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1、离散数学课程离散数学课程考核说明与综合练习第一部分 考核说明本课程的计划学时数为54学时，对教学大纲中注有“*”的内容不做要求。各章的重点习题请参考教学大纲中的附件（离散数学平时作业要求）。考试题型为填空题、单选题、计算题、问答题和证明题。各章的复习重点和具体要求如下：第一章 集 合熟练掌握集合、子集、包含、相等、空集、全集、幂集等基本概念和并、交、差、补的基本运算。在理解集合运算的基本定律的基础上，能熟练地运用这些基本定律证明集合的恒等式。掌握序偶与笛卡尔积的概念。了解文氏图和包含排斥原理。第二章 关系与映射熟练掌握二元关系、空关系、全关系、恒等关系、关系矩阵、关系图、n元关系等基本概念。能

2、够对给出的关系图写出相应的关系矩阵，反之亦然。掌握复合关系和逆关系的概念，对给定的集合和其上的二元关系，能够求出复合关系、逆关系和n不超过3次的n次幂。熟练掌握自反性、对称性、反对称性、传递性四个性质及其判定的方法。对给定的集合及其上的关系能够判定是否具有上述性质。熟练掌握关系闭包的概念及其求解的方法，对给定的集合及其上的关系，能够求出自反闭包、对称闭包、传递闭包等。熟练掌握半序关系、半序集的概念及哈斯图的表示，并能区分出半序集中的最大元、最小元、极大元、极小元、最大下界和最小上界。掌握映射、单射、满射、双射的概念及其判定方法。了解等价关系的判定及等价类的求法。了解复合映射和逆映射。第三章 命

3、题逻辑熟练掌握命题及命题的否定、析取、合取、蕴涵和等值五种联结词的概念和公式的解释、公式的恒真性、恒假性、可满足性以及公式的等价等概念。能用基本等价公式证明一般的等价式。掌握范式、析取范式、合取范式的概念，能够用基本等价式或真值表将公式化为（主）析取范式或（主）合取范式。熟练掌握公式的蕴涵与演绎的概念，能用真值表或推导法证明公式间的蕴涵关系。熟练掌握形式演绎的概念，在掌握了规则P、规则Q和规则D的基础上能用形式演绎法证明蕴涵式。了解公式恒真性的判定。第四章 一阶逻辑熟练掌握谓词、量词、原子、公式和解释的概念，对给出的公式和解释能够确定其真值。了解等价与蕴涵、谓词逻辑的例和前束范式。第五章 群与

4、环熟练掌握置换、轮换、对换、奇置换、偶置换的概念以及乘法运算。对给定的置换能够判断奇偶性或写成对换的乘积并能够计算轮换的乘积等。熟练掌握群、置换群、交换群的基本概念及其判定。熟练掌握子群、生成子群、循环群的概念，对给出的集合及其上的置换，能够写出生成的循环群和循环群的子群以及子群的生成元素。掌握陪集和正规子群的概念，了解正规子群的判定。了解拉格朗日定理、群的同态、商群、同构定理、环与子环。第六章 格与布尔代数熟练掌握半序格、代数格、子格的概念及其性质。对给出的半序集能够判定是否为格，对给出的格能够求出所有的子格，并能够用格的性质证明一些等式等。熟练掌握有界格、有余格和分配格的概念及其有关证明问

5、题。熟练掌握布尔代数的概念及其运算。能够熟练地运用布尔代数性质对给定的布尔表达式进行化简或证明。第七章 图 论掌握图、子图、支撑子图和同构图的概念以及图的关联矩阵和相邻矩阵的表示。对给出的图能够判断是否是支撑子图等。对给出的图能够用关联矩阵和相邻矩阵表示出来，反之亦然。掌握路的基本概念，能够用迪克斯特拉算法求出权图中的最短路。掌握树、支撑树、二叉树的概念，对给出的二叉树能够按先根次序、中根次序、后根次序进行遍历。掌握最优支撑树的概念及用克鲁斯卡尔算法求出最优支撑树的方法。掌握欧拉图与欧拉路的概念，对给出的图判定是否是欧拉图或一笔划图。了解最优支撑树定理、树与有向树的转化定理、哈密顿图和平面图。

