北师大版八年级数学下册第一章 三角形的证明含答案.docx

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北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明含答案

北师大版八年级数学下册第一章　三角形的证明（含答案）

一、选择题

1.由线段a,b,c组成的三角形,不是直角三角形的是（　　）

A.a=3,b=4,c=5　　　　B.a=1,b=

c=

C.a=9,b=12,c=15　　　　D.a=

b=2,c=

答案　D　D中,a2+b2=7,c2=5,a2+b2≠c2,故选D.

2.下列条件中,能判定两个直角三角形全等的是（　　）

A.一锐角对应相等　　　　B.两锐角对应相等

C.一条边对应相等　　　　D.两条直角边对应相等

答案　D　当两直角边对应相等时,再由直角相等,根据SAS可以判定两直角三角形全等.

3.到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形的（　　）

A.三个内角平分线的交点

B.三边垂直平分线的交点

C.三条中线的交点

D.三条高的交点

答案　B　到三角形三个顶点距离相等的点在三角形三边的垂直平分线上.

4.用反证法证明:

“三角形中必有一个内角不小于60°”时,应当先假设这个三角形中（　　）

A.有一个内角小于60°　　　　B.每一个内角小于60°

C.有一个内角大于60°　　　　D.每一个内角大于60°

答案　B　反证法第一步是提出与结论相反的假设.

5.如图,已知△ABC中,∠ABC=45°,AC=4,H是高AD和BE的交点,则线段BH的长度为（　　）

图1-5-1

A.

　　　　B.4　　　　C.2

　　　　D.5

答案　B　∵AD⊥BC,∠ABC=45°,

∴∠BAD=90°-∠ABC=45°=∠ABC,∴BD=AD,

又∵AD⊥BC,BE⊥AC,

∴∠ADB=∠ADC=90°,∠BEC=90°.

∴∠C+∠CAD=90°,∠C+∠CBE=90°,

∴∠CAD=∠CBE,∴△ADC≌△BDH.

∴BH=AC=4.

6.已知等腰直角三角形ABC,斜边AB的长为2,以AB所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,则点C的坐标是（　　）

A.（0,1）　　　　B.（0,-1）

C.（0,1）或（0,-1）　　　　D.（1,0）或（-1,0）

答案　C　∵OC⊥AB,∠CAB=45°,∴∠ACO=45°.

∴CO=AO=

AB=1,∴C（0,1）或（0,-1）.

7.下列命题中的假命题是（　　）

A.等腰三角形的顶角一定是锐角

B.等腰三角形的底角一定是锐角

C.等腰三角形至少有两个角相等

D.等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线及底边上的高互相重合

答案　A　等腰三角形的顶角可以是锐角,也可以是直角或钝角.

8.如图,△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC,下列结论错误的是（　　）

A.∠C=2∠A　　　　B.BD=BC

C.△ABD是等腰三角形　　　　D.点D为线段AC的中点

答案　D　∵A=36°,AB=AC,∴∠C=∠ABC=72°.

∴∠C=2×36°=2∠A,A选项正确.

∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD=36°.

∴∠A=∠ABD=36°,∴△ABD是等腰三角形,C选项正确.

又∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C,

∴BD=BC,B选项正确,只有D选项结论错误.

9.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=6,BC=10,过A作DE∥BC交∠ABC的平分线BE于点E、交∠ACB的平分线CD于点D,则DE为（　　）

A.18　　　　B.16　　　　C.14　　　　D.8

答案　C　在Rt△ABC中,AC=6,BC=10,由勾股定理得AB=8,∵DE∥BC,∴∠D=∠DCB,∠E=∠EBC,∵CD平分∠ACB,BE平分∠ABC,∴∠ACD=∠DCB,∠ABE=∠EBC,∴∠D=∠ACD,∠E=∠ABE,∴AD=AC=6,AE=AB=8,∴DE=6+8=14,故选C.

10.如图,在△ABC中,P为BC上一点,PR⊥AB,垂足为R,PS⊥AC,垂足为S,AQ=PQ,PR=PS,下面结论:

①AS=AR;②QP∥AR;③△BRP≌△CSP.

其中正确的是（　　）

图1-5-4

A.①②　　　　B.②③　　　　C.①③　　　　D.①②③

答案　A　∵PR⊥AB,PS⊥AC,且PR=PS,

∴∠BAP=∠CAP.

又∵AQ=PQ,∴∠CAP=∠APQ.

∴∠BAP=∠APQ.

∴QP∥AR.

在Rt△APR和Rt△APS中,

∴Rt△APR≌Rt△APS.∴AS=AR.

故①②均正确.

由已知条件不能得到△BRP≌△CSP.故选A.

二、填空题

11.等腰三角形两腰上的中线相等,这个命题的逆命题是　　　　　　　　　　,这个逆命题是　　　　命题. 

答案　两边上的中线相等的三角形是等腰三角形;真

12.等腰三角形的两边长分别是7和3,则它的周长是　　　　. 

