高考专题 之交变电流 理想变压器 远距离输电.docx

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高考专题之交变电流理想变压器远距离输电

　第二讲交变电流与理想变压器

第一节　交变电流的产生和描述

考点一、交变电流、交变电流的图象

1.交变电流

（1）定义：

大小和方向都随时间做周期性变化的电流．

（2）图象：

如图（a）、（b）、（c）、（d）所示都属于交变电流．其中按正弦规律变化的交变电流叫正弦交流电，如图（a）所示．

2．正弦交流电的产生和图象

（1）产生：

在匀强磁场里，线圈绕垂直于磁场方向的轴匀速转动．

（2）图象：

用以描述交流电随时间变化的规律，如果线圈从中性面位置开始计时，其图象为正弦曲线．如图（e）、（f）所示．

考点二、正弦交变电流的函数表达式、峰值和有效值

1．周期和频率

（1）周期（T）：

交变电流完成一次周期性变化（线圈转一周）所需的时间，单位是秒（s），公式T＝.

（2）频率（f）：

交变电流在1s内完成周期性变化的次数．单位是赫兹（Hz）．

（3）周期和频率的关系：

T＝或f＝.

2．正弦式交变电流的函数表达式（线圈在中性面位置开始计时）

（1）电动势e随时间变化的规律：

e＝Emsin_ωt.

（2）负载两端的电压u随时间变化的规律：

u＝Umsin_ωt.

（3）电流i随时间变化的规律：

i＝Imsin_ωt.其中ω等于线圈转动的角速度，Em＝nBSω.

3．交变电流的瞬时值、峰值、有效值

（1）瞬时值：

交变电流某一时刻的值，是时间的函数．

（2）峰值：

交变电流（电流、电压或电动势）所能达到的最大的值，也叫最大值．

（3）有效值：

跟交变电流的热效应等效的恒定电流的值叫做交变电流的有效值．对正弦交流电，其有效值和峰值的关系为：

E＝，U＝，I＝.

热点一　正弦交变电流的产生及变化规律

1．正弦式交变电流的变化规律

线圈在中性面位置时开始计时

物理量

函数

图象

磁通量

Φ＝Φmcosωt

＝BScosωt

电动势

e＝Emsinωt＝nBSωsinωt

电压

u＝Umsinωt＝sinωt

电流

i＝Imsinωt＝sinωt

2.两个特殊位置的特点

（1）线圈平面与中性面重合时，S⊥B，Φ最大，＝0，e＝0，i＝0，电流方向将发生改变．

（2）线圈平面与中性面垂直时，S∥B，Φ＝0，最大，e最大，i最大，电流方向不改变．

【典例1】（2013·山东卷，17）如图10－1－2甲是小型交流发电机的示意图，两磁极N、S间的磁场可视为水平方向的匀强磁场，

为交流电流表．线圈绕垂直于磁场的水平轴OO′沿逆时针方向匀速转动，从图示位置开始计时，产生的交变电流随时间变化的图象如图乙所示．以下判断正确的是（　　）．

图10－1－2

A．电流表的示数为10A

B．线圈转动的角速度为50πrad/s

C．0.01s时线圈平面与磁场方向平行

D．0.02s时电阻R中电流的方向自右向左

解析　电流表的示数为交变电流的有效值10A，A项正确；由ω＝可得，线圈转动的角速度为ω＝100πrad/s，B项错；0.01s时，电路中电流最大，故该时刻通过线圈的磁通量最小，即该时刻线圈平面与磁场平行，C项正确；根据楞次定律可得，0.02s时电阻R中电流的方向自左向右，D项错．答案　AC

反思总结　解决交变电流图象问题的三点注意

（1）只有当线圈从中性面位置开始计时，电流的瞬时值表达式才是正弦形式，其变化规律与线圈的形状及转动轴处于线圈平面内的位置无关．

（2）注意峰值公式Em＝nBSω中的S为有效面积．

（3）在解决有关交变电流的图象问题时，应先把交变电流的图象与线圈的转动位置对应起来，再根据特殊位置求特征解．

【跟踪短训】1．如图10－1－3所示，图线a和图线b分别表示线圈A和线圈B在同一匀强磁场中匀速转动时，通过线圈的磁通量随时间的变化规律．已知线圈A的匝数与线圈B的匝数分别为10和30，以下说法正确的是（　　）．

