5.由集合运算的吸收律，A∩（A∪B）=________，A∪A∩B=________。
6.由集合运算的基本定律：
（1）A∩A=A，满足________律；
（2）A∪E=E，满足________律；
（3）A∩E=A，满足________律；
（4）A∩～A=φ，满足________律。
7.对于任意集合A，B，德·摩根律为________。
8.设A，B是两个有限集合，则包含排斥定理|A∪B|=________。
9.序偶（a,b）=（x,y）的充分必要条件是________。
10.A，B是两个集合，其中A={1,2}，B={a,b,c}，则A×B=________，B×A=________。
11.设集合A={a,b,c,d}，A上的关系R={（a,a），（a,c），（b,d）}，则关系R2=________。
12.设集合A={1,2,3,4}，R为A上的一个二元关系，R={（1,1），（1,2），（1,4），（2,1），（2,3），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,3），（4,4）}，则R的关系矩阵MR=________，R的关系图为________。
13.设R1，R2是集合A={a,b,c,d}上的二元关系，其中R1={（a,a），（a,b），（b,d）}，R2={（a,d），（b,c），（b,d），（c,b）}，
则R1·R2=________，
=________。
14.设集合A={1,2,3}，r和t都是A上的映射，r={（1,2）,（2,1）,（3,3）},t={（1,3）,（2,2）,（3,2）}，则t·r=________，r·r=________。
15.设集合A={a,b}，B={1,2}，则从A到B的所有映射是________，其中双射是________。
16.设集合A={a,b,c,d}，A上的二元关系R={（a,a），（a,c），（b,a），（c,c），（c,d），（d,c）}，则R－1的关系矩阵
=________，R－1的关系图为________。
17.设集合A={1,2,3}，A上的二元关系R的关系图如图1所示，则关系R具有的性质是________
图1
18.设集合A={0,1,2,3,4,5}，A上的关系R={（0,0），（1,1），（1,2），（1,3），（2,1），（2,2），（2,3），（3,1），（3,2），（3,3），（4,4），（4,5），（5,4），（5,5）}，则R在A上构成的等价类是________。
19.设集合A={a,b,c,d,e}，A上半序关系R的哈斯图如图2所示，则A的极大元为________，极小元为________。
图2
20.已知命题公式G=（P（QR）），则所有的使G取真值为1的解释是________。
21.已知命题公式G=（PQ）R，则G的主析取范式是________。
22.设一阶逻辑公式G=xP（x）xQ（x），则G得前束范式是________。
23.设D：
{a,b}，将表达式xy（x,y）中的量词消除后，与之等价的命题公式是________。
24.设G是由12个元素构成的循环群，a是G的一个生成元素，则G有________个子群，G的生成元素集合是________。
25.设集合M={1,2,3}，G是M上的置换群，H={I，（1,3）}是G的子群，则H的右陪集为________。
26.设循环群G有6个元素，a是生成元素，则G的全部子集是________。
27.设L是一个集合，×，⊕是L中两个二元运算。
如果这两个二元运算满足________律、________律和________律，则（L，×，⊕）称做是一个格。
28.设格中表达式E=（a⊕b）×（c⊕d），则E的对偶表达式E*=________。
29.设（L，×，⊕，0，1）是有界格，a是L中的一个元素，如果存在元素b，使得________，则b称为a的余元素。
30.设（B，·，＋，－，0，1）是布尔代数，a，b，c是集
合B中任意元素，则（a·b）＋（a·b·
）＋（a·
·c）＋（a·
·
）＝________。
31.设G是完全二叉树，G有15个点，其中有8个叶点，则G有________条边，G的总度数是________，G的分枝点数是________，G中度数为3的顶点数是________。
32.无孤立点的有限有向图有欧拉路的充要条件是________。
33.设图G的相邻矩阵为
则G的顶点数为________，边数为________。
34.对图（图3）中二叉树的点
图3
先根遍历的次序是________，中根遍历的次序是________。
二、单项选择题
1.设X，Y为集合，当（）时，X－Y＝Y。
A.X＝YB.
C.
