新湘教版必修1高中数学 对数的概念和运算律.docx

1、新湘教版必修1高中数学 对数的概念和运算律22对数函数22.1对数的概念和运算律对数的概念1对数及相关概念如果abN(a0，a1)，那么b叫作以a为底，(正)数N的对数，记作blogaN.这里，a叫作对数的底，N叫作对数的真数2对数恒等式(1)alogaNN.(2)blogaab.把下列各等式化为相应的对数式或者指数式(1)53125；(2)216；(3)log83.提示利用指数式与对数式间的等价关系(1)53125，log51253.(2)216，log162.(3)log83，38.对数的运算法则(1)计算下列各式的值：log24，log28，log232，log39，log327，log

2、334.(2)你发现，log232log2(48)_.log3(927)_.(3)若logaMx，logaNy，其中a0且a1，M，N0，你可以猜想loga(MN)_.(4)同类似的方法，你可以猜想loga，logaMn各等于什么吗？若你能肯定你的猜想正确，你能给出推理证明吗？对数的运算性质：若a0，且a1，M0，N0，那么：(1)loga(MN)logaMlogaN，(2)logaMnnlogaM，(3)logalogaMlogaN.1logab1成立的条件是()Aab Bab且b0Ca0且a1 Da0，ab1提示D2判断下列各式的正误并说明理由：(1)lg(8)(3)lg(8)lg(3)；

3、(2)log2(48)log24log28；(3)log525log552(log55)2.提示(1)，(2)，(3)均不正确，(1)是真数小于零没有意义，(2)(3)是使用运算性质不正确.常用对数和自然对数(1)以10为底的对数称为常用对数，以e为底的对数称为自然对数(2)为了方便通常将常用对数和自然对数简写为：log10NlgN，logeNlnN.用对数表示下列关系式中的x.(1)2x32；(2)x8；(3)ex8.27；(4)10x1 000.提示(1)xlog232；(2)xlog8；(3)xln8.27；(4)xlg1 000.指数式与对数式的互化例1将下列指数式化为对数式，对数式化

4、为指数式：(1)4364；(2)32；(3)364；(4)log2164；(5)log273；(6)logx6. 思路点拨依据axNxlogaN进行转化解(1)log4643.(2)log32.(3)log643.(4)2416.(5)327.(6)()6x.借题发挥(1)对数式logaNb是由指数式abN变化得来的，两式底数相同，对数式中的真数N就是指数式中的幂的值N，而对数值b是指数式中的幂指数，对数式与指数式的关系如图(2)在指数式abN中，若已知a，N，求幂指数b，便是对数运算blogaN.1若logxz，则()Ay7xz Byx7zCy7xz Dyz7x解析：选Blogxzxzy(x

5、z)7x7z.对数的概念与基本性质的应用例2求下列各式中x的值(1)log2(log5x)0；(2)log3(lgx)1；(3)xlog27；(4)xlog16.思路点拨解答时，可利用对数的性质求解解(1)log2(log5x)0，log5x201，x515.(2)log3(lgx)1，lgx313，x1031 000.(3)由xlog27，得27x，33x32，x.(4)由xlog16，得x16，2x24，x4.借题发挥(1)有关“底数”和“1”的对数，可利用对数的性质求出其值“1”和“0”，化成常数，有利于化简和计算(2)求解简单对数方程可利用对数定义化为指数式求解.2已知log2(log

6、3(log4x)0，且log4(log2y)1.求y的值解：log2(log3(log4 x)0，log3(log4 x)1，log4x3，x4364.由log4(log2y)1，知log2y4，y2416.因此y168864.对数的运算性质的应用例3计算或化简下列各式(1)log3lg25lg47(9.8)0；(2)lg52lg8lg5lg20(lg2)2；(3)logalogaloga(a0且a1)思路点拨利用积、商、幂的对数的运算法则求解解(1)原式log33lg(254)21lg102323.(2)法一：原式2lg52lg2lg5(1lg2)(lg2)22(lg5lg2)lg5lg2(

7、lg5lg2)2lg5lg2213.法二：原式2lg5lg23lg5(lg22lg5)(lg2)22(lg5lg2)2lg5lg2(lg5)2(lg2)22(lg5lg2)2213.(3)法一：原式logaalogaanlogaalogaanlogaalogaann.法二：原式logalogaannlogaan.借题发挥(1)对于同底的对数的化简，常用方法是：“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)(2)在应用对数运算性质时应注意保证每个对数式都有意义，避免出现log5(10)22log5(10)等形式的错误另外对数运算性质是可逆的，注意公

8、式的逆用在解题中的作用(3)除了教材中介绍的对数的三个运算性质外，logabmlogab在解题中也较常用.3求下列各式的值：(1)7；(2)(lg5)22lg2(lg2)2；(3).解：(1)原式77.(2)法一：原式22lg2(lg2)2(1lg2)22lg2(lg2)212lg2(lg2)22lg2(lg2)21.法二：原式(lg5)2(lg2)22lg2(lg5lg2)(lg5lg2)2lg2lg10(lg5lg2)2lg2lg5lg22lg2lg5lg2lg101.(3)原式1.1使log(x1)(x2)有意义的x的取值范围是()Ax1Bx1Cx1且x2解析：选D由对数的定义知，得：x

9、1且x2.2化简log6122log6的结果为()A6 B12Clog6 D.解析：选C法一：原式log6(62)2log62(1log62)log62(1log62)log63log6.法二：原式log6log62log6log6.3计算100_.解析：100220.答案：204已知a(a0)，则loga_.解析：设logax，则ax，又a，2，即2，2，解得x3.答案：35计算下列各式的值：(1)lg12.5lglg；(2)lg25lg2lglg(0.01)1；(3)log2(log264)解：(1)原式lglg101.(2)原式lg25210(102)1lg(5210102)lg10.(

10、3)原式log2(log226)log261log23.在使用对数运算性质解题时应注意什么？在运算过程中避免出现以下错误：loga(MN)logaMlogaN.loga.logaNn(logaN)n.logaMlogaNloga(MN)要特别注意它的前提条件：a0，a1，M0，N0，尤其是M，N都是正数这一条件，否则M，N中有一个小于或等于0，就导致logaM或logaN无意义，另外还要注意，M0，N0与MN0并不等价一、选择题1已知alog32，用a表示log382log36是()Aa2 B5a2C3a(1a)2 D3aa21解析：选Alog382log36log3232log3(23)3l

11、og322(log321)3a2(a1)a2.2化简：的结果是()A. B1C2 D4解析：选C由对数运算可知：lg(lga100)lg(100lga)2lg(lga)，原式2.3已知lg a2.431 0，lg b1.431 0，则等于()A. B.C10 D100解析：选Blglg blg a1.431 02.431 01，.4已知方程x2xlog26log230的两根为、，则()A. B36C6 D6解析：选B由题意知：log26，4log26236.二、填空题5已知log7log3(log2x)0，则x_.解析：由已知得：log3(log2x)1log2x3x23，x(23)2.答案：6计算：_.解析：原式1.答案：1三、解答题7计算下列各式的值：(1)lg2lg503；(2)2lg20lg2(1)lg1.解：(1)原式lg2lg33lg2(2lg2)33233 2322.(2)原式lg11lg1013.8已知loga(x24)loga(y21)loga5loga(2xy1)(a0，且a1)，求log2的值解：原等式可化为loga(x24)(y21)loga5(2xy1)(x24)(y21)5(2xy1)，整理得x2y2x24y210xy90.配方得(xy3)2(x2y)20.2，log2 log221.