6、第二部分 综合练习一、填空题1.已知集合A =，1，2，则A得幂集合p（A）=_。2.设集合E =a, b, c, d, e, A= a, b, c, B = a, d, e, 则AB =_，AB =_，AB =_，AB =_。3.设A，B是两个集合，其中A= 1, 2, 3, B= 1, 2，则AB =_，（A）（B）=_。4.设A= x | -1x2, xR, B = x | 0x5, xR , 则AB =_，BA=_，A=_，B =_。5.由集合运算的吸收律，A（AB）=_，AAB= _。6.由集合运算的基本定律：（1）AA = A，满足_律；（2）AE = E，满足_律；（3）AE =

7、 A，满足_律；（4）AA =，满足_律。7.对于任意集合A，B，德摩根律为_。8.设A，B是两个有限集合，则包含排斥定理| AB | =_。9.序偶（a, b）=（x, y）的充分必要条件是_。10. A，B是两个集合，其中A = 1, 2，B = a, b, c，则AB=_，BA=_。11.设集合A= a, b, c, d，A上的关系R= ( a , a )，(a , c)，(b, d)，则关系R2=_。12.设集合A=1, 2, 3, 4，R为A上的一个二元关系，R= (1, 1)，(1, 2)，(1, 4)，(2, 1)，(2, 3)，(3, 2)，(3, 3)，(3, 4)，(4,

8、1)，(4, 3)，(4, 4)，则R的关系矩阵MR =_，R的关系图为_。13.设R1，R2是集合A= a, b, c, d 上的二元关系，其中R1 = (a, a)，(a, b)，(b, d)，R2 =(a, d)，(b, c)，(b, d )，(c, b)，则R1R2 =_，=_。14.设集合A =1, 2, 3，r和t都是A上的映射，r= (1, 2), (2, 1), (3, 3), t = (1, 3), (2, 2), (3, 2)，则tr=_，rr=_。15.设集合A = a, b，B = 1, 2，则从A到B的所有映射是_，其中双射是_。16.设集合A = a, b, c,

9、d，A上的二元关系R = (a, a)，(a, c)，(b, a)，(c, c)，(c, d)，(d, c)，则R1 的关系矩阵= _，R1 的关系图为_。17.设集合A = 1, 2, 3，A上的二元关系R的关系图如图1所示，则关系R具有的性质是_图118.设集合A = 0, 1, 2, 3, 4, 5，A上的关系R = (0, 0)，(1, 1)，(1, 2)，(1, 3)，(2, 1)，(2, 2)，(2, 3)，(3, 1)，(3, 2)，(3, 3)，(4, 4)，(4, 5)，(5, 4)，(5, 5)，则R在A上构成的等价类是_。19.设集合A = a, b, c, d, e，A

10、上半序关系R的哈斯图如图2所示，则A的极大元为_，极小元为_。图220.已知命题公式G = （P（QR），则所有的使G取真值为1的解释是_。21.已知命题公式G = （PQ）R，则G的主析取范式是_。22.设一阶逻辑公式G = x P (x) xQ (x)，则G得前束范式是_。23.设D：a , b，将表达式x y (x, y)中的量词消除后，与之等价的命题公式是_。24.设G是由12个元素构成的循环群，a是G的一个生成元素，则G有_个子群，G的生成元素集合是_。25.设集合M = 1, 2, 3，G是M上的置换群，H = I，(1, 3)是G的子群，则H的右陪集为_。26.设循环群G有6个元