D.X＝Y＝φ
2.下列式子中正确的有（）。
A.φ＝0B.φ∈{φ}
C.φ∈{a,b}D.φ∈φ
3.设集合X＝{x,y}，则ρ（X）＝（）。
A.{{x},{y}}B.{φ,{x},{y}}
C.{φ,{x},{y},{x,y}}D.{{x},{y},{x,y}}
4.某个集合的元数为10，可以构成（）个子集。
A.10B.20C.102D.210
5.对于任意集合S，S∪φ＝S，满足（）。
A.等幂律B.同一律
C.零一律D.互补律
6.设X、Y、Z为任意集合，下列命题正确的有（）。
A.若X∪Y＝X∪Z，则Y＝Z
B.若X∩Y＝X∩Z，则Y＝Z
C.若～X∪Y＝E，则X＝Y
D.X－Y＝φ，则X＝Y
7.设集合A＝{1，2，3，4}，A上的关系R＝{（1，1），（2，3），（2，4），（3，4）}，则R具有（）。
A.自反性B.传递性
C.对称性D.以上答案都不对
8.设集合A＝{1，2，3}，A上的关系R＝{（1，1），（2，2）}，则R不具有关系的（）性质。
A.自反性B.对称性
C.传递性D.反对称性
9.设R1，R2是集合A＝{1,2,3,4}上的两个关系，其中R1＝{（1，1），（2，2），（2，3），（4，4）}，R2＝{（1，1），（2，2），（2，3），（3，2），（4，4）}，则R2是R1的（）闭包。
A.自反B.对称
C.传递D.以上都不是
10.设集合A＝{1，2，3}，r,s和t都是AA的映射，其中r＝{（1，2），（2，1），（3，3）}，s＝{（1，3），（2，2），（3，2）}，t＝{（1，3），（2，1），（3，1）}，则t＝（）。
A.r·sB.s·tC.r·rD.s·s
11.设集合A＝{a，b}，A上的二元关系R＝{（a，a），（a，b）}，则R是（）。
A.等价关系但不是半序关系
B.是半序关系但不是等价关系
C.既是等价关系又是半序关系
D.既不是等价关系也不是半序关系
12.设集合A＝{a,b,c}，A上关系R的关系图如图4所示，则R具有（）。
A.自反性、对称性、传递性
B.自反性、传递性
C.对称性、反对称性
D.对称性、反对称性、传递性
图4
13.设R为实数集，映射s：
RR，s（x）=-x2+2x-1，则s是（）。
A.单射而非满射B.满射而非单射
C.双射D.既不是单射也不是满射
14.设集合A＝{1，2，3，…，10}，半序关系≤是A上的整除关系，则半序集（A，≤）上元素10是集合A的（）。
A.最大元B.最小元
C.极大元D.极小元
15.设集合A＝{a,b,c,d,e}，半序关系R的哈斯图如图5所示。
若A的子集B＝{c,d,e}，则元素c为B的（）。
A.下界B.最大下界
C.最小上界D.以上答案都不对
图5
16.设命题公式G＝（PQ）P，则G是（）。
A.恒假的B.恒真的
C.可满足的D.析取范式
17.设命题公式G＝（PQ），H＝P（QP），则G与H的关系是（）。
A.
B.
C.G＝HD.以上都不是
18.设命题公式G＝P（QP），则使G为真的解释是（）。
A.（0，0）B.（1，0）C.（0，1）D.（1，1）
19.设G，H是一阶逻辑公式，P是一个谓词，G＝xP（x），H＝xP（x），则一阶逻辑公式G
H是（）。
A.恒假的B.恒真的
C.可满足的D.前束范式
20.下面给出的一阶逻辑等价式中，（）是错的。
A.x（A（x）∨B（x））＝xA（x）∨xB（x）
B.x（A（x）∨B（x））＝xA（x）∨xB（x）
C.xA（x）＝x（A（x））
D.AxB（x）＝x（AB（x））
21.设G是群，G有（）个元素，则不能肯定G是交换群。
A.4个B.5个C.6个D.7个
22.下面的代数系统（G，*）中，（）不是群。
A.G为整数集合，*为加法
B.G为偶数集合，*为加法
C.G为有理数集合，*为加法
D.G为有理数集合，*为乘法
23.设G是有6个元素的循环群，a是生成元素，则G的子集（）是子群。
A.{a}B.{a，e}C.{e，a3}D.{e，a，a2}
24.设σ1，σ2，σ3是三个置换，其中σ1＝（12）（23）（13），σ2＝（24）（14），σ3＝（1324），则σ3＝（）。
A.σ12B.σ1σ2C.σ22D.σ2σ1
25.如图6所示，半序集中哪个不是格？
（）
图6
26.设（L，≤）是格，a，b是L中任意元素，a≤b，则下面的公式（）成立。
A.a⊕b=aB.a×b=b
C.a×b=aD.b×（a⊕b）=a
27.图7所示的格中，（）不是分配格。
图7
28.设（B，·，＋，－，0，1）是布尔代数，a，b是B中元素，a≤b，则下面（）公式不成立。
A.a·
=0B.