答案　17

解析　当7为腰长时,周长为7+7+3=17.

当3为腰长时,∵3+3=6<7,∴不能构成三角形,故答案为17.

13.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且满足（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0,则△ABC是　　　　三角形. 

答案　等边

解析　∵（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0,∴a-b=0,b-c=0,c-a=0,∴a=b,b=c,c=a,∴a=b=c.∴△ABC是等边三角形.

14.如图,△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D.若BD∶DC=2∶1,BC=7.8cm,则D到AB的距离为　　　　cm. 

答案　2.6

解析　∵AD平分∠BAC且∠C=90°,∴点D到AB的距离等于CD的长.∵BD∶DC=2∶1,BC=7.8cm,∴CD=

×7.8=2.6cm.故答案为2.6.

15.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线MN交AB于点E,交AC于点D,且AC=16,△BCD的周长等于26,则BC的长为　　　　. 

答案　10

解析　∵MN垂直平分AB,∴AD=BD.

∴△BCD的周长=BD+DC+BC=AC+BC.

∴16+BC=26.∴BC=10.

16.如图,在△ABC中,∠A=45°,∠B=30°,CD⊥AB,垂足为D,CD=1,则AB的长为　　　　. 

答案　1+

解析　∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠BDC=90°.

又∵∠A=45°,∠B=30°,

∴∠ACD=∠A=45°,BC=2CD=2.

∴AD=CD=1,BD=

=

=

.

∴AB=AD+DB=1+

.

17.如图,D是线段AB、BC的垂直平分线的交点,若∠ABC=60°,则∠ADC=　　　　. 

答案　120°

解析　连接BD并延长.

∵D是线段AB、BC的垂直平分线的交点,

∴AD=BD=CD,∴∠1=∠2,∠3=∠4,

∴∠1+∠2+∠3+∠4=2∠ABC=120°.

又∵∠5=∠1+∠2,∠6=∠3+∠4,

∴∠ADC=∠5+∠6=120°.

18.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,若点P在边AC上移动,则BP的最小值是　　　　. 

答案　

解析　过点A作AE⊥BC于点E,因为AB=AC=5,所以BE=CE=

BC=3,所以AE=

=

=4,所以S△ABC=

BC·AE=12.易知BP的最小值是

=

.

三、解答题

19.如图,在Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC折叠,使A点与BC的中点D重合,折痕为MN,求BN的长.

答案　设BN=x,由题意可得DN=AN=9-x.∵D是BC的中点,∴BD=3.在Rt△NBD中,x2+32=（9-x）2,解得x=4,即BN=4.

20.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,CD、CE三等分∠ACB,CD⊥AB.

求证:

（1）AB=2BC;

（2）CE=AE=BE.

证明　

（1）∵∠ACB=90°,CD、CE三等分∠ACB,

∴∠1=∠2=∠3=30°,∴∠1+∠2=60°,∴∠A=30°.

在Rt△ACB中,∵∠A=30°,∴AB=2BC.

（2）由

（1）知∠A=∠1=30°,∴CE=AE.

又∵∠B=∠BCE=60°,∴△BCE为等边三角形,

∴CE=BE.∴CE=AE=BE.

21.如图,在△ABC中,AB=8,AC=4,G为BC的中点,DG⊥BC交∠BAC的平分线AD于D,DE⊥AB于E,DF⊥AC交AC的延长线于F.

（1）求证:

BE=CF;

（2）求AE的长.

答案　

（1）证明:

连接DB、DC,易知△BDE与△CDF均为直角三角形.

∵DG垂直平分BC,

∴DB=DC.

∵AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AF,

∴DE=DF（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.

∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL）,∴BE=CF.

（2）∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠AED=∠AFD=90°,

又∠DAE=∠DAF,AD=AD,

∴△ADE≌△ADF.

∴AE=AF=AC+CF.由

（1）知BE=CF,

∴AE=AC+BE=4+BE.

∴AE=4+8-AE.∴AE=6.

22.如图所示,△ABC是边长为6cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别在AB、BC边上匀速移动,它们的速度分别为vP=2cm/s,vQ=1cm/s,当点P到达点B时,P、Q两点同时停止运动,设点P的运动时间为ts.

（1）当t为何值时,△PBQ为等边三角形?

（2）当t为何值时,△PBQ为直角三角形?

答案　由题意可知AP=2tcm,BQ=tcm（0≤t≤3）,则BP=AB-AP=（6-2t）cm.

（1）若△PBQ为等边三角形,已知∠B=60°,需BP=BQ,即6-2t=t,解得t=2,即当t=2时,△PBQ为等边三角形.

（2）当PQ⊥BQ时,

∵∠B=60°,∴∠BPQ=30°,∴BP=2BQ,即6-2t=2t,

解得t=1.5;

当PQ⊥BP时,同理可得BQ=2BP,即t=2（6-2t）,

解得t=2.4.

综上可知,当t为1.5或2.4时,△PBQ为直角三角形.