图10－1－3

A．线圈A与线圈B转速之比2∶3

B．线圈A与线圈B产生的最大电动势之比为1∶1

C．线圈A的感应电动势的瞬时值表达式为e＝500πcos5πt（V）

D．线圈B在t＝0.3s时刻时，感应电流为零

解析　由图象可得Ta＝0.4s，Tb＝0.6s，则转速na＝＝2.5r/s，nb＝＝r/s，所以线圈A与线圈B转速之比为3∶2，A错误；线圈A、B中产生的最大电动势分别为Ema＝NaΦmaωa＝NaΦma＝10×10×V＝500πV，Emb＝NbΦmbωb＝30×5×V＝500πV，所以线圈A与线圈B产生的最大电动势之比为1∶1，B正确；在t＝0时刻，线圈A的感应电动势最大，因此感应电动势的瞬时值表达式为e＝500πcos5πt（V），C正确；在t＝0.3s时刻，通过线圈B的磁通量为零，磁通量的变化率最大，故感应电流最大，D错误．答案　BC

2．（单选）在匀强磁场中一矩形金属框绕与磁感线垂直的转轴匀速转动，如图10－1－1甲所示，产生的交变电动势的图象如图乙所示，则（　　）．

图10－1－1

A．t＝0.005s时线框的磁通量变化率为零

B．t＝0.01s时线框平面与中性面重合

C．线框产生的交变电动势有效值为311V

D．线框产生的交变电动势频率为100Hz

解析　由图象知，该交变电流电动势峰值为311V，交变电动势频率为f＝50Hz，C、D错；t＝0.005时，e＝311V，磁通量变化最快，t＝0.01s时，e＝0，磁通量最大，线圈处于中性面位置，A错，B对．答案　B

3．（单选）一矩形线框在匀强磁场内绕垂直于磁场的轴匀速转动的过程中，线框输出的交流电压随时间变化的图象如图10－1－10所示，下列说法中正确的是（　　）．

图10－1－10

A．t＝0时刻线框平面与磁场平行

B．交流电压的频率为4Hz

C．1s末线框平面垂直于磁场，通过线框的磁通量变化最快

D．2s末线框平面垂直于磁场，通过线框的磁通量最大

解析　由ut图象可知，t＝0时刻瞬时电压为零，线框处于中性面，频率f＝＝0.25Hz，故选项A、B错误；由图象可知，1s末交变电压最大，通过线框的磁通量变化率最大，此时线框与磁场方向平行，而2s末交变电压为零，此时线框经过中性面与磁场垂直，穿过线框的磁通量最大，故选项C错误、D正确．答案　D

4．（单选）如图10－1－11所示为发电机结构示意图，其中N、S是永久磁铁的两个磁极，其表面呈半圆柱面状．M是圆柱形铁芯，它与磁极柱面共轴，铁芯上绕有矩形线框，可绕与铁芯共轴的固定轴转动．磁极与铁芯间的磁场均匀辐向分布．从图示位置开始计时，当线框匀速转动时，图中能正确反映线框感应电动势e随时间t的变化规律的是（　　）．

图10－1－11

解析　矩形线框在均匀辐向磁场中转动，v始终与B垂直，由E＝BLv知E大小不变，方向周期性变化．答案　D

5．（单选）某台家用柴油发电机正常工作时能够产生与我国照明电网相同的交变电流．现在该发电机出现了故障，转子匀速转动时的转速只能达到正常工作时的一半，则它产生的交变电动势随时间变化的图象是（　　）．

解析　线圈转速为正常时的一半，据ω＝2πn＝知，周期变为正常时的2倍，又据Em＝NBSω知，最大值变为正常时的一半，结合我国电网交流电实际情况，知正确选项为B.答案　B

6．某线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场的转轴匀速转动，产生的交变电流的图象如图1所示，由图中信息可以判断（　　）．