＋b=1
C.a＋
=1D.
＋
=
29.设G是由5个顶点组成的完全图，则从G中删去（）条边可以得到树。
A.6B.5C.10D.4
30.图8是（）。
图8
A.完全图B.平面图
C.哈密顿图D.欧拉图
31.G是连通的平面图，有5个顶点，6个面，则G的边数为（）。
A.6B.5C.11D.9
32.已知图G的相邻矩阵为
，则G的边数与分枝数为（）
A.5，3B.4，2C.5，1D.6，4
三、计算题
1.设全集E＝N，有下列子集：
A＝{1，2，8，10}，B＝{n|n2<50，n∈N}，C＝{n|n可以被3整除，且n<20，n∈N}，D＝{n|2i，i<6且i、n∈N}
求下列集合：
（1）A∪（C∩D）
（2）A∩（B∪（C∩D））
（3）B－（A∩C）（4）（～A∩B）∪D
2.设集合A＝{a,b,c}，A上二元关系R1，R2，R3分别为：
R1＝A×A，R2＝{（a，a），（b，b）}，R3＝{（a，a）}，试分别用
定义和矩阵运算求R1·R2，
，R1·R2·R3，（R1·R2·R3）－1。
3.设集合A＝{1，2，3}，R1与R2是A上的二元关系，分别为：
R1＝{（1，1），（1，2），（2，2），（3，2），（3，3）}，
R2＝{（1，1），（2，1），（2，2），（2，3），（1，3），（3，3）}
（1）试分别写出R1，R2的关系矩阵。
（2）分别画出R1，R2的关系图。
（3）判定R1，R2各具有关系的哪几种性质（自反性、对称性、反对称性、传递性）。
4.设集合A＝{a,b,c}，R是集合A上的关系，R＝{（a，b），（b，a），（b，c）}，求r（R），s（R），t（R），并分别画出它们的关系图。
5.设集合A＝{a,b,c,d}，A上关系R的关系图如图9所示，试求r（R），s（R），t（R），并分别画出它们的关系图。
图9
6.设R是集合A＝{1,2,3,4,5,6}上的两个关系，R＝{（1，1），（1，3），（1，6），（2，2），（2，5），（3，1），（3，3），（3，6），（4，4），（5，2），（5，5），（6，1），（6，3），（6，6）}
（1）验证R是等价关系。
（2）画出R的关系图。
（3）写出A关于R的等价类。
7.设集合A＝{1,2,3,…,12}，R为整除关系，
（1）画出半序集（A，R）的哈斯图。
（2）写出集合A的最大元、最小元、极大元和极小元。
（3）写出A的子集B＝{3,6,9,12}的上界、下界、最小上界和最大下界。
8.设σ，τ，φ是实数集合R上的三个映射，
其中，σ（x）＝x/5，τ（x）＝2x+3，φ（x）＝x2+1
对x∈R，试求复合映射σ·τ，τ·σ，τ·τ，τ·φ和σ·φ·τ，并指出这些映射中哪些是双射？
9.设命题逻辑公式G＝（R∧（PQ））∨S，写出G的析取范式与合取范式。
10.求命题公式G的主析取范式，其中G＝（PQ∨R）∨（（P∨Q）∧（Q∨R））
11.化简下列各式
（1）A∨（A∨（B∧B））
（2）（A∧B∧C）∨（A∧B∧C）
12.试将下列公式化为析取范式和合取范式
（1）P∧（PQ）
（2）（P∨Q）
（P∧Q）
（3）（（P∨Q）R）P
（4）（PQ）
（QP）
13.设公式G的真值表如表1，试求出G的主析取范式和主合取范式。
表1
P
Q
R
G
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
0
14.将下面命题符号化
（1）某些人对某些食物过敏。
（2）对于任一个正整数，总存在一个更大的正整数。
15.设P（x）：
x是人；
F（x，y）：
x是y的父亲；
M（x，y）：
x是y的母亲；
试用谓词公式表示：
x是y的外祖父；
16.设一阶逻辑公式：
G＝（xP（x）∨yR（y））xF（x），把G化成前束范式。
17.设G是由M＝{1，2，3，4}上的偶置换在置换的乘法下做成的群，写出G的所有元素及所有元素≤4的子群。
