋－1＋lg10＋1＝3.

8．已知loga（x2＋4）＋loga（y2＋1）＝loga5＋loga（2xy－1）（a>0，且a≠1），求log2的值．

解：

原等式可化为loga[（x2＋4）（y2＋1）]

＝loga[5（2xy－1）]．

∴（x2＋4）（y2＋1）＝5（2xy－1），

整理得x2y2＋x2＋4y2－10xy＋9＝0.

配方得（xy－3）2＋（x－2y）2＝0.

∴∴＝2，

∴log2＝log22＝1.