图1

A．在A和C时刻线圈处于中性面位置

B．在B和D时刻穿过线圈的磁通量为零

C．从A时刻到D时刻线圈转过的角度为2π

D．若从O时刻到D时刻历时0.02s，则在1s内交变电流的方向改变100次

解析　在A和C时刻产生的感应电流最大，此时对应的感应电动势最大，线圈平面与磁感线方向平行，A错误；在B和D时刻，产生的感应电流为零，此时通过线圈的磁通量最大，B错误；从A时刻到D时刻，对应周期，即线圈转过的角度为，C错误；若从O时刻到D时刻历时0.02s，则交变电流的周期为0.02s，而一个周期内交变电流的方向改变2次，故在1s内交变电流的方向改变100次，D正确．答案　D

4．（2013·河南郑州一模）如图3甲为小型旋转电枢式交流发电机的原理图，其矩形线圈在磁感应强度为B的匀强磁场中，绕垂直于磁场方向的固定轴OO′匀速转动，线圈的两端经集流环和电刷与电阻R＝10Ω连接，与电阻R并联的交流电压表为理想电压表，示数是10V．图乙是矩形线圈中磁通量Φ随时间t变化的图象．则（　　）．

图3

A．电阻R上的电功率为20W

B．0.02s时R两端的电压瞬时值为零

C．R两端的电压u随时间t变化的规律是u＝14.1cos100πt（V）

D．通过R的电流i随时间t变化的规律是i＝1.41cos50πt（A）

解析　电阻R上的电功率为P＝＝10W，选项A错误；由图乙知0.02s时磁通量变化率最大，R两端的电压瞬时值最大，选项B错误；R两端的电压u随时间t变化的规律是u＝14.1cos100πt（V），通过R的电流i随时间t的变化规律是i＝＝1.41cos100πt（A），选项C正确，D错误．答案　C

6．电阻为1Ω的矩形线圈绕垂直于磁场方向的轴，在匀强磁场中匀速转动，产生的交变电动势随时间变化的图象如图5所示．现把交流电加在电阻为9Ω的电热丝上，下列判断正确的是（　　）．

图5

A．线圈转动的角速度ω＝100rad/s

B．在t＝0.01s时刻，穿过线圈的磁通量最大

C．电热丝两端的电压U＝100V

D．电热丝此时的发热功率P＝1800W

解析　由题图可以看出该交变电流的周期T＝0.02s，则角速度ω＝＝＝100πrad/s，A项错．t＝0.01s时刻，电压达到最大，则此时磁通量变化率最大，磁通量为零，B项错．电热丝两端电压为路端电压UR＝U＝×＝90V，故C项错．根据电功率公式P＝＝W＝1800W，故D项正确．答案　D

7．（2013·中山模拟）如图10甲所示，矩形金属线框绕与磁感线垂直的转轴在匀强磁场中匀速转动，输出交流电的电动势图象如图乙所示，经原副线圈的匝数比为1∶10的理想变压器给一灯泡供电，如图丙所示，副线圈电路中灯泡额定功率为22W．现闭合开关，灯泡正常发光．则（　　）．

图10

A．t＝0.01s时刻穿过线框回路的磁通量为零

B．交流发电机的转速为50r/s

C．变压器原线圈中电流表示数为1A

D．灯泡的额定电压为220V

解析　由题图知t＝0.01s时e＝0，此时线圈平面位于中性面，磁通量最大，A错；周期T＝0.02s，所以n＝＝50r/s，B对；由理想变压器原理得：

＝，其中U1＝V，得UL＝220V，IL＝＝0.1A，而＝，得I1＝1A，C对；灯泡的额定电压为交流电压的有效值220V，D错．答案　BC

热点二　交变电流“四值”的应用

一、对交变电流的“四值”的比较和理解

物理量

物理意义

适用情况及说明

瞬时值

e＝Emsinωt

u＝Umsinωt

i＝Imsinωt

计算线圈某时刻的受力情况

峰值（最大值）

Em＝nBSωIm＝

讨论电容器的击穿电压

有效值

对正（余）弦交流电有：

E＝

U＝

I＝

（1）计算与电流的热效应有关的量（如电功、电功率、电热等）

（2）电气设备“铭牌”上所标的一般是有效值

（3）保险丝的熔断电流为有效值

（4）电表的读数为有效值

平均值

＝BL

＝n

＝

计算通过电路截面的电荷量

【典例2】　如图10－1－4所示，有一矩形线圈，面积为S，匝数为N，内阻为r，在匀强磁场中绕垂直磁感线的对称轴OO′以角速度ω匀速转动，从图示位置转过90°的过程中，下列说法正确的是（　　）．