18.设M＝{1，2，3}，写出M的置换群及所有子群，并问哪些是正规子群，指出正规子群的指数。
19.已知σ和τ是两个置换σ＝
，τ＝
，计算（στ）9。
20.设（B，·，＋，－，0，1）是布尔代数，a，b，c∈B，化简abc+ab
+bc+
bc+
b
。
21.设（B，·，＋，－，0，1）是布尔代数，a，b，c∈B，化简（（a·
）+c）·（a＋b）·c。
22.写出图10所示的关联矩阵和相邻矩阵。
图10
23.根据如下的相邻矩阵，画出它所对应的图G。
A（G）＝
24.求权图（图11）中从u到v的最短路。
图11
25.分别用三种不同的遍历方式写出对图（图12）中二叉树点的访问次序。
图12
26.已知一棵二叉树在中根遍历下各点的次序是：
BFDGACIJHKE，在后根遍历下各点的次序是：
FGDBJIKHECA，试找出这样一棵二叉树，并问这样的二叉树是否惟一。
27.求图中权图（图13）的最优支撑树。
图13
28.判断图（图14）中各图是否是欧拉图。
图14
四、证明题
1.设A，B，C为三个任意集合，试证明：
（1）（A－B）－C＝（A－C）－（B－C）
（2）A∪（B∩C）＝A∪（（B－A）∩（A∪C））
（3）（A∪（B－A））－C＝（A－C）∪（B－C）
（4）（（A∪B∪C）∩（A∪B））－（（A∪（B－C））∩A）＝B－A
2.证明下面的等价式：
（1）（P∧（Q∧R））∨（Q∧R）∨（P∧R）＝R
（2）（P∧（Q∧S））∨（P∧（Q∧S））＝（Q∧S）
（3）P（QR）＝（P∧Q）R
（4）（P
Q）＝（P∧Q）∨（P∧Q）
3.利用蕴涵定义证明：
（PQ）（R∨Q）∧R
P。
4.判断公式G＝（（PQ）∧（QR）∧P）R是恒真的。
5.利用形式演绎法证明：
{A∨B，B∨C，CD}蕴涵AD。
6.利用推演法证明：
（P∧Q）（P∨（P∨Q））＝P∨Q
7.利用将公式化为范式的方法，证明：
G＝H。
其中G＝（AB）（A∧B），
H＝（AB）∧（BA）
8.利用一阶逻辑的基本公式，证明：
xy（F（x）G（y））＝xF（x）yG（y）
9.设（L，≤）是一个分配格，a，b，c∈L，证明：
（a⊕b）×c≤a⊕（b×c）。
10.设（L，≤）是一个分配格，x，y是格中任意元素，如果对格中某个元素a，有
a×x＝a×y，a⊕x＝a⊕y，则x＝y。
【参考答案】
一、填空题
1.{φ，{φ}，{1}，{φ，1}，{φ，2}，{1，2}，A}
2.{a，b，c，d，e}；{a}；{b，c}；φ
3.{3}；{{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}}
4.{x|-1≤x≤0}；{x|2≤x≤5}；{x|x<1，或x≥2}；{x|x≤0，或x>5}
5.A；A
6.等幂律；零一律；同一律；互补律
7.～（A∪B）＝～A∩～B，～（A∩B）＝～A∪～B
8.|A|＋|B|－|A∩B|
9.a=x，b=y
10.{（1，a），（1，b），（1，c），（2，a），（2，b），（2，c）}；
{（a，1），（a，2），（b，1），（b，2），（c，1），（c，2）}
11.{（a，a），（a，c）}
12.MR=
R的关系图如图15。
图15
13.{（a，d），（a，c）}；{（a，a），（a，b），（a，d）}
14.{（1，2），（2，3），（3，2）}；{（1,1）,（2,2）,（3,3）}
15.σ1＝{（a，1），（b，1）}，σ2＝{（a，2），（b，2）}，σ3＝{（a，1），（b，2）}，σ4＝{（a，2），（b，1）}；σ3，σ4
16.
R－1的关系图如图16。
图16
17.自反性、反对称性、
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