11、素，a是生成元素，则G的全部子集是_。27.设L是一个集合，是L中两个二元运算。如果这两个二元运算满足_律、_律和_律，则（L，）称做是一个格。28.设格中表达式E = (ab)(cd)，则E的对偶表达式E*=_。29.设（L，0，1）是有界格，a是L中的一个元素，如果存在元素b，使得_，则b称为a的余元素。30.设（B，0，1）是布尔代数，a，b，c是集合B中任意元素，则（ab）（ab）（ac）（a）_。31.设G是完全二叉树，G有15个点，其中有8个叶点，则G有_条边，G的总度数是_，G的分枝点数是_，G中度数为3的顶点数是_。32.无孤立点的有限有向图有欧拉路的充要条件是_。33.设图G

12、的相邻矩阵为则G的顶点数为_，边数为_。34.对图（图3）中二叉树的点图3先根遍历的次序是_，中根遍历的次序是_。二、单项选择题1.设X，Y为集合，当（ ）时，XYY。A. XY B.C. D. XY2.下列式子中正确的有（ ）。A.0 B. C.a,b D.3.设集合Xx, y，则（X）（ ）。A.x,y B. ,x,y C.,x,y,x, y D. x,y,x, y4.某个集合的元数为10，可以构成（ ）个子集。A. 10 B. 20 C.102 D. 2105.对于任意集合S，SS，满足（ ）。A.等幂律 B.同一律C.零一律 D.互补律6.设X、Y、Z为任意集合，下列命题正确的有（ ）

13、。A.若XYXZ，则YZB.若XYXZ，则YZC.若XYE，则XY D. XY，则XY7.设集合A1，2，3，4，A上的关系R(1，1)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，则R具有（ ）。A.自反性 B.传递性 C.对称性 D.以上答案都不对8.设集合A1，2，3，A上的关系R(1，1)，(2，2)，则R不具有关系的（ ）性质。A.自反性 B.对称性C.传递性 D.反对称性9.设R1，R2是集合A1,2,3,4上的两个关系，其中R1 (1，1)，(2，2)，(2，3)，（4，4），R2 (1，1)，(2，2)，(2，3)，（3，2），（4，4），则R2 是R1 的（ ）闭包。A.自反 B.对

14、称C.传递 D.以上都不是10.设集合A1，2，3，r, s和t都是AA的映射，其中r(1，2)，(2，1)，(3，3)，s(1，3)，(2，2)，(3，2)，t(1，3)，(2，1)，(3，1)，则t（ ）。A.rs B. st C. rr D.ss11.设集合Aa，b ，A上的二元关系R(a，a)，(a，b)，则R是（ ）。A.等价关系但不是半序关系B.是半序关系但不是等价关系C.既是等价关系又是半序关系 D.既不是等价关系也不是半序关系12.设集合Aa, b, c，A上关系R的关系图如图4所示，则R具有（ ）。A.自反性、对称性、传递性B.自反性、传递性C.对称性、反对称性D.对称性、反

15、对称性、传递性图413.设R为实数集，映射s：RR，s (x) = -x2+2x-1，则s是（ ）。A.单射而非满射 B.满射而非单射C.双射 D.既不是单射也不是满射14.设集合A1，2，3，10，半序关系是A上的整除关系，则半序集（A，）上元素10是集合A的（ ）。A.最大元 B.最小元C.极大元 D.极小元15.设集合Aa, b, c, d, e，半序关系R的哈斯图如图5所示。若A的子集Bc, d, e，则元素c为B的（ ）。A.下界 B.最大下界 C.最小上界 D.以上答案都不对图516.设命题公式G（PQ）P，则G是（ ）。A.恒假的 B.恒真的C.可满足的 D.析取范式17.设命题

16、公式G（PQ），HP（QP），则G与H的关系是（ ）。A. B.C. GH D.以上都不是18.设命题公式GP （QP），则使G为真的解释是（ ）。A.（0，0） B.（1，0） C.（0，1） D.（1，1）19.设G，H是一阶逻辑公式，P是一个谓词，GxP (x)，Hx P(x)，则一阶逻辑公式GH是（ ）。A.恒假的 B.恒真的 C.可满足的 D.前束范式20.下面给出的一阶逻辑等价式中，（ ）是错的。A. x（A(x) B(x)）x A(x) x B(x) B. x（A(x) B(x)）xA(x) xB(x) C. xA(x)x（A(x)） D. AxB(x)x（AB(x)） 21.设