图10－1－4

A．通过电阻R的电荷量Q＝

B．通过电阻R的电荷量Q＝

C．外力做功的平均功率P＝

D．从图示位置开始计时，则感应电动势随时间变化的规律为e＝NBSωsinωt

解析　从图示位置转过90°的过程中，磁通量的变化量ΔΦ＝BS，通过电阻R的电荷量Q＝Δt＝Δt＝N＝，故选项A错误、B正确；矩形线圈绕垂直磁感线的对称轴OO′以角速度ω匀速转动，产生的感应电动势最大值为Em＝NBSω，感应电流有效值为I＝，外力做功的平均功率为P＝I2（R＋r）＝，选项C正确；从图示位置开始计时，则感应电动势随时间变化的规律为e＝NBSωsin，选项D错误．答案　BC

反思总结　交变电流瞬时值表达式的求法

（1）先求电动势的最大值Em＝nBSω；

（2）求出角速度ω，ω＝；

（3）明确从哪一位置开始计时，从而确定是正弦函数还是余弦函数；（4）写出瞬时值的表达式．

【跟踪短训】2．如图10－1－5所示，在匀强磁场中匀速转动的矩形线圈的周期为T，转轴O1O2垂直于磁场方向，线圈电阻为2Ω.从线圈平面与磁场方向平行时开始计时，线圈转过60°时的感应电流为1A．那么（　　）．

图10－1－5

A．线圈消耗的电功率为4W

B．线圈中感应电流的有效值为2A

C．任意时刻线圈中的感应电动势为e＝4cost

D．任意时刻穿过线圈的磁通量为Φ＝sint

解析　线圈转动角速度ω＝，线圈平面从与磁场方向平行开始计时，当转过60°时，电流的瞬时值表达式为i＝Imcos60°＝1A⇒Im＝2A，正弦交变电流有效值I＝＝A，B项错；线圈消耗的功率P＝I2R＝4W，A项正确；由欧姆定律可知，感应电动势最大值Em＝ImR＝4V，所以瞬时值表达式为e＝4cost，C项正确；通过线圈的磁通量Φ＝Φmsinωt＝Φmsint，由感应电动势的最大值Em＝BSω＝Φm×⇒Φm＝，解两式得：

Φ＝sint＝sint，D项错．答案　AC

3．（2013·东北三校一模，19）如图10－1－6所示，一个“

”形线框处在磁感应强度大小为B的匀强磁场中，OO′为磁场的边界．现使线框以角速度ω绕轴OO′匀速转动，通过金属转轴和电刷与阻值为R的外电阻相连．已知线框各边长为L，总电阻为r，不计转轴与电刷的电阻，则电路中电流的有效值为（　　）．

图10－1－6　　　　　　　　　　　　　　　　

A.　B.　C.D.

解析　由交流电产生的原理可知，线框以图示位置为起点，以转过角度为阶段分析，在0～内产生顺时针方向的电流，～π内无电流产生，π～2π内产生逆时针方向的电流，、π时产生的电流值最大为Im＝.由交流电有效值定义可得：

2R总·＋0＋2R总·＝IR总T，得Ix＝＝，所以D正确．答案　D

4．（单选）电阻R1、R2与交流电源按照如图10－1－15甲所示方式连接，R1＝10Ω、R2＝20Ω.合上开关S后，通过电阻R2的正弦交变电流i随时间t变化的情况如图乙所示．则（　　）．

图10－1－15

A．通过R1的电流的有效值是1.2A

B．R1两端的电压有效值是6V

C．通过R2的电流的有效值是1.2A

D．R2两端的电压有效值是6V

解析　由题图知流过R2交流电电流的最大值I2m＝0.6A，有效值I2＝＝0.6A，故选项C错误；由U2m＝I2mR2＝12V知，U2＝12V，选项D错误；因串联电路电流处处相同，则I1m＝0.6A，电流的有效值I1＝＝0.6A，故选项A错误；由U1＝I1R1＝6V，故选项B正确．答案　B