17、G是群，G有（ ）个元素，则不能肯定G是交换群。A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个22.下面的代数系统（G，*）中，（ ）不是群。A. G为整数集合，*为加法 B. G为偶数集合，*为加法 C. G为有理数集合，*为加法 D. G为有理数集合，*为乘法23.设G是有6个元素的循环群，a是生成元素，则G的子集（ ）是子群。A. a B. a，e C. e，a3 D. e，a，a224.设1 ，2 ，3 是三个置换，其中1 （1 2）（2 3）（1 3），2 （2 4）（1 4），3 （1 3 2 4），则3 （ ）。A. 12 B. 12 C. 22 D. 2125.如图6所示，半序

18、集中哪个不是格？（ ）图626.设（L，）是格，a，b是L中任意元素，a b，则下面的公式（ ）成立。A. ab = a B. ab = bC. ab = a D. b(ab) = a27.图7所示的格中，（ ）不是分配格。图728.设（B，0，1）是布尔代数，a，b是B中元素，a b，则下面（ ）公式不成立。A. a= 0 B. b = 1C. a= 1 D. =29.设G是由5个顶点组成的完全图，则从G中删去（ ）条边可以得到树。A. 6 B. 5 C. 10 D. 430.图8是（ ）。图8A.完全图 B.平面图 C.哈密顿图 D.欧拉图31.G是连通的平面图，有5个顶点，6个面，则G的

19、边数为（ ）。A. 6 B. 5 C. 11 D. 932.已知图G的相邻矩阵为，则G的边数与分枝数为（ ）A. 5，3 B. 4，2 C. 5，1 D. 6，4三、计算题1.设全集EN，有下列子集：A1，2，8，10，Bn|n250 ，nN，Cn|n可以被3整除，且n20 ，nN，Dn|2i，i6且i、nN求下列集合：（1）A(CD) （2）A(B(CD)（3）B(AC) （4）(AB) D2.设集合Aa, b, c，A上二元关系R1，R2，R3分别为：R1AA，R2 (a，a)，(b，b)，R3 (a，a)，试分别用定义和矩阵运算求R1 R2 ，R1 R2 R3 ， (R1R2 R3 )1

20、 。3.设集合A1，2，3，R1与R2 是A上的二元关系，分别为：R1(1，1)，(1，2)，(2，2)，(3，2)，(3，3)，R2(1，1)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(1，3)，(3，3)（1）试分别写出R1，R2 的关系矩阵。（2）分别画出R1，R2 的关系图。（3）判定R1，R2 各具有关系的哪几种性质（自反性、对称性、反对称性、传递性）。4.设集合Aa, b, c，R是集合A上的关系，R(a，b)，(b，a)，(b，c)，求r (R)，s (R)，t (R)，并分别画出它们的关系图。5.设集合Aa, b, c, d，A上关系R的关系图如图9所示，试求r (R)，s (R)

21、，t (R)，并分别画出它们的关系图。图96.设R是集合A1,2,3,4,5,6上的两个关系，R(1，1)，(1，3)，(1，6)，(2，2)，(2，5)，(3，1)，(3，3)，(3，6)，(4，4)，(5，2)，(5，5)，(6，1)，(6，3)，(6，6)（1）验证R是等价关系。（2）画出R的关系图。（3）写出A关于R的等价类。7.设集合A1,2,3, ,12，R为整除关系，（1）画出半序集（A，R）的哈斯图。（2）写出集合A的最大元、最小元、极大元和极小元。（3）写出A的子集B3,6,9,12的上界、下界、最小上界和最大下界。8.设，是实数集合R上的三个映射，其中， (x)x / 5，