5．（多选）如图10－1－16所示，闭合的矩形导体线圈abcd在匀强磁场中绕垂直于磁感线的对称轴OO′匀速转动，沿着OO′方向观察，线圈沿逆时针方向转动．已知匀强磁场的磁感应强度为B，线圈匝数为n，ab边的边长为l1，ad边的边长为l2，线圈的电阻为R，转动的角速度为ω，则当线圈转至图示位置时（　　）．

图10－1－16

A．线圈中感应电流的方向为abcda

B．线圈中的感应电动势为2nBl2ω

C．穿过线圈磁通量随时间的变化率最大

D．线圈ad边所受安培力的大小为

解析　当线圈转到图示的位置时，线圈的磁通量即将向右增加，由楞次定律结合安培定则可知，线圈中感应电流的方向为adcba，故A错误；当转到图示的位置时产生的电动势最大，由法拉第电磁感应定律可得，穿过线圈的磁通量的变化率最大．此时电动势的大小为：

e＝2nBl2ω＝nBl1l2ω，B错误，C正确；线圈此时的感应电流大小为：

I＝＝，所以ad边所受的安培力的大小为：

F＝nBIl2，代入I可得：

F＝，D正确．答案　CD

6．（单选）一台小型发电机产生的电动势随时间变化的正弦规律图象如图10－1－17甲所示．电路组成如图乙所示，已知发电机线圈内阻为5.0Ω，外接灯泡阻值为95.0Ω，灯泡正常发光，则（　　）．

图10－1－17

A．电压表

的示数为220VB．电路中的电流方向每秒钟改变50次

C．灯泡消耗的功率为509WD．发电机线圈内阻每秒钟产生的焦耳热为24.2J

解析　电压表

的示数应为有效值，U＝·＝209V，A项错；电路中的电流方向每秒钟改变100次，B项错；P灯＝＝459.8W，C项错；发电机线圈内阻的发热功率为P′＝I2r＝2r＝24.2W，每秒生热24.2J，D项对．答案　D

7．（2013·福建卷，15）（单选）如图10－1－18所示，实验室一台手摇交流发电机，内阻r＝1.0Ω，外接R＝9.0Ω的电阻．闭合开关S，当发电机转子以某一转速匀速转动时，产生的电动势e＝10sin10πt（V），则（　　）．

图10－1－18

A．该交变电流的频率为10HzB．该电动势的有效值为10V

C．外接电阻R所消耗的电功率为10WD．电路中理想交流电流表

的示数为1.0A

解析　由e＝10sin10πt（V）知电动势的有效值E有＝＝V＝10V，故B选项错误；电路中的理想电流表示数为电流的有效值：

I有＝＝1.0A，故D选项正确；电阻R消耗的电功率P＝I·R＝9.0W，故C选项错误；交流电的角速度ω＝10πrad/s，所以频率f＝＝5Hz，故A选项错误.答案　D

8．（单选）如图10－1－19所示，矩形线圈面积为S，匝数为N，线圈电阻为r，在磁感应强度为B的匀强磁场中绕OO′轴以角速度ω匀速转动，外电路电阻为R，当线圈由图示位置转过60°的过程中，下列判断正确的是（　　）．

图10－1－19

A．电压表的读数为B．通过电阻R的电荷量为q＝

C．电阻R所产生的焦耳热为Q＝D．当线圈由图示位置转过60°时的电流为

解析　线圈在磁场中转动产生正弦交流电，其电动势的最大值为Em＝NBSω，电动势的有效值为E＝，电压表的读数等于交流电源的路端电压，且为有效值，则U＝，A错误；求通过电阻R的电荷量要用交流电的平均电流，即q＝t＝＝＝，故B正确；计算电阻R上产生的焦耳热应该用有效值，则电阻R产生的焦耳热为Q＝I2Rt＝2R＝，故C错误；线圈由图示位置转过60°时的电流为瞬时值，则符合电流瞬时值表达式，大小为i＝sin＝，故D错误．答案　B

求交变电流有效值的方法

1．公式法

利用E＝，U＝，I＝计算，只适用于正余弦式交流电．

2．利用有效值的定义计算（非正弦式交流电）

在计算有效值“相同时间”至少取一个周期或周期的整数倍．

3．利用能量关系

当有电能和其他形式的能转化时，可利用能的转化和守恒定律来求有效值．

【典例1】（利用有效值的定义计算——分段转化为直流电）

如图10－1－7所示为一交变电流随时间变化的图象，此交流电的有效值是（　　）．

图10－1－7

A．5A　B．5A

C．3.5A　D．3.5A

解析　选择一个周期（0.02s）的时间，根据交流电有效值的定义和焦耳定律，有：

I2R×0.02＝（4）2R×0.01＋（3）2R×0.01解之得：

I＝5A，即B项正确．答案　B

【典例2】（利用有效值的定义计算——分段转化为正弦交变电流）

图10－1－8是表示一交变电流随时间变化的图象，其中，从t＝0开始的每个时间内的图象均为半个周期的正弦曲线．求此交变电流的有效值．

图10－1－8

解析　虽然此题所给交变电流正、负半周的最大值不同，但在任意一个周期内，前半周期和后半周期的有效值是可以求的，分别为I1＝A，I2＝A．设所求交变电流的有效值为I，根据有效值的定义，选择一个周期的时间，利用在相同时间内通过相同的电阻所产生的热量相等，由焦耳定律得I2RT＝IR＋IR即I2＝2×＋2×答案　A

即学即练　1.如图10－1－9所示的区域内有垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度为B.电阻为R、半径为L、圆心角为45°的扇形闭合导线框绕垂直于纸面的O轴以角速度ω匀速转动（O轴位于磁场边界）．则线框内产生的感应电流的有效值为（　　）．

图10－1－9

A.　B.C.D.

解析　线框转动的角速度为ω，进磁场的过程用时周期，出磁场的过程用时周期，进、出磁场时产生的感应电流大小均为I′＝，则转动一周产生的感应电流的有效值I满足：

I2RT＝2R×T，解得I＝，D项正确．答案　D

2．（2011·天津理综，4）在匀强磁场中，一矩形金属线框绕与磁感线垂直的转轴匀速转动，如图甲所示，产生的交变电动势的图象如图乙所示，则（　　）．

A．t＝0.005s时线框的磁通量变化率为零

B．t＝0.01s时线框平面与中性面重合

C．线框产生的交变电动势有效值为311V

D．线框产生的交变电动势频率为100Hz

解析　线框中感应电动势与磁通量的变化率成正比，而t＝0.005s时e最大，故A错误．t＝0.01s时e＝0，故B正确．电动势有效值为311×V≈220V，故C错误．周期T＝0.02s，频率f＝＝50Hz，故D错误．答案　B

3．（2012·北京理综，15）一个小型电热器若接在输出电压为10V的直流电源上，消耗电功率为P；若把它接在某个正弦式交流电源上，其消耗的电功率为.如果电热器电阻不变，则此交流电源输出电压的最大值为（　　）．

A．5V　B．5V　C．10V　D．10V

解析　根据P＝，对直流电有P＝，对正弦式交流电有＝，所以正弦式交流电的有效值为U′＝＝V，故交流电源输出电压的最大值Um′＝U′＝10V，故选项C正确，选项A、B、D错误．答案　C

4．（2012·广东理综，19）某小型发电机产生的交变电动势为e＝50sin100πt（V）．对此电动势，下列表述正确的有（　　）．

A．最大值是50V　B．频率是100Hz

C．有效值是25V　D．周期是0.02s

解析　交变电动势e＝Emsinωt或e＝Emcosωt，其中Em为电动势的最大值，ω为角速度，有效值E＝，周期T＝，频率f＝.由e＝50sin100πt（V）知，Em＝50V，E＝V＝25V，T＝＝s＝0.02s，f＝＝Hz＝50Hz，所以选项C、D正确．答案　CD

5．（单选）如图10－1－12所示，图甲和图乙分别表示正弦脉冲波和方波的交变电流与时间的变化关系．若使这两种电流分别通过两个完全相同的电阻，则经过1min的时间，两电阻消耗的电功之比W甲∶W乙为（　　）．

图10－1－12

A．1∶　B．1∶2　　

C．1∶3　D．1∶6

解析　电功的计算中，I要用有效值计算．图甲中，由有效值的定义得

2R×2×10－2＋0＋2R×2×10－2＝IR×6×10－2得I1＝A

图乙中，I的值不变，I2＝1A由W＝UIt＝I2Rt可以得到W甲∶W乙＝1∶3.答案　C

6．（多选）如图1