22、 (x)2x+3， (x)x2+1对xR，试求复合映射，和，并指出这些映射中哪些是双射？9.设命题逻辑公式G（R（PQ）S，写出G的析取范式与合取范式。10.求命题公式G的主析取范式，其中G(PQR)(PQ)(QR)11.化简下列各式（1）A（A（BB）（2）（ABC）（ABC）12.试将下列公式化为析取范式和合取范式（1）P(PQ)（2）(PQ)(PQ)（3）(PQ) R) P（4）(P Q)( QP)13.设公式G的真值表如表1，试求出G的主析取范式和主合取范式。表1PQRG0001001001010111100010111100111014.将下面命题符号化（1）某些人对某些食物过敏。（

23、2）对于任一个正整数，总存在一个更大的正整数。15.设P (x)：x是人； F（x，y）：x是y的父亲； M（x，y）：x是y的母亲；试用谓词公式表示：x是y的外祖父；16.设一阶逻辑公式：G（xP (x) yR（y） xF (x)，把G化成前束范式。17.设G是由M1，2，3，4上的偶置换在置换的乘法下做成的群，写出G的所有元素及所有元素4的子群。18.设M1，2，3，写出M的置换群及所有子群，并问哪些是正规子群，指出正规子群的指数。19.已知和是两个置换 ，计算（）9 。20.设（B，0，1）是布尔代数，a，b，cB，化简abc+ab+bc+bc+b。21.设（B，0，1）是布尔代数，a，

24、b，cB，化简（a）+c）（ab）c。22.写出图10所示的关联矩阵和相邻矩阵。图1023.根据如下的相邻矩阵，画出它所对应的图G。A（G）24.求权图（图11）中从u到v的最短路。图1125.分别用三种不同的遍历方式写出对图（图12）中二叉树点的访问次序。图1226.已知一棵二叉树在中根遍历下各点的次序是：BFDGACIJHKE，在后根遍历下各点的次序是：FGDBJIKHECA，试找出这样一棵二叉树，并问这样的二叉树是否惟一。27.求图中权图（图13）的最优支撑树。图1328.判断图（图14）中各图是否是欧拉图。图14四、证明题1.设A，B，C为三个任意集合，试证明：（1）（AB）C（AC）

25、(BC)（2）A(BC)A（BA）（AC）（3）（A（BA）C（AC）(BC)（4）（ABC）（AB）（A（BC）A）BA2.证明下面的等价式：（1）（ P（ QR）（QR）（PR）R（2）（P（QS）（ P（QS）（QS）（3）P (Q R)（PQ） R（4）( P Q)（P Q）（PQ）3.利用蕴涵定义证明：（P Q）（RQ）R P。4.判断公式G（P Q）（Q R）P） R是恒真的。5.利用形式演绎法证明： AB， BC，C D蕴涵A D。6.利用推演法证明：（PQ） （ P（ PQ） PQ7.利用将公式化为范式的方法，证明：GH。其中G（A B）（AB）， H（ A B）（B A）8.

26、利用一阶逻辑的基本公式，证明：xy（F(x) G (y)）xF(x) yG(y)9.设（L，）是一个分配格，a，b，cL，证明：（ab）c a（bc）。10.设（L，）是一个分配格，x，y是格中任意元素，如果对格中某个元素a，有 axay，axay，则xy。【参考答案】一、填空题1.，1，1，2，1，2，A2. a，b，c，d，e；a；b，c；3. 3；3，1，3，2，3，1，2，34. x |-1 x 0； x | 2 x 5； x | x55. A ；A6.等幂律 ；零一律 ；同一律 ；互补律7.（AB）AB，（AB）AB 8. |A|B|AB|9. a = x，b = y10. （1，a），（1，b），（1，c），（2，a），（2，b），（2，c）； （a，1），（a，2），（b，1），（b，2），（c，1），（c，2）11. （a，a），（a，c）12. MR = R的关系图如图15。图1513. （a，d），（a，c）； （a，a），（a，b），（a，d）14. （1，2），（2，3），（3，2）； （1,1）,（2,2）,（3,3）15.1 (a，1)，(b，1)，2 (a，2)，(b，2)，3 (a，1)，(b，2)，4 (a，2)，(b，1)；3 ，416.R1 的关系图如图16。图1617.自反性、反对称性、